電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第4章 時變電磁場

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1、第4章 時變電磁場 4.1基本內容概述 這一章主要討論時變電磁場的普遍規(guī)律，內容包括：電磁場的波動方程，動態(tài)矢量位和標量位，坡印廷定理與坡印廷矢量，時諧電磁場。 4.1.1波動方程 在無源的線性、各向同性且無損耗的均勻媒質中，由麥克斯韋方程組可推導出電場E和磁場H滿足波動方程 （4.1） （4.2） 4.1.2 動態(tài)矢量位和標量位 在時變電磁場中，動態(tài)矢量位和動態(tài)標量位的定義為

2、 （4.3） （4.4） 應用洛侖茲條件 （4.5） 可得到和的微分方程為 （4.6） （4.7） 4.1.3 坡印廷定理和坡印廷矢量 1．坡印廷定理 坡印廷定理表征了電磁場能量守恒關系，其微分形式為 （4.8） 積分形式為 （4.9）

3、 坡印廷定理的物理意義：單位時間內通過曲面進入體積的電磁能量等于單位時間內體積中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。 2．坡印廷矢量 坡印廷矢量是描述電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量，其定義為 （） （4.10） 它表示單位時間內通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量，其方向就是電磁能量傳輸?shù)姆较颉? 4.1.4 時諧電磁場 1．時諧電磁場的復數(shù)表示法 以一定角頻率作時諧變化的電磁場稱為時諧電磁場或正弦電磁場。 時諧電磁場可用復數(shù)形式來表示 （4.10）

4、其中 （4.11） 稱為電場強度的復數(shù)形式或復矢量。 2．麥克斯韋方程的復數(shù)形式 時諧電磁場的復矢量滿足的麥克斯韋方程為 （4.12） （4.13） （4.14） （4.15） 3．復電容率和復磁導率 在時諧電磁場中，對于存在電極化損耗的電介質，表征其電極化特性的參數(shù)是復介電常數(shù)（即復電容率）

5、 （4.16） 對于存在磁化損耗的磁介質，表征其磁化特性的參數(shù)是復磁導率 （4.17） 對于介電常數(shù)為、電導率為的導電媒質，其損耗特性可用等效復介電常數(shù)來描述 （4.18） 4．波動方程的復數(shù)形式 在無源空間中，電場E和磁場H的復矢量滿足的波動方程為 （4.19） （4.20） 稱為亥姆霍茲方程，其中

6、 （4.21） 5．動態(tài)矢量位和標量位的復矢量 在時諧電磁場中，動態(tài)矢量位和動態(tài)標量位的復矢量為 （4.22） （4.23） 洛侖茲條件為 （4.24） 可得到和的微分方程為 （4.25） （4.26

7、） 5．平均坡印廷矢量 在時諧電磁場中，一個周期內的平均能流密度矢量（即平均坡印廷矢量）為 （4.27） 用復矢量來計算，則為 （4.28） 4.2 教學基本要求及重點、難點討論 4.2.1 教學基本要求 掌握電磁場的波動方程，理解動態(tài)矢量位和標量位的概念以及其滿足的微分方程。 坡印廷定理是電磁場的能量轉換與守恒定律，應深刻理解其物理意義。坡印廷矢量描述了電磁能量的傳輸，是電磁場中的一個重要概念，必須深刻理解其物理意義并應用它分析計算電磁能量的傳輸。 惟一性定理是電磁場的重要定理之

8、一，它揭示了電磁場具有惟一確定分布的條件，應很好地理解惟一性定理及其重要意義。 掌握正弦電磁場的復數(shù)表示方法及其意義，掌握復數(shù)形式的麥克斯韋方程和波動方程，掌握有耗媒質特性參數(shù)的描述，掌握平均坡印廷矢量。 4.2.2 重點、難點討論 1．時變場中的位函數(shù) 時變場的位函數(shù)是本章的教學重點之一，它討論電磁輻射和天線的基本出發(fā)點。關于時變場的位函數(shù)，在教學中應明確以下幾個問題： （1）為什么要用位函數(shù)來描述時變場？在無源的問題中，電磁場的波動方程比較簡單，通常直接求解場矢量。但在有源的問題中，電磁場的波動方程是非齊次波動方程，場與源的關系較為復雜，直接求解場矢量往往很困難，引入位函數(shù)來描述

9、場矢量能簡化求解過程。 (2) 位函數(shù)具有不確定性。滿足下列變換關系 的兩組位函數(shù)（，）和（，）能描述同一個電磁場問題。也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。 （3）位函數(shù)的規(guī)范條件。造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定，可利用位函數(shù)的不確定性，通過規(guī)范和的條件，也就是規(guī)定，使位函數(shù)滿足的方程進一步簡化。在電磁場中，通常采用洛倫茲條件 從而導出達朗貝爾方程。 除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫侖條件 在庫侖條件下，和滿足的方程為（見習題4.6） 應用洛侖茲條件的特點在于：①位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱的

10、，且比較簡單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場具有有限的傳遞速度；③矢量位A只決定于J，標量位只決定于，這對求解方程特別有利。只需解出A，而無需解出，就可得到待求的電場和磁場。 應用庫侖條件的特點是：標量位滿足泊松方程，容易求解；②但矢量位A方程的形式較為復雜。 必須強調的是，電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標量位滿足的方程不同，得到的和的解也不相同，但最終得到的和是相同的。 2．時諧電磁場的復數(shù)表示法 在研究時諧電磁場時，常采用復數(shù)表達式。一是數(shù)學處理帶來很大的方便，當場量用復數(shù)表示時，所滿足的方程中不再出現(xiàn)對時間的

11、偏導數(shù)，對問題的分析求解得以簡化；二是在物理上，用復數(shù)來描述某些物理現(xiàn)象要比實數(shù)方便。例如，平面波在有耗媒質中傳播時，波的振幅會衰減當采用復數(shù)表示時，媒質的損耗特性可用復介電常數(shù)或復磁導率來描述，波的傳播可由復波矢量來描述。 關于時諧場的復數(shù)表示法，應注意以下幾點： （1）客觀物理量都是實數(shù)，雖然采用了復數(shù)表達式，但并不是說實際物理量是復數(shù)，而只是用復數(shù)來表示實際物理量，其復數(shù)表達式的實部或虛部才代表真實物理量。在本教材中，規(guī)定取復數(shù)表達式的實部代表實際物理量。 （2）在場量的復數(shù)表達式中，通常省去時間因子。因此，將場量的復數(shù)表達式寫成瞬時值形式(即實數(shù)表達式)時，應乘上時間因子后再取實

12、部。 （3）由于正弦電磁場可采用復數(shù)表示和實數(shù)表示兩種形式，麥克斯韋方程組也相應有復數(shù)形式和實數(shù)形式。這兩種形式之間有明顯的區(qū)別，實數(shù)形式具有普遍性，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它宏觀電磁現(xiàn)象。在實數(shù)形式中，場量為實數(shù)表達式而復數(shù)形式中，場量為復數(shù)表達式，故只適用于復數(shù)表示的正弦電磁場，切不可將兩者混為一談。 （4）在本教材中，采用來定義復矢量，這里的是復振幅矢量。在有的教材中，采用來定義復矢量為其中的為復有效值矢量。采用復有效值矢量表示方式時，平均坡印廷矢量。此外，也有教材中用來定義復矢量。 （5）在電磁場的書籍中，時間因子的選擇有兩種形式：在工程技術書籍中一般采用，在電動力學書籍

13、中多采用。時間因子的選擇不同，場量的復數(shù)表達式就有差異。例如，表示一個沿方向傳播的右旋旋圓極化波，若時間因子為，則電場強度的復數(shù)表達式為 若時間因子為，則電場強度的復數(shù)表達式為 兩種表達方式的復矢量不相同，但瞬時場量是相同的。這兩種表示之間存在互換關系，也就是說，將前一種表達式中的換成即為后一種表達式，反之亦然。 3．坡印廷矢量和平均坡印廷矢量 坡印廷定理與坡印廷矢量是本章的教學重點之一。坡印廷定理描述了電磁能量守恒與轉換規(guī)律，它從理論上揭示了電磁場的物質屬性，是電磁場的重要定理之一。坡印廷矢量描述了電磁能量的傳輸狀況，它表明S的方向總是與該點處的E、H垂直，E、H、S三者構成

14、右手螺旋關系；S的方向表明該點電磁能量流動的方向，S的值等于穿過與它垂直的單位面積上的電磁功率。坡印廷矢量S既是空間坐標的函數(shù)，又是時間的函數(shù)，因此，坡印廷矢量的時空分布形象地描繪出電磁能量流動的情況。 需要指出的是坡印廷矢量包含了場量的平方關系，是二次式。二次式本身不能用復數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復數(shù)形式的場量直接代入。當場量用復數(shù)形式給出時，必須先取實部再代入，即 例如，一正弦電磁場的電磁強度和磁場強度分別為 和 則坡印廷矢量為 將電磁強度和磁場強度用復數(shù)表示，即有 和 則 在正弦電磁場中，常常計算坡印廷矢量在一個周期內的時間平均

15、值，即平均坡印廷矢量 平均坡印廷矢量可以直接用場量的復數(shù)形式計算 關于和應注意以下幾點： （1）具有普遍意義。不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它時變電磁場。而只適用于正弦電磁場； （2） 中的和都是實數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以也是時間的函數(shù)。而中的和都是復矢量，而且與時間無關，所以也與時間無關。 （3）利用，可由計算，但不能直接由計算，也就是說 4.3 習題解答 4.1 證明：在無源的真空中，以下矢量函數(shù)滿足波動方程，其中，為常數(shù)。 （1）；（2）； （3） 解 （1） 故 即矢量函數(shù)滿足波動方程。 （2） 故 即矢量函數(shù)滿足

16、波動方程。 （3） 故 即矢量函數(shù)滿足波動方程。 4.2 在無損耗的線性、各向同性媒質中，電場強度的波動方程為 已知矢量函數(shù)，其中和是常矢量。試證明滿足波動方程的條件是，這里。 解 在直角坐標中 設 則 故 代入方程，得 故 4.3 已知無源的空氣中的磁場強度為 利用波動方程求常數(shù)的值。 解 在無源的空氣中的磁場強度滿足波動方程 而 代入方程，得 于是有 故得到 4.4 證明：在無源的真空中，矢量函數(shù)滿足波動方程，但不滿足麥克斯韋方程組。 解

17、 所以 即矢量函數(shù)滿足波動方程。 另一方面 而在無源的真空中應滿足的麥克斯韋方程為 故矢量函數(shù)不滿足麥克斯韋方程組。 以上結果表明，波動方程的解不一定滿足麥克斯韋方程。 4.5 證明：在有電荷密度和電流密度的均勻無損耗媒質中，電場強度和磁場強度滿足的波動方程 ， 解 在有電荷密度和電流密度的均勻無損耗媒質中，麥克斯韋方程組為 （1） （2）

18、 （3） （4） 對式（1）兩邊取旋度，得 而 故 （5） 將式（2）和式（3）代入式（5），得 這就是H的波動方程，是二階非齊次方程。 同樣，對式（2）兩邊取旋度，得 即 （6） 將式（1）和式（4）代入式（6），得 此即E滿足的波動方程。 4.6 在應用電磁位時，如果不采用洛侖茲條件，而采用庫侖規(guī)范，導出和所滿足的微分方程。 解

19、將電磁矢量位A的關系式 和電磁標量位的關系式 代入麥克斯韋第一方程 得 利用矢量恒等式 得 （1） 又由 得 即 （2） 按庫侖規(guī)范，令，將其代入式（1）和式（2）得 （3） （4） 式（3）和式（4）就是采用庫侖規(guī)范時，電磁場A和所滿足的微分方程。 4.7 證明：在無源空間（，）中，可以引入矢量位和

20、標量位，定義為 并推導和的微分方程。 解 無源空間的麥克斯韋方程組為 （1） （2） （3） （4） 據(jù)矢量恒等式和式（4），知D可表示為一個矢量的旋度，故令 （5）

21、將式（5）代入式（1），得 即 （6） 根據(jù)矢量恒等式和式（6），知可表示為一個標量的梯度，故令 即 （7） 將式（5）和式（7）代入式（2），得 （8） 而 故式（8）變?yōu)? （9） 又將式（7）代入式（3），得 即 （10） 令 將它代入式（9）和式（10），即得

22、和的微分方程 4.8給定標量位及矢量位，式中。（1）試證明：；（2）求、、和；（3）證明上述結果滿足自由空間的麥克斯韋方程。 解 （1） 故 則 （2） 而 （3）這是無源自由空間的零場，自然滿足麥克斯韋方程。 4.9 自由空間中的電磁場為 式中。求： （1）瞬時坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量； （3）任一時刻流入如題4. 9圖所示的平行六面體（長、橫截面積為）中的凈功率。 解 （1）瞬時坡印廷矢量 （2）平均坡印廷矢量 （3）任一時刻流入如題4.9圖所示的平行六面體中的凈功率為 4.10 已知某

23、電磁場的復矢量為 式中，為真空中的光速，是波長。求：（1）、、各點處的瞬時坡印廷矢量；（2）以上各點處的平均坡印廷矢量。 解 （1）和的瞬時矢量為 則瞬時坡印廷矢量為 故 （2） 4.11 在橫截面為的矩形金屬波導中，電磁場的復矢量為 式中、、和都是實常數(shù)。求：（1）瞬時坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。 解 （1）和的瞬時矢量為 故瞬時坡印廷矢量 （2）平均坡印廷矢量 4.12 在球坐標系中，已知電磁場的瞬時值 式中為常數(shù)，，。試計算通過以坐標原點為

24、球心、為半徑的球面的總功率。 解 將和表示為復數(shù)形式，有 于是得到平均坡印廷矢量 通過以原點為球心、為半徑的球面的總功率 4.13 已知無源的真空中電磁波的電場 證明，其中是電磁場能量密度的時間平均值，為電磁波在真空中的傳播速度。 解 電場復矢量為 由，得磁場強度復矢量 所以 另一方面 由于，故有 4.14設電場強度和磁場強度分別為 證明其坡印廷矢量的平均值為 解 坡印廷矢量的瞬時值為 故平均坡印廷矢量為 4.15 在半徑為、電導率為的無限長直圓柱導線中，沿軸向通以均勻分布

25、的恒定電流，且導線表面上有均勻分布的電荷面密度。 （1）導線表面外側的坡印廷矢量； （2）證明：由導線表面進入其內部的功率等于導線內的焦耳熱損耗功率。 解：（1）當導線的電導率為有限值時，導線內部存在沿電流方向的電場 根據(jù)邊界條件，在導線表面上電場的切向分量連續(xù)，即。因此，在導線表面外側的電場的切向分量為 又利用高斯定理，容易求得導線表面外側的電場的法向分量為 故導線表面外側的電場為 利用安培環(huán)路定理，可求得導線表面外側的磁場為 故導線表面外側的坡印廷矢量為 由此可見，由導線表面進入其內部的功率等于導線內的焦耳熱損耗功率。式中是單位長度內導體的電

26、阻。由此可見，進入內導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。 4.16 由半徑為的兩圓形導體平板構成一平行板電容器，間距為，兩板間充滿介電常數(shù)為、電導率為的媒質，如題4.16題所示。設兩板間外加緩變電壓，略去邊緣效應，試求： 題4.16題 （1）電容器內的瞬時坡印廷矢量和平均坡印廷矢量； （2）進入電容器的平均功率； （3）電容器內損耗的瞬時功率和平均功率； 解 （1）電容器中的電場 位移電流密度和傳導電流密度分別為 由于軸對稱性，兩板間的磁場只有分量，且在以軸為中心、為半徑的圓周上處處相等。于是由 可得 所以 （2）損耗功率瞬時值為 平均損耗功率為 （3）進入電容器的平均功率為 由此可見有 4.17 已知真空中兩個沿方向傳播的電磁波的電磁場分別為 ， 其中為常數(shù)、。證明總的平均坡印廷矢量等于兩個波的平均坡印廷矢量之和。 解 由得磁場復矢量 所以平均坡印廷矢量 合成波電場和磁場復矢量 所以平均坡印廷矢量 由此可見 4.18 試證明電磁能量密度和坡印廷矢量在下列變換下都具有不變性： ， 其中為常數(shù)、。 解：（1） 由于，則及，故有 （2） 4－17