《電磁場與電磁波》（第四版）習題集：第1章 矢量分析

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1、 第 1 章 矢量分析 在電磁理論中，我們要研究某些物理量（如電位、電場強度、磁場強度等）在空間的分布和變化規(guī)律。為此，引入了場的概念。如果每一時刻，一個物理量在空間中的每一點都有一個確定的值，則稱在此空間中確定了該物理量的場。 電磁場是分布在三維空間的矢量場，矢量分析是研究電磁場在空間的分布和變化規(guī)律的基本數(shù)學工具之一。標量場在空間的變化規(guī)律由其梯度來描述，而矢量場在空間的變化規(guī)律則通過場的散度和旋度來描述。本章首先介紹標量場和矢量場的概念，然后著重討論標量場的梯度、矢量場的散度和旋度的概念及其運算規(guī)律，在此基礎(chǔ)上介紹了亥姆霍茲定理。 1.1矢量代數(shù) 1.1.1 標量和矢量 數(shù)

2、學上，任一代數(shù)量都可稱為標量。在物理學中，任一代數(shù)量一旦被賦予“物理單位”，則稱為一個具有物理意義的標量，即所謂的物理量，例如電壓、電荷量、質(zhì)量、能量等等都是標量。 一般的三維空間內(nèi)某一點處存在的一個既有大小又有方向特性的量稱為矢量，在本書中用黑體字母表示矢量，例如，而用來表示矢量的大?。ɑ虻哪＃?。矢量一旦被賦予“物理單位”，則稱為一個具有物理意義的矢量，如電場強度矢量、磁場強度矢量、作用力矢量、速度矢量等等。 一個矢量可用一條有方向的線段來表示，線段的長度表示矢量的模，箭頭指向表示矢量的方向，如圖1.1.1所示。 一個模為1的矢量稱為單位矢量。在本書中用表示與矢量同方向的單位矢量，顯然

3、 （1.1.1） 而矢量則可表示 （1.1.2） 1.1.2 矢量的加法和減法 兩個矢量與相加，其和是另一個矢量。矢量可按平行四邊形法則得到：從同一點畫出矢量與，構(gòu)成一個平行四邊形，其對角線矢量即為矢量，如圖1.1.2所示。 矢量的加法服從交換律和結(jié)合律 （交換律） （1.1.3） （結(jié)合律） （1.1.4） 矢量的減法定義為 （1.1.5） 式中的大

4、小與的大小相等，但方向與相反，如圖1.1.3所示。 1.1.3矢量的乘法 一個標量與一個矢量的乘積仍為一個矢量，其大小為。若，則與同方向；若，則與反方向。 兩個矢量與的乘法有兩種：點積（或標積）和叉積（或矢積）。 兩個矢量與的點積是一個標量，定義為矢量和的大小與它們之間較小的夾角的余弦之積，如圖1.1.4所示。即 （1.1.6） 矢量的點積服從交互律和分配律 （交換律） （1.1.7） （分配律） （1.1.8） 兩個矢量與的叉積是一個矢量，它垂直于包含矢量和的平面，其大

5、小定義為，方向為當右手四個手指從矢量到旋轉(zhuǎn)時大拇指的方向，如圖1.1.5所示。即 （1.1.9） 根據(jù)叉積的定義，顯然有 （1.1.10） 因此，叉積不服從交換律，但叉積服從分配律 （分配律） （1.1.11） 矢量與矢量的點積稱為標量三重積，它具有如下運算性質(zhì) （1.1.12） 矢量與矢量的叉積稱為矢量三重積，它具有如下運算性質(zhì) （1.1.13） 1.2 三種常用的正交坐標系 為了考察物理量在空間的

6、分布和變化規(guī)律，必須引入坐標系。在電磁場理論中，最常用的坐標系為直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。 1.2.1 直角坐標系 如圖1.2.1所示，直角坐標系中的三個坐標變量是、和，它們的變化范圍分別是 ，， 空間任一點是三個坐標曲面、和的交點。 在直角坐標系中，過空間任一點的三個相互正交的坐標單位矢量、和分別是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法則： 、、 （1.2.1） 任一矢量在直角坐標系中可表示為 （1.2.2） 其中、和分別是矢量在、和方向上的投影。 兩個矢量與的和等于對應分量之和，即

7、 （1.2.3） 與的點積為 （1.2.4） 與的叉積為 （1.2.5） 在直角坐標系中，位置矢量 （1.2.6） 其微分為 （1.2.7） 而與三個坐標單位矢量相垂直的三個面積元分別為 ，， （1.2.8） 體積元為

8、 （1.2.9） 1.2.2 圓柱坐標系 如圖1.2.2所示，圓柱坐標系中的三個坐標變量是、和，它們的變化范圍分別是 ，， 空間任一點是如下三個坐標曲面的交點： 的圓柱面、包含軸并與平面構(gòu)成夾角為的半平面、的平面。 圓柱坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系為 ，， （1.2.10） 或 圖1.2.2 圓柱面坐標系 ， ， （1.2.11） 在圓柱坐標系中，過空間任一點的三個相互正交的坐標單位矢量、和分別是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法則，即 、、

9、 （1.2.12） 必須強調(diào)指出，圓柱坐標系中的坐標單位矢量和都不是常矢量，因為它們方向是隨空間坐標變化的。由圖1.2.3可得到、與、之間的變換關(guān)系為 ， （1.2.13） 或 ， （1.2.14） 由式（1.2.13）可以看出和是隨變化的，且 （1.2.15） 任一矢量在圓柱坐標系中可以表示為 （1.2.16） 其中、和分別是矢量在、和方向上的投影。 矢量與矢量的和為 （1.2.17） 與的點積為

10、 （1.2.18） 與的叉積為 （1.2.19） 在圓柱坐標系中，位置矢量為 （1.2.20） 其微分元是 （1.2.21） 它在、和增加方向上的微分元分別是、和，如圖1.2.4所示。、和都是長度，它們同各自坐標的微分之比稱為度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），即 ，， （1.2.22） 在圓柱坐標系中，與三個坐標單位矢量相垂直的三個面積元分別為

11、 ，， （1.2.23） 體積元則為 （1.2.24） 1.2.3 球坐標系 如圖1.2.5所示，球坐標系中的三個坐標變量是、和，它們的變化范圍分別是 ，， 空間任一點是如下三個坐標曲面的交點： 球心在原點、半徑的球面；頂點在原點、軸線與軸重合且半頂角的正圓錐面；包含軸并與平面構(gòu)成夾角為的半平面。 球坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系為 ，， （1.2.25） 或 ， ， （1.2.26） 圖1.2.5 球面坐標系 在球坐標系中，過空間任一點

12、的三個相互正交的坐標單位矢量、和分別是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法則 、、 （1.2.27） 它們與、和之間的變換關(guān)系為 （1.2.28） 或 （1.2.29） 球坐標系中的坐標單位矢量、和都不是常矢量，且 （1.2.30） 任一矢量在球坐標系中可表示為 （1.2.31） 其中、和分別是矢量在、和方向上的投影。 矢量與矢量的和為 （1.2.32） 與的點積為

13、 （1.2.33） 與的叉積為 （1.2.34） 位置矢量 （1.2.35） 其微分元是 （1.2.36） 即在球坐標系中沿三個坐標的長度元為、和，如圖1.2.6所示。度量系數(shù)分別為 ，， （1.2.37） 在球坐標系中，三個面積元分別為 ，， （1.2.38） 體積元 （1.2.39） 1.

14、3 標量場的梯度 如果在一個空間區(qū)域中，某物理系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一個空間位置和時間的函數(shù)來描述，即每一時刻在區(qū)域中每一點它都有一個確定值，則在此區(qū)域中就確立了該物理系統(tǒng)的一種場。例如物體的溫度分布即為一個溫度場；流體中的壓力分布即為一個壓力場。場的一個重要屬性是它占有一個空間，它把物理狀態(tài)作為空間和時間的函數(shù)來描述，而且，在此空間區(qū)域中，除開有限個點或某些表面外，該函數(shù)是處處連續(xù)的。若物理狀態(tài)與時間無關(guān)，則為靜態(tài)場；反之則為動態(tài)場或時變場。 若所研究的物理量是一個標量，則該物理量所確定的場稱為標量場，例如：溫度場、密度場、電位場等都是標量場。在標量場中，各點的場量是隨空間位置變化的標量。因此

15、，一個標量場可以用一個標量函數(shù)來表示。例如，在直角坐標系中，可表示為 （1.3.1） 1.3.1 標量場的等值面 在研究標量場時，常用等值面形象直觀地描述物理量在空間的分布狀況。在標量場中，使標量函數(shù)取得相同數(shù)值的點構(gòu)成一個空間曲面，稱為標量場的等值面。例如，在溫度場中，由溫度相同的點構(gòu)成等溫面；在電位場中，由電位相同的點構(gòu)成等位面。 對任意給定的常數(shù)C，方程 （1.3.2） 就是等值面方程。 不難看出，標量場的等值面具有如下特點： ① 常數(shù)C取一系列不同的值，就得

16、到一系列不同的等值面，因而形成等值面族； ② 若是標量場中的任一點，顯然，曲面是通過該點的等值面，因此標量場的等值面族充滿場所在的整個空間； ③ 由于標量函數(shù)為單值的，一個點只能在一個等值面上，因此標量場的等值面互不相交，如圖1.3.1所示。 1.3.2 方向?qū)?shù) 標量場的等值面只描述了場量的分布狀況，而研究標量場的另一個重要方面，就是還要研究標場量在場中任一點的鄰域內(nèi)沿各個方向的變化規(guī)律。為此，引入了標量場的方向?qū)?shù)和梯度的概念。 1.方向?qū)?shù)的概念 設(shè)為標量場中的一點，從點出發(fā)引一條射線，點是射線上的動點，到點的距離為，如圖1.3.2所示。當點沿射線趨近于（即）時，比值 的極

17、限稱為標量場在點處沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即 （1.3.3） 從以上定義可知，方向?qū)?shù)是標量場在點M0處沿方向?qū)嚯x的變化率。當時，標量場沿方向是增加的；當時，標量場沿方向是減小的；當時，標量場沿方向無變化。 方向?qū)?shù)值既與點有關(guān)，也與方向有關(guān)。因此，標量場中，在一個給定點 處沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不同的。 2. 方向?qū)?shù)的計算公式 方向?qū)?shù)的定義是與坐標系無關(guān)的，但方向?qū)?shù)的具體計算公式與坐標系有關(guān)。根據(jù)復合函數(shù)求導法則，在直角坐標系中 設(shè)方向的方向余弦是、、，即 ，， 則得到直角坐標系中方向?qū)?shù)的計算公式為

18、 （1.3.4） 1.3.3 梯度 在標量場中，從一個給定點出發(fā)有無窮多個方向。一般說來，標量場在同一點處沿不同的方向上的變化率是不同的，在某個方向上，變化率可能最大。那么，標量場在什么方向上的變化率最大、其最大的變化率又是多少？為了描述這個問題，引入了梯度的概念。 1.梯度的概念 標量場在點處的梯度是一個矢量，它的方向沿場量變化率最大的方向、大小等于其最大變化率，并記作，即 （1.3.5） 式中是場量變化率最大的方向上的單位矢量。 2. 梯度的計算式 梯度的定義與坐標系無關(guān)，但梯度的具體表達式

19、與坐標系有關(guān)。在直角坐標系中，若令、，由式（1.3.4）可得到 （1.3.6） 由于是與方向l無關(guān)的矢量，由式（1.3.6）可知，當方向l與矢量G的方向一致時，方向?qū)?shù)的值最大，且等于矢量G的模。根據(jù)梯度的定義，可得到直角坐標系中梯度的表達式為 （1.3.7） 在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密頓算符“▽”（讀作“del”或“Nabla”），在直角坐標系中 （1.3.8） 算符▽具有矢量和微分的雙重性質(zhì)，故又稱為矢性微分算符。因此

20、，標量場的梯度可用哈密頓算符▽表示為 （1.3.9） 這表明，標量場的梯度可認為是算符▽作用于標量函數(shù)的一種運算。 圓柱坐標系中和球坐標系中，梯度的計算式分別為 （1.3.10） （1.3.11） 3. 梯度的性質(zhì) 標量場的梯度具有以下特性： ① 標量場的梯度是一個矢量場，通常稱為標量場所產(chǎn)生的梯度場； ② 標量場中，在給定點沿任意方向l的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影； ③ 標量場中每一點M處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向增加的方向。 例1.3.1 已知，

21、。證明： （1） ；（2）；（3）。 其中：表示對x、y、z的運算，表示對、、的運算。 解：（1）將代入式（1.3.7），得 （2）將代入式（1.3.7），得 （3）根據(jù)梯度的運算公式（1.3.7），得到 同理 故得 在電磁場中，通常以表示源點的坐標，以表示場點的坐標，因此上述運算結(jié)果在電磁場中非常有用。 1.4 矢量場的通量與散度 若所研究的物理量是一個矢量，則該物理量所確定的場稱為矢量場。例如：力場、速度場、電場等都是矢量場。在矢量場中，各點的場量是隨空間位置變化的矢量。因此，一個矢量場可以用一個矢量函數(shù)來表示。在直角坐標系中可表

22、示為 （1.4.1） 一個矢量場可以分解為三個分量場，在直角坐標系中 （1.4.2） 式中、和是分別沿x、y和z方向的三個分量。 1.4.1矢量場的矢量線 對于矢量場，可用一些有向曲線來形象地描述矢量在空間的分布，稱為矢量線。在矢量線上，任一點的切線方向都與該點的場矢量方向相同，如圖1.4.1。例如，靜電場中的電場線，磁場中的磁場線等，都是矢量線的例子。一般地，矢量場中的每一點都有矢量線通過，所以矢量線也充滿矢量場所在的空間。 設(shè)矢量場、是場中的矢量線上任一點，其矢徑為 則其微分

23、矢量 在點M處與矢量線相切。根據(jù)矢量線的定義可知，在點M處與共線，即∥，于是有 （1.4.3） 這就是矢量線的微分方程組。解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。 例1.4.1 設(shè)點電荷q位于坐標原點，在周圍空間任一點處產(chǎn)生的電場強度矢量 式中ε為介電常數(shù)，，，求電場強度矢量Ｅ的矢量線。 解： ，由式（1.4.3）可得到矢量線的微分方程組為 由此方程組可解得 （、為任意常數(shù)） 這是從點電荷q所在處（坐標原點）發(fā)出的射線束，如圖1.4.2所示。 1.4.2 通量 在分析和描繪矢量場

24、的性質(zhì)時，矢量場穿過一個曲面的通量是一個重要的基本概念。設(shè)為一空間曲面，為曲面上的面元，取一個與此面元相垂直的單位矢量，則稱矢量 （1.4.4） 為面元矢量。的取法有兩種情形：一是為開曲面上的一個面元，這個開曲面由一條閉合曲線C圍成，選擇閉合曲線C的繞行方向后，按右螺旋法則規(guī)定的方向，如圖1.4.3所示；另一種情形是為閉合曲面上的一個面元，則一般取的方向為閉曲面的外法線方向。 在矢量場中，任取一面元矢量，矢量與面元矢量的標量積定義為矢量穿過面元矢量的通量。將曲面上各面元的相加，則得到矢量穿過曲面的通量，即 （1.

25、4.4） 例如：在電場中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量；在磁場中，磁感應強度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量。 如果是一閉合曲面，則通過閉合曲面的總通量表示為 （1.4.5） 由通量的定義不難看出，若從面元矢量的負側(cè)穿到的正側(cè)時，與相交成銳角，則通過面積元的通量為正值；反之，若從面積元的正側(cè)穿到的負側(cè)時，與相交成鈍角，則通過面積元的通量為負值。式（1.4.5）中的則表示穿出閉曲面內(nèi)的正通量與進入閉曲面的負通量的代數(shù)和，即穿出曲面的凈通量。當時，則表示穿出閉合曲面的通量多于進入的通量，此時閉合曲面

26、內(nèi)必有發(fā)出矢量線的源，稱之為正通量源。例如，靜電場中的正電荷就是發(fā)出電場線的正通量源；當時，則表示穿出閉合曲面的通量少于進入的通量，此時閉合曲面內(nèi)必有匯集矢量線的源，稱之為負通量源。例如，靜電場中的負電荷就是匯聚電場線的負通量源；當時，則表示穿出閉合曲面的通量等于進入的通量，此時閉合曲面內(nèi)正通量源與負通量源的代數(shù)和為零，或閉合曲面內(nèi)無通量源。 1.4.3 散度 矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域內(nèi)的每一點的通量特性。為了研究矢量場在一個點附近的通量特性，需要引入矢量場的散度。 1. 散度的概念 在矢量場中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面，當所限定的體積以任意方式

27、趨近于零時，則比值 的極限稱為矢量場在點M處的散度，并記作，即 （1.4.6） (a) divF＞0 (b) divF＜0 (c) divF＝0 圖1.4.4 散度的意義 由散度的定義可知，表示在點M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。若，則該點有發(fā)出矢量線的正通量源；若，則該點有匯聚矢量線的負通量源；若，則該點無通量源（如圖1.4.4）。 2.散度的計算式 根據(jù)散度的定義，與體積元的形狀無關(guān)，只要在取極限過程中，所有尺寸都趨于零即可。在直角坐標系中，以點為頂點作一個很小的直

28、角六面體，各邊的長度分別為、、，各面分別與各坐標面平行，如圖1.4.5所示。矢量場穿出該六面體的表面的通量 在計算前、后兩個面上的面積分時，、對積分沒有貢獻，并且由于六個面均很小，所以 根據(jù)泰勒定理 … 所以 于是得到 同理可得 因此，矢量場穿出六面體的表面S的通量 根據(jù)式（1.4.6），得到散度在直角坐標系中的表達式 （1.4.7） 利用算符▽，可將表示為 （1.4.8） 類似地，可推出圓柱坐標系和球坐標系中的散度計算式，分別為 （

29、1.4.9） （1.4.10） 1.4.4散度定理 矢量分析中的一個重要定理是 （1.4.11） 上式稱為散度定理（或高斯定理）。 圖1.4.6體積的剖分 現(xiàn)在來證明這個定理。如圖1.4.6所示，將閉合面包圍的體積分成許多體積元：、、，計算每個體積元的小閉合面（）上穿出的的通量，然后疊加。由于相鄰兩體積元有一個公共表面，這個公共表面上的通量對這兩個體積元來說恰好等值異號，求和時就互相抵消了。除了鄰近面的那些體積元外，所有體積元都是由幾個與相鄰體積元間的公共表面包圍而成的，這些體積元的通量的總和為零。而鄰近面的

30、那些體積元，它們有部分表面是面上的面元，這部分表面的通量沒有被抵消，其總和恰好等于從閉合面穿出的通量。因此有 由式（1.4.7）得 ，（） 故得到 這就證明了式（1.4.11）。 式（1.4.11）表明，矢量場的散度在體積上的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合面上的面積分，是矢量的散度的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個變換關(guān)系，是矢量分析中的一個重要的恒等式，在電磁理論中非常有用。 例1.4.2 已知，。求矢量在處的散度。 解：根據(jù)散度的運算公式（1.4.7），有 1.5 矢量場的環(huán)流和旋度 矢量場的散度描述了通量源分布情況，反映了矢量場的一個重要性

31、質(zhì)。反映矢量場的空間變化規(guī)律的另一個重要性質(zhì)是矢量場的環(huán)流和旋度。 1.5.1 環(huán)流 矢量場沿場中的一條閉合路徑C的曲線積分 （1.5.1） dl F C 圖1.5.1閉合路徑 稱為矢量場沿閉合路徑C的環(huán)流。其中是路徑上的線元矢量，其大小為、方向沿路徑C的切線方向，如圖1.5.1所示。 矢量場的環(huán)流與矢量場穿過閉合曲面的通量一樣，都是描述矢量場性質(zhì)的重要的量。例如：在電磁學中，根據(jù)安培環(huán)路定理可知，磁場強度沿閉合路徑C的環(huán)流就是通過以路徑C為邊界的曲面S的總電流。因此，如果矢量場的環(huán)流不等于零，則認為場中有產(chǎn)生該

32、矢量場的源。但這種源與通量源不同，它既不發(fā)出矢量線也不匯聚矢量線。也就是說，這種源所產(chǎn)生的矢量場的矢量線是閉合曲線，通常稱之為旋渦源。 從矢量分析的要求來看，希望知道在每一點附近的環(huán)流狀態(tài)。為此，在矢量場中的任一點M處作一面元，取為此面元的法向單位矢量。當面元保持以為法線方向而向點M處無限縮小時，極限稱為矢量場F在點M處沿方向的環(huán)流面密度，記作，即 （1.5.2） 由此定義不難看出，環(huán)流面密度與面元的法線方向有關(guān)。例如：在磁場中，如果某點附近的面元方向與電流方向重合，則磁場強度的環(huán)流面密度有最大值；如果面元方向與電流方向有一夾角，則磁場強度

33、的環(huán)流面密度總是小于最大值；當面元方向與電流方向垂直時，則磁場強度的環(huán)流面密度等于零。這些結(jié)果表明，矢量場在點M處沿方向的環(huán)流面密度，就是在該點處沿方向的旋渦源密度。 1.5.2 旋度 1.旋度的概念 由于矢量場在點M處的環(huán)流面密度與面元的法線方向有關(guān)，因此，在矢量場中，一個給定點M處沿不同方向，其環(huán)流面密度的值一般是不同的。在某一個確定的方向上，環(huán)流面密度可能取得最大值。為了描述這個問題，引入了旋度的概念。 矢量場在點M處的旋度是一個矢量，記作（或記作），它的方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向、大小等于該環(huán)流面密度最大值，即 （

34、1.5.3） 式中是環(huán)流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量。 由旋度的定義不難看出，矢量場在點M處的旋度就是在該點的旋渦源密度。例如，在磁場中，磁場強度H在點M處的旋度就是在該點的電流密度J。矢量場在點M處沿方向的環(huán)流面密度等于在該方向上的投影，如圖1.5.2所示，即 （1.5.4） 圖1.5.2 在方向上的投影 2. 旋度的計算式 旋度的定義與坐標系無關(guān)，但旋度的具體表達式與坐標系有關(guān)，下面推導在直角坐標系中旋度的表達式。 如圖1.5.3所示，以點為頂點，取一個平行于面的矩形面元，則面元矢量為。在點處的

35、矢量沿回路的積分為 故 此極限即是在方向上的投影。 相似的，分別取面元矢量、，用與上面相同的運算，可得到分別在和方向上的投影為 因此，我們得到 （1.5.5） 利用算符，可將表示為 （1.5.6） 上式亦可寫成 （1.5.7） 采用同樣的方法，可導出在圓柱坐標系中的表達式為 （1.5.8） 或?qū)懗? （1.5.9） 在球坐標系中，的表達式為 （1

36、.5.10） 或?qū)懗? （1.5.11） 1.5.3斯托克斯定理 在矢量場所在的空間中，對于任一個以曲線C為周界的曲面S，存在如下重要關(guān)系式 （1.5.12） 圖1.5.4 曲面的劃分 上式稱為斯托克斯定理，它表明矢量場的旋度在曲面S上的面積分等于矢量場在限定曲面的閉曲線C上的線積分，是矢量旋度的曲面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個變換關(guān)系，也是矢量分析中的一個重要的恒等式，在電磁理論中也是很有用的。 為了證明式（1.5.12），將曲面S 劃分成許多小面元，如圖1.5.4所示。對每一個小面元

37、，沿包圍它的閉合路徑取的環(huán)流，路徑的方向與大回路C一致，并將所有這些積分相加?？梢钥闯觯鱾€小回路在公共邊界上的那部分積分都相互抵消，因為相鄰小回路在公共邊界上積分的方向是相反的，只有沒有公共邊界的部分積分沒有抵消，結(jié)果所有沿小回路積分的總和等于沿大回路C的積分，即 對沿每一個小回路的積分應用式（1.5.2），得 這樣 上式右邊的總和就是在曲面S上的面積分，即，從而證明了式（1.5.12）。 例1.5.1 已知，。求矢量在處的旋度. 解：根據(jù)旋度的運算公式（1.5.7），有 1.6無旋場與無散場 矢量場散度和旋度反映了產(chǎn)生矢量場的兩種不同性質(zhì)

38、的源，相應的，不同性質(zhì)的源產(chǎn)生的矢量場也具有不同的性質(zhì)。 1.6.1 無旋場 如果一個矢量場的旋度處處為零，即 則稱該矢量場為無旋場，它是由散度源所產(chǎn)生的。例如，靜電場就是旋度處處為零的無旋場。 標量場的梯度有一個重要性質(zhì)，就是它的旋度恒等于零，即 （1.6.1） 在直角坐標系中很容易證明這一結(jié)論。直接取的旋度，有 因為梯度和旋度的定義都與坐標系無關(guān)，所以式（1.6.1）是普遍的結(jié)論。 根據(jù)式（1.6.1），對于一個旋度處處為零的矢量場，總可以把它表示為某一標量場的梯度，即如果，存在標量函數(shù)，使得

39、 （1.6.2） 函數(shù)稱為無旋場的標量位函數(shù)，簡稱標量位。式（1.6.2）中的有一負號，為的是使其與電磁場中電場強度和標量電位的關(guān)系相一致。 由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑C的環(huán)流等于零，即 這一結(jié)論等價于無旋場的曲線積分與路徑無關(guān)，只與起點P和終點Q有關(guān)。由式（1.6.2），有 若選定點Q為不動的固定點，則上式可看作是點P的函數(shù)，即 （1.6.3） 這就是標量位u的積分表達式，任意常數(shù)取決于固定點Q的選擇。 將式（1.6.2）代入式（1.6.3），有

40、 （1.6.4） 這表明，一個標量場可由它的梯度完全確定。 1.6.2 無散場 如果一個矢量場的散度處處為零，即 則稱該矢量場無散場，它是由旋渦源所產(chǎn)生的。例如，恒定磁場就是散度處處為零的無散場。 矢量場的旋度有一個重要性質(zhì)，就是旋度的散度恒等于零，即 （1.6.5） 在直角坐標系中證明這一結(jié)論時，直接取的散度，有 根據(jù)這一性質(zhì)，對于一個散度處處為零的矢量場，總可以把它表示為某一矢量場的旋度，即如果，則存在矢量函數(shù)，使得

41、 （1.6.6） 函數(shù)稱為無散場的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位。 由散度定理可知，無散場通過任何閉合曲面的通量等于零，即 1.7拉普拉斯運算與格林定理 1.7.1 拉普拉斯運算 標量場的梯度是一個矢量場，如果再對求散度，即，稱為標量場的拉普拉斯運算，記為 或 這里“”或“”稱為拉普拉斯算符。 在直角坐標系中，由式（1.3.7）和式（1.4.8），可得到 （1.7.1） 由式（1.3.10）和（1.4.10），可得到圓柱坐標系中的拉普拉斯運算 （1.7.2） 由式（1.3.11）和（1.4.11），可得到球坐標系中的拉

42、普拉斯運算 （1.7.3） 對于矢量場，由于算符對矢量進行運算時以失去梯度的散度的概念，因此將矢量場的拉普拉斯運算定義為 （1.7.4） 在直角坐標系中 將以上兩式代入式（1.7.4），可求得 同理可得和，于是得到 （1.7.5） 必須注意，只有對直角分量才有（）。 1.7.2 格林定理 格林定理又稱為格林恒等式，是由散度定理導出的重要數(shù)學恒等式。在散度定理 中，令，其中和是體積內(nèi)的兩個任意標量函數(shù)，則有 由于 ， 于是得到格林第一恒等式

43、 （1.7.6） 式中是閉曲面上的外法向?qū)?shù)。 將式（1.7.6）中的與對調(diào)一下，則有 （1.7.7） 將式（1.7.6）與式（1.7.7）相減，即得到格林第二恒等式 （1.7.8） 格林定理描述了兩個標量場之間滿足的關(guān)系，如果已知其中一個場的分布，可以利用格林定理求解另一個場的分布。因此，格林定理在電磁場中有著廣泛的應用。 1.8 亥姆霍茲定理 矢量場的散度和旋度都是表示矢量場的性質(zhì)的量度，一個矢量場所具有的性質(zhì)，可由它的散度和旋度來說明。而且，可以證明：在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度

44、和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合面S上的矢量場的分布）惟一地確定，且可表示為 （1.8.1） 其中 （1.8.2） （1.8.3） 這就是亥姆霍茲定理。它表明： （1）矢量場可以用一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和來表示。此標量函數(shù)由的散度和在邊界S上的法向分量完全確定；而矢量函數(shù)則由的旋度和在邊界面S上的切向分量完全確定； （2）由于、，因而一個矢量場可以表示為一個無旋場與無散場之和。即 （1.8.4） 其中 ，

45、 （1.8.5） （3）如果在區(qū)域V內(nèi)矢量場的散度與旋度均處處為零，則由其在邊界面S上的場分布完全確定； （4）對于無界空間，只要矢量場滿足 （1.8.6） 則式（1.8.2）和（1.8.3）中的面積分項為零。此時，矢量場由其散度和旋度完全確定。因此，在無界空間中，散度與旋度均處處為零的矢量場是不存在的。因為任何一個物理場都必須有源，場是同源一起出現(xiàn)的，源是產(chǎn)生場的起因。 必須指出，只有在連續(xù)的區(qū)域內(nèi)，和才有意義，因為它們都包含著對空間坐標的導數(shù)。在區(qū)域內(nèi)如果存在不連續(xù)的表面，則在這些表面上就不存在的導數(shù)，因而也就不能使用散度和旋度來分析表

46、面附近的場的性質(zhì)。 亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場的基本性質(zhì)，其意義是非常重要的。分析矢量場時，總是從研究它的散度和旋度著手，得到的散度方程和旋度方程組成了矢量場的基本方程的微分形式；或者從矢量場沿閉合曲面的通量和沿閉合路徑的環(huán)流著手，得到矢量場的基本方程的積分形式。 思考題 1．如果是否意味著?為什么？ 2．如果是否意味著?為什么？ 3．兩個矢量的點積能為負的嗎？如果是，必須是什么情況？ 4．什么是單位矢量？什么是常矢量? 單位矢量是否為常矢量？ 5．在圓柱坐標系中，矢量，其中、、為常數(shù)，則是常矢量嗎？為什么？ 6．在球坐標系中，矢量，其中為常數(shù)，則能是常矢量嗎？為什么？

47、 7．什么是矢量場的通量？通量的值為正、負、或零分別表示什么意義？ 8．什么是散度定理？它的意義是什么？ 9．什么是矢量場的環(huán)流？環(huán)流的值為正、負、或零分別表示什么意義？ 10．什么是斯托克斯定理？它的意義是什么？斯托克斯定理能用于閉曲面嗎？ 11．如果矢量場能夠表示為一個矢量函數(shù)的旋度，這個矢量場具有什么特性？ 12．如果矢量場能夠表示為一個標量函數(shù)的梯度，這個矢量場具有什么特性？ 13．只有直矢量線的矢量場一定是無旋場，這種說法對嗎？為什么？ 14．無旋場與無散場的區(qū)別是什么？ 習 題 1.1 給定三個矢量、和如下： 求：（1）；（2）；

48、（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 1.2 三角形的三個頂點為、和。 （1）判斷是否為一直角三角形； （2）求三角形的面積。 1.3 求點到點的距離矢量及的方向。 1.4 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。 1.5 給定兩矢量和，求在上的分量。 1.6 證明：如果和，則； 1.7 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)為一已知矢量，而，和已知，試求。 1.8 在圓柱坐標中，一點的位置由定出，求該點在：（1）直角坐標中的坐標；（2）球坐標中的坐標。 1.9 用球坐標表示的場， （

49、1）求在直角坐標中點處的和； （2）求在直角坐標中點處與矢量構(gòu)成的夾角。 1.10 球坐標中兩個點和定出兩個位置矢量和。證明和間夾角的余弦為 1.11 已知標量函數(shù)，求在點的處沿指定方向的方向?qū)?shù)。 1.12 已知標量函數(shù)。（1）求；（2）在哪些點上等于零。 1.13 方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。 1.14 利用直角坐標，證明 1.15 一球面的半徑為，球心在原點上，計算： 的值。 1.16 已知矢量，試確定常數(shù)、、使為無源場。 1.17 在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量驗證散度定理。 1.18 求（1）矢量的散度；（2）求對中心

50、在原點的一個單位立方體的積分；（3）求對此立方體表面的積分，驗證散度定理。 1.19 計算矢量對一個球心在原點、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。 1.20 在球坐標系中，已知矢量，其中、和均為常數(shù)。（1）問矢量是否為常矢量；（2）求和。 1.21求矢量沿平面上的一個邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面的面積分，驗證斯托克斯定理。 1.22 求矢量沿圓周的線積分，再計算對此圓面積的積分。 1.23 證明：（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。 1.24 一徑向矢量場表示，如果，那么函數(shù)會有什么特點呢？ 1.25 給定矢量函數(shù)，試求從點到點的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點的直線。這個是保守場嗎？ 1.26 試采用與推導直角坐標中相似的方法推導圓柱坐標下的公式。 1.27 現(xiàn)有三個矢量、、為 （1） 哪些矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示？ （2）求出這些矢量的源分布。 1.28 利用直角坐標，證明 1.29 證明 1.30 利用直角坐標，證明 1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。 · 25 ·.