電磁場與電磁波（第4版）教學(xué)指導(dǎo)書 第4章 時變電磁場

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1、第4章 時變電磁場 4.1基本內(nèi)容概述 這一章主要討論時變電磁場的普遍規(guī)律，內(nèi)容包括：電磁場的波動方程，動態(tài)矢量位和標(biāo)量位，坡印廷定理與坡印廷矢量，時諧電磁場。 4.1.1波動方程 在無源的線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)中，由麥克斯韋方程組可推導(dǎo)出電場E和磁場H滿足波動方程 （4.1） （4.2） 4.1.2 動態(tài)矢量位和標(biāo)量位 在時變電磁場中，動態(tài)矢量位和動態(tài)標(biāo)量位的定義為

2、 （4.3） （4.4） 應(yīng)用洛侖茲條件 （4.5） 可得到和的微分方程為 （4.6） （4.7） 4.1.3 坡印廷定理和坡印廷矢量 1．坡印廷定理 坡印廷定理表征了電磁場能量守恒關(guān)系，其微分形式為 （4.8） 積分形式為 （4.9）

3、 坡印廷定理的物理意義：單位時間內(nèi)通過曲面進(jìn)入體積的電磁能量等于單位時間內(nèi)體積中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。 2．坡印廷矢量 坡印廷矢量是描述電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量，其定義為 （） （4.10） 它表示單位時間內(nèi)通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量，其方向就是電磁能量傳輸?shù)姆较颉? 4.1.4 時諧電磁場 1．時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示法 以一定角頻率作時諧變化的電磁場稱為時諧電磁場或正弦電磁場。 時諧電磁場可用復(fù)數(shù)形式來表示 （4.10）

4、其中 （4.11） 稱為電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)形式或復(fù)矢量。 2．麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式 時諧電磁場的復(fù)矢量滿足的麥克斯韋方程為 （4.12） （4.13） （4.14） （4.15） 3．復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 在時諧電磁場中，對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，表征其電極化特性的參數(shù)是復(fù)介電常數(shù)（即復(fù)電容率）

5、 （4.16） 對于存在磁化損耗的磁介質(zhì)，表征其磁化特性的參數(shù)是復(fù)磁導(dǎo)率 （4.17） 對于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，其損耗特性可用等效復(fù)介電常數(shù)來描述 （4.18） 4．波動方程的復(fù)數(shù)形式 在無源空間中，電場E和磁場H的復(fù)矢量滿足的波動方程為 （4.19） （4.20） 稱為亥姆霍茲方程，其中

6、 （4.21） 5．動態(tài)矢量位和標(biāo)量位的復(fù)矢量 在時諧電磁場中，動態(tài)矢量位和動態(tài)標(biāo)量位的復(fù)矢量為 （4.22） （4.23） 洛侖茲條件為 （4.24） 可得到和的微分方程為 （4.25） （4.26

7、） 5．平均坡印廷矢量 在時諧電磁場中，一個周期內(nèi)的平均能流密度矢量（即平均坡印廷矢量）為 （4.27） 用復(fù)矢量來計算，則為 （4.28） 4.2 教學(xué)基本要求及重點(diǎn)、難點(diǎn)討論 4.2.1 教學(xué)基本要求 掌握電磁場的波動方程，理解動態(tài)矢量位和標(biāo)量位的概念以及其滿足的微分方程。 坡印廷定理是電磁場的能量轉(zhuǎn)換與守恒定律，應(yīng)深刻理解其物理意義。坡印廷矢量描述了電磁能量的傳輸，是電磁場中的一個重要概念，必須深刻理解其物理意義并應(yīng)用它分析計算電磁能量的傳輸。 惟一性定理是電磁場的重要定理之

8、一，它揭示了電磁場具有惟一確定分布的條件，應(yīng)很好地理解惟一性定理及其重要意義。 掌握正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示方法及其意義，掌握復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程和波動方程，掌握有耗媒質(zhì)特性參數(shù)的描述，掌握平均坡印廷矢量。 4.2.2 重點(diǎn)、難點(diǎn)討論 1．時變場中的位函數(shù) 時變場的位函數(shù)是本章的教學(xué)重點(diǎn)之一，它討論電磁輻射和天線的基本出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于時變場的位函數(shù)，在教學(xué)中應(yīng)明確以下幾個問題： （1）為什么要用位函數(shù)來描述時變場？在無源的問題中，電磁場的波動方程比較簡單，通常直接求解場矢量。但在有源的問題中，電磁場的波動方程是非齊次波動方程，場與源的關(guān)系較為復(fù)雜，直接求解場矢量往往很困難，引入位函數(shù)來描述

9、場矢量能簡化求解過程。 (2) 位函數(shù)具有不確定性。滿足下列變換關(guān)系 的兩組位函數(shù)（，）和（，）能描述同一個電磁場問題。也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。 （3）位函數(shù)的規(guī)范條件。造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定，可利用位函數(shù)的不確定性，通過規(guī)范和的條件，也就是規(guī)定，使位函數(shù)滿足的方程進(jìn)一步簡化。在電磁場中，通常采用洛倫茲條件 從而導(dǎo)出達(dá)朗貝爾方程。 除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫侖條件 在庫侖條件下，和滿足的方程為（見習(xí)題4.6） 應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)在于：①位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱的

10、，且比較簡單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場具有有限的傳遞速度；③矢量位A只決定于J，標(biāo)量位只決定于，這對求解方程特別有利。只需解出A，而無需解出，就可得到待求的電場和磁場。 應(yīng)用庫侖條件的特點(diǎn)是：標(biāo)量位滿足泊松方程，容易求解；②但矢量位A方程的形式較為復(fù)雜。 必須強(qiáng)調(diào)的是，電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位滿足的方程不同，得到的和的解也不相同，但最終得到的和是相同的。 2．時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示法 在研究時諧電磁場時，常采用復(fù)數(shù)表達(dá)式。一是數(shù)學(xué)處理帶來很大的方便，當(dāng)場量用復(fù)數(shù)表示時，所滿足的方程中不再出現(xiàn)對時間的

11、偏導(dǎo)數(shù)，對問題的分析求解得以簡化；二是在物理上，用復(fù)數(shù)來描述某些物理現(xiàn)象要比實數(shù)方便。例如，平面波在有耗媒質(zhì)中傳播時，波的振幅會衰減當(dāng)采用復(fù)數(shù)表示時，媒質(zhì)的損耗特性可用復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率來描述，波的傳播可由復(fù)波矢量來描述。 關(guān)于時諧場的復(fù)數(shù)表示法，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）客觀物理量都是實數(shù)，雖然采用了復(fù)數(shù)表達(dá)式，但并不是說實際物理量是復(fù)數(shù)，而只是用復(fù)數(shù)來表示實際物理量，其復(fù)數(shù)表達(dá)式的實部或虛部才代表真實物理量。在本教材中，規(guī)定取復(fù)數(shù)表達(dá)式的實部代表實際物理量。 （2）在場量的復(fù)數(shù)表達(dá)式中，通常省去時間因子。因此，將場量的復(fù)數(shù)表達(dá)式寫成瞬時值形式(即實數(shù)表達(dá)式)時，應(yīng)乘上時間因子后再取實

12、部。 （3）由于正弦電磁場可采用復(fù)數(shù)表示和實數(shù)表示兩種形式，麥克斯韋方程組也相應(yīng)有復(fù)數(shù)形式和實數(shù)形式。這兩種形式之間有明顯的區(qū)別，實數(shù)形式具有普遍性，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它宏觀電磁現(xiàn)象。在實數(shù)形式中，場量為實數(shù)表達(dá)式而復(fù)數(shù)形式中，場量為復(fù)數(shù)表達(dá)式，故只適用于復(fù)數(shù)表示的正弦電磁場，切不可將兩者混為一談。 （4）在本教材中，采用來定義復(fù)矢量，這里的是復(fù)振幅矢量。在有的教材中，采用來定義復(fù)矢量為其中的為復(fù)有效值矢量。采用復(fù)有效值矢量表示方式時，平均坡印廷矢量。此外，也有教材中用來定義復(fù)矢量。 （5）在電磁場的書籍中，時間因子的選擇有兩種形式：在工程技術(shù)書籍中一般采用，在電動力學(xué)書籍

13、中多采用。時間因子的選擇不同，場量的復(fù)數(shù)表達(dá)式就有差異。例如，表示一個沿方向傳播的右旋旋圓極化波，若時間因子為，則電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表達(dá)式為 若時間因子為，則電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表達(dá)式為 兩種表達(dá)方式的復(fù)矢量不相同，但瞬時場量是相同的。這兩種表示之間存在互換關(guān)系，也就是說，將前一種表達(dá)式中的換成即為后一種表達(dá)式，反之亦然。 3．坡印廷矢量和平均坡印廷矢量 坡印廷定理與坡印廷矢量是本章的教學(xué)重點(diǎn)之一。坡印廷定理描述了電磁能量守恒與轉(zhuǎn)換規(guī)律，它從理論上揭示了電磁場的物質(zhì)屬性，是電磁場的重要定理之一。坡印廷矢量描述了電磁能量的傳輸狀況，它表明S的方向總是與該點(diǎn)處的E、H垂直，E、H、S三者構(gòu)成

14、右手螺旋關(guān)系；S的方向表明該點(diǎn)電磁能量流動的方向，S的值等于穿過與它垂直的單位面積上的電磁功率。坡印廷矢量S既是空間坐標(biāo)的函數(shù)，又是時間的函數(shù)，因此，坡印廷矢量的時空分布形象地描繪出電磁能量流動的情況。 需要指出的是坡印廷矢量包含了場量的平方關(guān)系，是二次式。二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。當(dāng)場量用復(fù)數(shù)形式給出時，必須先取實部再代入，即 例如，一正弦電磁場的電磁強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為 和 則坡印廷矢量為 將電磁強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有 和 則 在正弦電磁場中，常常計算坡印廷矢量在一個周期內(nèi)的時間平均

15、值，即平均坡印廷矢量 平均坡印廷矢量可以直接用場量的復(fù)數(shù)形式計算 關(guān)于和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）具有普遍意義。不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它時變電磁場。而只適用于正弦電磁場； （2） 中的和都是實數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以也是時間的函數(shù)。而中的和都是復(fù)矢量，而且與時間無關(guān)，所以也與時間無關(guān)。 （3）利用，可由計算，但不能直接由計算，也就是說 4.3 習(xí)題解答 4.1 證明：在無源的真空中，以下矢量函數(shù)滿足波動方程，其中，為常數(shù)。 （1）；（2）； （3） 解 （1） 故 即矢量函數(shù)滿足波動方程。 （2） 故 即矢量函數(shù)滿足

16、波動方程。 （3） 故 即矢量函數(shù)滿足波動方程。 4.2 在無損耗的線性、各向同性媒質(zhì)中，電場強(qiáng)度的波動方程為 已知矢量函數(shù)，其中和是常矢量。試證明滿足波動方程的條件是，這里。 解 在直角坐標(biāo)中 設(shè) 則 故 代入方程，得 故 4.3 已知無源的空氣中的磁場強(qiáng)度為 利用波動方程求常數(shù)的值。 解 在無源的空氣中的磁場強(qiáng)度滿足波動方程 而 代入方程，得 于是有 故得到 4.4 證明：在無源的真空中，矢量函數(shù)滿足波動方程，但不滿足麥克斯韋方程組。 解

17、 所以 即矢量函數(shù)滿足波動方程。 另一方面 而在無源的真空中應(yīng)滿足的麥克斯韋方程為 故矢量函數(shù)不滿足麥克斯韋方程組。 以上結(jié)果表明，波動方程的解不一定滿足麥克斯韋方程。 4.5 證明：在有電荷密度和電流密度的均勻無損耗媒質(zhì)中，電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度滿足的波動方程 ， 解 在有電荷密度和電流密度的均勻無損耗媒質(zhì)中，麥克斯韋方程組為 （1） （2）

18、 （3） （4） 對式（1）兩邊取旋度，得 而 故 （5） 將式（2）和式（3）代入式（5），得 這就是H的波動方程，是二階非齊次方程。 同樣，對式（2）兩邊取旋度，得 即 （6） 將式（1）和式（4）代入式（6），得 此即E滿足的波動方程。 4.6 在應(yīng)用電磁位時，如果不采用洛侖茲條件，而采用庫侖規(guī)范，導(dǎo)出和所滿足的微分方程。 解

19、將電磁矢量位A的關(guān)系式 和電磁標(biāo)量位的關(guān)系式 代入麥克斯韋第一方程 得 利用矢量恒等式 得 （1） 又由 得 即 （2） 按庫侖規(guī)范，令，將其代入式（1）和式（2）得 （3） （4） 式（3）和式（4）就是采用庫侖規(guī)范時，電磁場A和所滿足的微分方程。 4.7 證明：在無源空間（，）中，可以引入矢量位和

20、標(biāo)量位，定義為 并推導(dǎo)和的微分方程。 解 無源空間的麥克斯韋方程組為 （1） （2） （3） （4） 據(jù)矢量恒等式和式（4），知D可表示為一個矢量的旋度，故令 （5）

21、將式（5）代入式（1），得 即 （6） 根據(jù)矢量恒等式和式（6），知可表示為一個標(biāo)量的梯度，故令 即 （7） 將式（5）和式（7）代入式（2），得 （8） 而 故式（8）變?yōu)? （9） 又將式（7）代入式（3），得 即 （10） 令 將它代入式（9）和式（10），即得

22、和的微分方程 4.8給定標(biāo)量位及矢量位，式中。（1）試證明：；（2）求、、和；（3）證明上述結(jié)果滿足自由空間的麥克斯韋方程。 解 （1） 故 則 （2） 而 （3）這是無源自由空間的零場，自然滿足麥克斯韋方程。 4.9 自由空間中的電磁場為 式中。求： （1）瞬時坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量； （3）任一時刻流入如題4. 9圖所示的平行六面體（長、橫截面積為）中的凈功率。 解 （1）瞬時坡印廷矢量 （2）平均坡印廷矢量 （3）任一時刻流入如題4.9圖所示的平行六面體中的凈功率為 4.10 已知某

23、電磁場的復(fù)矢量為 式中，為真空中的光速，是波長。求：（1）、、各點(diǎn)處的瞬時坡印廷矢量；（2）以上各點(diǎn)處的平均坡印廷矢量。 解 （1）和的瞬時矢量為 則瞬時坡印廷矢量為 故 （2） 4.11 在橫截面為的矩形金屬波導(dǎo)中，電磁場的復(fù)矢量為 式中、、和都是實常數(shù)。求：（1）瞬時坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。 解 （1）和的瞬時矢量為 故瞬時坡印廷矢量 （2）平均坡印廷矢量 4.12 在球坐標(biāo)系中，已知電磁場的瞬時值 式中為常數(shù)，，。試計算通過以坐標(biāo)原點(diǎn)為

24、球心、為半徑的球面的總功率。 解 將和表示為復(fù)數(shù)形式，有 于是得到平均坡印廷矢量 通過以原點(diǎn)為球心、為半徑的球面的總功率 4.13 已知無源的真空中電磁波的電場 證明，其中是電磁場能量密度的時間平均值，為電磁波在真空中的傳播速度。 解 電場復(fù)矢量為 由，得磁場強(qiáng)度復(fù)矢量 所以 另一方面 由于，故有 4.14設(shè)電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為 證明其坡印廷矢量的平均值為 解 坡印廷矢量的瞬時值為 故平均坡印廷矢量為 4.15 在半徑為、電導(dǎo)率為的無限長直圓柱導(dǎo)線中，沿軸向通以均勻分布

25、的恒定電流，且導(dǎo)線表面上有均勻分布的電荷面密度。 （1）導(dǎo)線表面外側(cè)的坡印廷矢量； （2）證明：由導(dǎo)線表面進(jìn)入其內(nèi)部的功率等于導(dǎo)線內(nèi)的焦耳熱損耗功率。 解：（1）當(dāng)導(dǎo)線的電導(dǎo)率為有限值時，導(dǎo)線內(nèi)部存在沿電流方向的電場 根據(jù)邊界條件，在導(dǎo)線表面上電場的切向分量連續(xù)，即。因此，在導(dǎo)線表面外側(cè)的電場的切向分量為 又利用高斯定理，容易求得導(dǎo)線表面外側(cè)的電場的法向分量為 故導(dǎo)線表面外側(cè)的電場為 利用安培環(huán)路定理，可求得導(dǎo)線表面外側(cè)的磁場為 故導(dǎo)線表面外側(cè)的坡印廷矢量為 由此可見，由導(dǎo)線表面進(jìn)入其內(nèi)部的功率等于導(dǎo)線內(nèi)的焦耳熱損耗功率。式中是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電

26、阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。 4.16 由半徑為的兩圓形導(dǎo)體平板構(gòu)成一平行板電容器，間距為，兩板間充滿介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的媒質(zhì)，如題4.16題所示。設(shè)兩板間外加緩變電壓，略去邊緣效應(yīng)，試求： 題4.16題 （1）電容器內(nèi)的瞬時坡印廷矢量和平均坡印廷矢量； （2）進(jìn)入電容器的平均功率； （3）電容器內(nèi)損耗的瞬時功率和平均功率； 解 （1）電容器中的電場 位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度分別為 由于軸對稱性，兩板間的磁場只有分量，且在以軸為中心、為半徑的圓周上處處相等。于是由 可得 所以 （2）損耗功率瞬時值為 平均損耗功率為 （3）進(jìn)入電容器的平均功率為 由此可見有 4.17 已知真空中兩個沿方向傳播的電磁波的電磁場分別為 ， 其中為常數(shù)、。證明總的平均坡印廷矢量等于兩個波的平均坡印廷矢量之和。 解 由得磁場復(fù)矢量 所以平均坡印廷矢量 合成波電場和磁場復(fù)矢量 所以平均坡印廷矢量 由此可見 4.18 試證明電磁能量密度和坡印廷矢量在下列變換下都具有不變性： ， 其中為常數(shù)、。 解：（1） 由于，則及，故有 （2） 4－17