電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第5章 平面電磁波

《電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第5章 平面電磁波》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第5章 平面電磁波（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第5章 平面電磁波 5.1基本內容概述 本章討論均勻平面波在無界空間傳播的特性，主要內容為：均勻平面波在無界的理想介質中的傳播特性和導電媒質中的傳播特性，電磁波的極化，均勻平面波在各向異性媒質中的傳播、相速與群速。 5.1.1理想介質中的均勻平面波 1．均勻平面波函數(shù) 在正弦穩(wěn)態(tài)的情況下，線性、各向同性的均勻媒質中的無源區(qū)域的波動方程為 對于沿z軸方向傳播的均勻平面波，僅是z坐標的函數(shù)。若取電場的方向為軸，即，則波動方程簡化為 沿＋z軸方向傳播的正向行波為 （5.1） 與之相伴的磁場強度復矢量為

2、 （5.2） 電場強度和磁場強度的瞬時值形式分別為 （5.3） （5.4） 2．均勻平面波的傳播參數(shù) （1）周期 ，表示時間相位相差的時間間隔。 （2）相位常數(shù) （rad/m），表示波傳播單位距離的相位變化。 （3）波長 （m），表示空間相位相差的兩等相位面之間的距離。 （4）相速（m/s），表示等相位面的移動速度。 （5）波阻抗（本征阻抗）（），描述均勻平面波的電場和磁場之間的大小及相位關系。在真空中，（） 3．能量密度與能流密度 在理想介質中，均勻平面波的電場能量密度等于磁場能量密度，即 電磁能量密度可表示

3、為 （5.5） 瞬時坡印廷矢量為 （5.6） 平均坡印廷矢量為 （5.7） 4．沿任意方向傳播的平面波 對于任意方向傳播的均勻平面波，定義波矢量為 （5.8） 則 （5.9） （5.10） （5.11） 5.1.2電磁波的極化 1．極化的概念

4、波的極化表征在空間給定點上電場強度矢量的取向隨時間變化的特性, 并用電場強度矢量的端點在空間描繪出的軌跡來描述。 電磁波的極化狀態(tài)分為：直線極化、圓極化、橢圓極化。 2．極化的三種狀態(tài) 一般情況下，沿方向傳播的均勻平面波的電場可表示為 （1） 直線極化 直線極化的條件：或； 極化角： （2） 圓極化 圓極化的條件：、； 合成波電場強度的大?。? 極化角： 當時，為左旋圓極化波；當時，為左旋圓極化波； （3）橢圓極化 當、和、不滿足上述條件時，就構成橢圓極化波。直線極化和圓極化都可看作橢圓極化的特例。 5.1.3導電媒質中的均勻平面波

5、導電媒質的典型特征：電導率，電磁波在其中傳播時，有電磁能量的損耗。 1．導電媒質中的平面波函數(shù) 在導電媒質中，電場強度E滿足的亥姆霍茲方程為 式中：為傳播常數(shù)；為復波數(shù)；為復介電常數(shù)。 對于沿+z方向傳播均勻平面波，若取，則 （5.12） 與電場相伴的磁場為 （5.13） 式中：稱為衰減常數(shù)，單位為； 稱為相位常數(shù)，單位為； 為導電媒質的本征阻抗，是一復數(shù)。 電場和磁場的瞬時值形式 （5.14） （5.15） 導電媒中均勻平面波的

6、瞬時坡印廷矢量為 （5.16） 平均坡印廷矢量為 （5.17） 2．弱導電媒質 滿足條件<<1的媒質稱為弱導電媒質，此時 （5.18） （5.19） （5.20） （5.21） （5.22） 3．良導體 滿足條件>

7、>1的媒質稱為良導體，此時 （5.23） （5.24） （5.25） （5.26） 在良導體中，磁場的相位滯后于電場。 電磁波在良導體中衰減很快，主要存在于良導體表面的一個薄層內，用趨膚深度（或穿透深度）來描述 （5.27） 5.1.4 群速 群速是包絡波上任一恒定相位點的推進速度

8、 （5.28） 群速與相速之間的關系為 （5.29） 群速與相速一般是不相等的，存在以下三種可能情況： （1），即相速與頻率無關，此時，即群速等于相速，稱為無色散； （2），即相速隨著頻率升高而減小，此時，稱為正常色散； （3），即相速隨著頻率升高而增加，此時，稱為反常色散。 5.1.5 均勻平面波在各向異性媒質中的傳播 1．均勻平面波在磁化等離子體中的傳播 設外加恒定磁場為，則等離子體的介電常數(shù)的張量為 （5.30） 其中

9、 （5.31） （5.32） （5.33） 電場的波動方程 對于沿外加恒定磁場方向（即方向）傳播的均勻平面波，有 （5.34） （5.35） 一個為左旋圓極化波，一個為右旋圓極化波。由于兩個圓極化波的相速不相等，合成波的極化面在磁化等離子體內以為軸而不斷旋轉，這種現(xiàn)象稱為法拉第效應。 2. 均勻平面波在磁化鐵氧體中的傳播 設外加恒定磁場為，則飽和磁化鐵氧體的磁導率張量為

10、 （5.36） 其中 （5.37） （5.38） （5.39） 磁場強度的波動方程 對于沿外加恒定磁場方向（即方向）傳播的均勻平面波，有 （5.40） （5.41） 5.2 教學基本要求及重點、難點討論 5.2.1 教學基本要求 掌握波的概念和表示方法，理解均勻平面波的概念以及研究均勻平面波的重要意義；理解和掌握均勻平面波在無界理想介質中的傳播特性；理解和掌握

11、均勻平面波在無界有損耗媒質中的傳播特性，理解描述傳播特性的參數(shù)的物理意義。 掌握波的極化的概念以及研究波的極化的重要意義，掌握三種極化方式的條件并能正確判別波的極化狀態(tài)； 理解群速的概念以及群速與相速的關系； 了解電磁波在各向異性媒質中傳播問題的分析方法及其傳播特性。 5.2.2 重點、難點討論 1．均勻平面電磁波 均勻平面波是教學中的一個重點。研究電磁波的傳播，要明確研究些什么，用什么參量來表征波的傳播特性，空間媒質對波的傳播又有什么樣的影響？了解什么是均勻平面波，研究均勻平面波的意義何在？ 均勻平面波的波陣面（或等相位面、波前）為平面，且在波陣面上各點的場強都相等。也就是說，

12、在與波傳播方向垂直的無限大平面（即等相位面）內，場的方向、振幅和相位都相同。它的特性及討論方法簡單，但又能表征電磁波重要的和主要的性質。 均勻平面波是電磁波的一種最簡單形式。實際應用的各種復雜形式的電磁波可以看成是由許多均勻平面波疊加的結果；遠離波源的球面波，當所討論的區(qū)域很小，可近似地看成平面波。分析均勻平面波這一特殊的電磁波形式，既可以使問題大大簡化，又不妨礙對電磁波傳播特性的認識，因此有著重要意義。 對于均勻平面波，重點是掌握在無界理想介質和有損耗媒質中的傳播特性。 均勻平面波在理想介質中傳播時，其傳播特性可歸納如下： ① 是一個橫電磁波（TEM波），電場E和磁場H都在垂直于傳播

13、方向的橫向平面內，且存在以下關系式 或 ② 在傳播過程中，電場E與磁場H的振幅無衰減，波形不變化。 ③ 電場E與磁場H同相位，是實數(shù)。 ④ 波的相速只與媒質參數(shù)、有關，與頻率無關，是非色散波。 ⑤ 電場能量密度等于磁場能量密度。 分析均勻平面波在導電媒質中的傳播時，關鍵點是媒質的損耗特性。從分析方法上，引入等效復介電常數(shù)，均勻平面波在理想介質中傳播情況類比。但由于媒質的損耗特性，使得均勻平面波在導電媒質中的傳播特性與其在理想介質中的傳播特性有很大的差異。均勻平面波在導電媒質中的傳播特性可歸納如下： ① 是一個橫電磁波（TEM波），E和H都在垂直于傳播方向的橫向平面內，有如下關

14、系式 或 ② 在傳播過程中有衰減，電場E與磁場H的振幅有衰減，波形要發(fā)生變化。 ③ 是復數(shù)，E和H不同相位。 ④ 波的相速不僅與媒質參數(shù)、、有關，還與頻率有關，是色散波。 ⑤ 電場能量密度小于磁場能量密度。 2．波矢量 波矢量k的大小等于波數(shù)k，方向則用波傳播方向的單位矢量表示，即。這是描述電磁波傳播特性的一個重要參數(shù)，它的大小直接表征電磁波的相位、相速、波長、衰減等參數(shù)，它的方向就是電磁波的傳播方向。 在理想介質中，波矢量為 是一個實常矢量。它表明波在傳播過程中無衰減，波形無變化。 在有損耗媒質中，波矢量為 是一個復矢量。它表明波在傳播過程中有衰減，波形要發(fā)

15、生變化。 3．波阻抗 均勻平面波的電場與磁場的振幅之比稱為波阻抗，它是表征電磁波特性的又一個重要參數(shù)，其大小和相位直接表征電場和磁場的振幅的相對大小和相位關系。 對于理想介質，波阻抗為 是一個僅與媒質參數(shù)、有關的實數(shù)，表明電場和磁場同相位。 對于有損耗媒質，波阻抗為 可見，是一個不僅與媒質參數(shù)有關，還與頻率有關的復數(shù)，同時也表明磁場的相位落后電場的相位。 應該指出，引入波阻抗便于討論電磁波在分界面上的入射、反射和透射問題，特別是處理對多層媒質的垂直入射問題時，等效波阻抗的概念很有用。 4．波的極化 波的極化是教學中的重點之一，它是描述均勻平面波狀態(tài)的一個重要特征。均勻

16、平面波是橫電磁波，在一般的情況下，電場強度在等相位面上存在兩個相互正交的分量。由于兩個分量的振幅和相位的不同，使得均勻平面波的合成波電場強度的振幅和方向都可能隨時間變化。這種變化規(guī)律十分重要，稱為電磁波的極化特性。 對于電磁波的極化問題，應明確為什么要研究波的極化？怎樣描述波的極化？怎樣判別波的極化方式。平面電磁波的極化是以合成波電場強度在等相位面上隨時間變化的運動軌跡來描述，分為線極化、圓極化和橢圓極化三種情況。按照合成波電場強度的旋轉方向與波的傳播方向的關系，圓極化和橢圓極化又分為左旋和右旋兩種情況。當合成波電場強度在等相位面上的旋轉方向與波傳播方向成右螺旋關系是稱為右旋極化波。反之，則

17、為左旋極化波。 對旋轉方向的判斷容易出現(xiàn)差錯，混淆不清。一種方便而淮確的判別方法是，將左手或右手的大拇指指向波的傳播方向，若左手其余四指的握向與電場強度矢量的旋向吻合，就是左旋極化波，若是右手四指握向與電場強度矢量的旋向一致，便是右旋極化波。 5.3習題解答 5.1 在自由空間中，已知電場，試求磁場強度。 解 以余弦為基準，重新寫出已知的電場表示式 這是一個沿+z方向傳播的均勻平面波的電場，其初相角為。與之相伴的磁場為 5.2 理想介質（參數(shù)為、、）中有一均勻平面波沿x方向傳播，已知其電場瞬時值表達式為 試求：（1）該理想介質的相對介電常數(shù)；（2）與相伴的磁場；

18、（3）該平面波的平均功率密度。 解 （1）理想介質中的均勻平面波的電場應滿足波動方程 據(jù)此即可求出欲使給定的滿足方程所需的媒質參數(shù)。 方程中 故得 即 故 其實，觀察題目給定的電場表達式，可知它表征一個沿＋x方向傳播的均勻平面波，其相速為 而 故 （2）與電場相伴的磁場可由求得。先寫出的復數(shù)形式，故 則得磁場的瞬時值表達式 也可以直接從關系式得到 （3）平均坡印廷矢量為 5.3 在空氣中，沿方向傳播的均勻平面波的頻率f=400MHz。當y=0.5m、t=0.2ns時，電場強度的最大值為250V/m、表征其

19、方向的單位矢量為。試求出電場和磁場的瞬時表示式。 解 沿方向傳播的均勻平面波的電場強度的一般表達式為 根據(jù)本題所給條件可知，式中各參數(shù)為 由于y=0.5m、t=0.2ns時，達到最大值，即 于是得到 故 5.4 有一均勻平面波在、、的媒質中傳播，其電場強度。若已知平面波的頻率，平均功率密度為。試求：（1）電磁波的波數(shù)、相速、波長和波阻抗；（2）、時的電場值；（3）經(jīng)過后，電場出現(xiàn)在什么位置？ 解 （1）由的表達式可看出這是沿+z方向傳播的均勻平面波，其波數(shù)為 相速為 波長為 波阻抗為 （

20、2）平均坡印廷矢量為 故得 因此 （3）隨著時間的增加，波將沿+z方向傳播，當時，電場為 得 即 則 5.5 理想介質中的均勻平面波的電場和磁場分別為 試求該介質的相對磁導率和相對介電常數(shù)。 解 由給出的和的表達式可知，它表征沿+z方向傳播的均勻平面波，其相關參數(shù)為 角頻率 波數(shù) 波阻抗 而 （1） （2） 聯(lián)立解方程（1）和（2），得 5.6 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度復矢量為

21、 V/m 求：（1）平面波的傳播方向和頻率； （2）波的極化方式； （3）磁場強度； （4）流過沿傳播方向單位面積的平均功率。 解 （1）傳播方向為 由題意知，故 （2）原點場可表示為 是左旋圓極化波。 （3）由 得 （4） 即 5.7 在空氣中，一均勻平面波的波長為12cm，當該波進入某無損媒質中傳播時，其波長減小為8cm，且已知在媒質中的和的振幅分別為50V/m和0.1A/m。求該平面波的頻率和媒質的相對磁導率和相對介常數(shù)。 解 自由空間中，波的相速，故波的頻

22、率為 在無損耗媒質中，波的相速為 又 故 （1） 無損耗媒質中的波阻抗為 又由于 故 （2） 聯(lián)解式（1）和式（2），得 5.8 在自由空間中，一均勻平面波的相位常數(shù)為，當該波進入到理想介質后，其相位常數(shù)變?yōu)?。設該理想介質的，試求該理想介質的和波在該理想介質中的傳播速度。 解 自由空間的相位常數(shù) 故 在理想電介質中，相位常數(shù)，故得到 電介質中的波速則為 5.

23、9 在自由空間中，一均勻平面波的波長為，當該波進入到理想介質后，其波長變?yōu)?。設該理想介質的，試求該理想介質的和波在該理想介質中的傳播速度。 解 在自由空間，波的相速，故波的頻率為 在理想介質中，波長，故波的相速為 另一方面 故 5.10均勻平面波的磁場強度的振幅為A/m，在自由空間沿方向傳播，其相位常數(shù)。當、時，在方向。 （1）寫出和的表達式； （2）求頻率和波長。 解 以余弦為基準，按題意先寫出磁場表示式 與之相伴的電場為 由得波長和頻率分別為 則磁場和電場分別為 5.11 在空氣中，一均勻平面波沿方向傳播，其磁場強度的瞬時表達

24、式為 （1）求相位常數(shù)和時，的位置； （2）求電場強度的瞬時表達式。 解 （1） 在時，欲使，則要求 即 ， 故 考慮到波長，故t=3ms時，Hz=0的位置為 （2）電場的瞬時表示式為 5.12 已知在自由空間傳播的均勻平面波的磁場強度為 （1）求該均勻平面波的頻率、波長、相位常數(shù)、相速； （2）求與相伴的電場強度； （3）計算瞬時坡印廷矢量。 解 （1）從給定的磁場表達式，可直接得出 頻率 相位常數(shù) 波長 相速

25、 （2）與相伴的電場強度 （3）瞬時坡印廷矢量為 5.13 頻率的正弦均勻平面波在理想介質中傳播,其電場振幅矢量，磁場振幅矢量.試求（1）波傳播方向的單位矢量；（2）介質的相對介電常數(shù)；（3）電場和磁場的復數(shù)表達式。 解 （1）表征電場方向的單位矢量為 表征磁場方向的單位矢量為 由此得到波傳播方向的單位矢量為 （2）由，可得到 （3）電場和磁場的復數(shù)表達式分別為 式中 5.14 已知自由空間傳播的均勻平面波的磁場強度為 試求：（1）波的傳播方向；（2）波的頻率和波長；（3）與相伴的

26、電場；(4)平均坡印廷矢量。 解 （1）波的傳播方向由波矢量來確定。由給出的的表達式可知 故 ，， 即 則波傳播方向單位矢量為 （2） (3) 與相伴的為 (4) 平均坡印廷矢量 5.15 頻率為100MHz的正弦均勻平面波，沿方向傳播。當t=0時，在自由空間點的電場強度為V/m，求 （1）t=0時，P點的； （2）t=1ns時，P點的； （3）t=2 ns時，點的。 解 在自由空間中 由題意可設電場強度的瞬時表達式為 當t=0、時，應有 所以 故得到：（1）當時，在

27、P點 （2）當時，在P點 （3）當時，在Q點 5.16 頻率的均勻平面波垂直入射到有一個大孔的聚苯乙烯（）介質板上，平面波將分別通過孔洞和介質板達到的右側界面，如圖示。試求介質板的厚度為多少時，才能使通過孔洞和通過介質板的平面波有相同的相位？（注：計算此題時不考慮邊緣效應。也不考慮在界面上的反射）。 題5.16圖 解 相位常數(shù)與媒質參數(shù)及波的頻率有關，對于介質板 對孔洞 可見，波在介質板中傳播單位距離引起的相位移要大于空氣中的相位移。按題目要求，介質板的厚度應滿足下式 故得 5.17 試證明：一個橢圓極化波可以分解為兩

28、個旋向相反的圓極化波。 解 表征沿+z方向傳播的橢圓極化波的電場可表示為 設兩個旋向相反的圓極化波分別為 其中、均為復數(shù)。 令，即 則有 由此可解得 故得到兩個旋向相反的圓極化波分別為 5.18 已知一右旋圓極化波的波矢量為 且時，坐標原點處的電場為。試求此右旋圓極化波的電場、磁場表達式。 解 波矢量的方向即均勻平面波的傳播方向，用其單位矢量表示，即 沿方向傳播的均勻平面波的電場和磁場均位于與方向垂直的橫向平面內。設電場的兩個分量的方向單位矢量分別為和，則應有。因此，沿方向傳播的右旋圓極化波的電場可表示為 根據(jù)題中給出條

29、件：時，坐標原點處的電場為，故得 而 故 寫成瞬時值形式 5.19 自由空間的均勻平面波的電場表達式為 式中的為待定量。試由該表達式確定波的傳播方向、角頻率、極化狀態(tài)，并求與相伴的磁場。 解 設波的傳播方向的單位矢量為，則電場的復數(shù)形式可表示為 題目中給定的電場的復數(shù)形式為 于是有 又 可見 ，， 故波矢量 波的傳播方向的單位矢量為 波的角頻率為 為了確定，可利用均勻平面波的電場矢量垂直于波的傳播方向這一性質，故有，即 由此得 故得到 因此，自由空間任一點處的電場為

30、 上式表明電場的各個分量同相位，故表示一個直線極化波。 與相伴的磁場為 5.20 已知自由空間的均勻平面波的電磁表達式為 試由此表達式確定波的傳播方向、波長、極化狀態(tài)，并求與相伴的磁場。 解 波的傳播方向由波矢量為的方向確定。由 有 ，， 為確定和，利用得 故 ， 則波矢量為 波傳播方向的單位矢量為 波長為 已知的電場復振幅可寫為 其中 可見，與的大小相等，即 ， 且 由于與的相位相差，即，，故表示一個左旋圓極化波。 與相伴的磁場為 5.21 證明電磁波在良導體中傳播時，場強每經(jīng)過一個

31、波長振幅衰減55dB。 解 在良導體中，故場強的衰減因子為 場強的振幅經(jīng)過z =λ的距離后 即衰減到起始值的0.002。用分貝表示，則為 5.22 有一線極化的均勻平面波在海水(、、)中沿+y方向傳播，其磁場強度在y=0處為 （1）求衰減常數(shù)、相位常數(shù)、本征阻抗、相速、波長及透入深度；（2）求出H的振幅為0.01A/m時的位置；（3）寫出和的表示式。 解 （1） 可見，在角頻率時，海水為一般有損耗媒質，故 （2）由，即得 （3） 其復數(shù)形式為 故電場的復數(shù)表示式為 則 5.23 海水的電導率、相對介

32、電常數(shù)。求頻率為10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的電磁波在海水中的波長、衰減系數(shù)和波阻抗。 解 先判定海水在各頻率下的屬性 可見，當時，滿足，海水可視為良導體。此時 ， f=10kHz時 f=100kHz時 f=1MHz時 f=10MHz時 當f=100MHz以上時，不再滿足，海水屬一般有損耗媒質。此時， f=100MHz時 f=1GHz時 5.24 已知某區(qū)域內的電場強度表達式為 試討論電場所表示的均勻平面波的極化特性。 解

33、 由給定的電場表達式可看出，這是在有損耗媒質中沿方向傳播的均勻平面波。寫出電場強度的兩個分量的瞬時表達式 為簡化討論，取，得 題5.24圖 將以上二式平方后再相加，得 這是一個標準的橢圓方程，半長軸，半短軸。因此，題目給定的表示一個橢圓極化波。取以下時間： 、、 有、、 、、 由此得出，在的平面上，矢量的端點隨時間變化的軌跡，如題5.24圖所示?？梢姡硎疽粋€右旋橢圓極化波。 5.25 在相對介電常數(shù)、損耗角正切值為的非磁性媒質中，頻率為3GHz、方向極化的均勻平面波沿方向傳播。 （1）求波的振幅衰減一半時，傳播的距離； （2）求

34、媒質的本征阻抗、波的波長和相速； （3）設在處的，寫出的表達式。 解 （1）由 得 而 該媒質在f=3GHz時可視為弱導電媒質，故衰減常數(shù)為 由，得波的振幅衰減一半時，傳播的距離 （2）對于弱導電媒質，本征阻抗為 而相位常數(shù) 故波長和相速分別為 （3）在x=0處， 故 則 故 5.26 已知在100MHz時，石墨的趨膚深度為0.16mm，試求： （1）石墨的電導率； （2）1GHz的電磁波在石墨中傳播多長距離其振幅衰減了30dB？ 解 （1）由趨膚深度 得到石墨的電導率 （2）當時 要求 故得到 5.27 頻率為150MHz的均勻平面波在損耗媒質中傳播，已知、及，問電磁波在該媒質中傳播幾米后，波的相位改變？ 解 因，為低損耗媒質。故 由相移量 故得到 5－25.