13《二次函數(shù)的性質(zhì)》

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1、根據(jù)要求填空根據(jù)要求填空：(2)(2)拋物線拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 , , 對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是 . .12212xxy(-2,-1)直線直線x=-2x=-2(3)(3)拋物線拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 , , 對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是 . .2412xxy直線直線x=2x=2(2, )(1)(1)拋物線拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 , , 對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是 . .cbxaxy2 a4bac4,a2b2a2bx 直直線線課前熱身課前熱身XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象回答問題根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象回答問題：12212xxy24

2、12xxy(1)(1)拋物線拋物線 ，當(dāng)自變，當(dāng)自變量量X X增大時(shí)，函數(shù)值增大時(shí)，函數(shù)值y y將怎樣變化？將怎樣變化？12212xxy(2)(2)拋物線拋物線 ，當(dāng)自變，當(dāng)自變量量X X增大時(shí)，函數(shù)值增大時(shí)，函數(shù)值y y將怎樣變化？將怎樣變化？2412xxy先減小，后先減小，后增大增大. .先增大，后減小先增大，后減小. .當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),y,y隨著隨著x x的增大而的增大而減小減小當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),y,y隨著隨著x x的增大而的增大而增大增大. .當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),y,y隨著隨著x x的增大而的增大而增大增大當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),y,y隨著隨著x x的增大而的增大而減小減小. .-2-2-2

3、-22222思考：二次函數(shù)的增減性由什么確定的？新知探索新知探索直線直線x=-2直線直線x=2XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象填空根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象填空：12212xxy2412xxy(1)(1)拋物線拋物線 的的 頂點(diǎn)頂點(diǎn)是圖象的最是圖象的最 點(diǎn)。點(diǎn)。12212xxy(2)(2)拋物線拋物線 的的 頂點(diǎn)頂點(diǎn)是圖象的最是圖象的最 點(diǎn)。點(diǎn)。2412xxy該函數(shù)有沒有最大值和最小值？該函數(shù)有沒有最大值和最小值？該函數(shù)有沒有最大值和最小值？該函數(shù)有沒有最大值和最小值？當(dāng)當(dāng)x=_時(shí)時(shí),y有最有最_值值=_當(dāng)當(dāng)x=_時(shí)時(shí),y有最有最_值值=

4、_低低高高-2小小-12大大-1思考：函數(shù)最大值或最小值由什么確定的？新知探索新知探索二次二次函數(shù)函數(shù)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì).頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸對(duì)稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(ax20,試比較試比較y1與與y2的大小的大小.練習(xí)二：一運(yùn)動(dòng)員推鉛球，鉛球經(jīng)過的練習(xí)二：一運(yùn)動(dòng)員推鉛球，鉛球經(jīng)過的路線為如圖所示的拋物線。路

5、線為如圖所示的拋物線。（1）求鉛球所經(jīng)過的路線的函數(shù)解析式）求鉛球所經(jīng)過的路線的函數(shù)解析式和自變量取值范圍。和自變量取值范圍。（2）鉛球的落地點(diǎn)離運(yùn)動(dòng)員有多遠(yuǎn)？）鉛球的落地點(diǎn)離運(yùn)動(dòng)員有多遠(yuǎn)？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3)w(1).每個(gè)圖象與每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？軸有幾個(gè)交點(diǎn)？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有幾個(gè)根有幾個(gè)根? ?驗(yàn)證一下一元二次方程驗(yàn)證一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根嗎有根嗎? ?w(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖

6、象和的圖象和x x軸交點(diǎn)的坐軸交點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)與一元二次方程與一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關(guān)系的根有什么關(guān)系? ?二次函數(shù)與一元二次方程 w二次函數(shù)二次函數(shù)y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的圖象如圖所示的圖象如圖所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點(diǎn)有三種情況軸交點(diǎn)有三種情況: :w 有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交

7、點(diǎn), ,w 有一個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn), ,w 沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn). .w 當(dāng)二次函數(shù)當(dāng)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸有交點(diǎn)時(shí)軸有交點(diǎn)時(shí), , 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0y=0時(shí)自變量時(shí)自變量x x的值的值, ,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .w(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關(guān)系的根有什么關(guān)系? ?拋物線與拋物線與X 軸的

8、交點(diǎn)個(gè)數(shù)能不能用一元二次方軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)能不能用一元二次方程的知識(shí)來說明呢？程的知識(shí)來說明呢？0=00OXYw(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關(guān)系的根有什么關(guān)系? ?二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的圖象和圖象和x x軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判別式根的判別式=b=b2 2-

9、4ac-4ac有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根b2-4ac 0b2-4ac 0有一個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac = 0b2-4ac = 0沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac 0b2-4ac 0求二次函數(shù)圖象求二次函數(shù)圖象y=x2-3x+2與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。解：解：A、B在在x軸上，軸上， 它們的縱坐標(biāo)為它們的縱坐標(biāo)為0， 令令y=0，則，則x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你發(fā)現(xiàn)方程你發(fā)現(xiàn)方程 的解的解x1、x2與與A、B的的坐標(biāo)有什么聯(lián)系？坐標(biāo)

10、有什么聯(lián)系？x2-3x+2=0舉例舉例:結(jié)論結(jié)論1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是拋物線的解就是拋物線y=x2-3x+2與與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此，拋物線與一元二次方程是有密切因此，拋物線與一元二次方程是有密切聯(lián)系的。聯(lián)系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是的兩個(gè)根是x1、x2， 則拋物線則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個(gè)交與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y二次函數(shù)圖象二次函數(shù)圖象y=ax2+bx+c如果圖象的頂點(diǎn)在如果圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則軸上，則如果圖像的

11、頂點(diǎn)在如果圖像的頂點(diǎn)在y軸上，則軸上，則二次函數(shù)圖象二次函數(shù)圖象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2（1）圖像關(guān)于）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則軸對(duì)稱，則m =（2）圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則）圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m=（3）圖像與坐標(biāo)軸只有）圖像與坐標(biāo)軸只有2個(gè)交點(diǎn)，則個(gè)交點(diǎn)，則m=( 1 )圖象過圖象過A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三點(diǎn)）三點(diǎn) (1) 已知拋物線已知拋物線y=ax2+bx+c滿足下列條件滿足下列條件,求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式.（1）解：設(shè)拋物線的解析式為）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c圖象過圖象過A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三點(diǎn)）三點(diǎn)1222

12、11100222cbacbacba132cbay= -2x2+3x+1求求函數(shù)的解析式的幾種方法函數(shù)的解析式的幾種方法（2）圖象頂點(diǎn)是（）圖象頂點(diǎn)是（-2，3），且經(jīng)過點(diǎn)（），且經(jīng)過點(diǎn)（-1，5）解：解：圖象頂點(diǎn)是（圖象頂點(diǎn)是（-2，3）設(shè)其解析式為設(shè)其解析式為y=a（x+2）2+3圖象圖象經(jīng)過點(diǎn)（經(jīng)過點(diǎn)（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3xyo解：解：A(1，0)，對(duì)稱軸為，對(duì)稱軸為x=2拋物線與拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)軸另一個(gè)交點(diǎn)C應(yīng)應(yīng)為（為（3，0）設(shè)其解析式為設(shè)其解析式為y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a= -1y= -

13、(x-1)(x-3)（3）圖象經(jīng)過圖象經(jīng)過A（1，0）、）、B（0，-3），且對(duì)稱軸是直線），且對(duì)稱軸是直線x=21AB -3C324、求滿足下列條件的拋物線的解析式：求滿足下列條件的拋物線的解析式：經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x軸上軸上截得的線段長為截得的線段長為2解：解： B（-1，0）且在）且在x軸上截得的線段長為軸上截得的線段長為2拋物線與拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為C（-3，0）或）或C（1，0）設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為y=a（x- x1）（）（x- x2）當(dāng)拋物線經(jīng)過當(dāng)拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)時(shí)，解析式為解析式為y=a

14、（x+1）（）（x+3）又又拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）當(dāng)拋物線經(jīng)過當(dāng)拋物線經(jīng)過B、C 兩點(diǎn)時(shí)，解析式為兩點(diǎn)時(shí)，解析式為y=a（x+1）（）（x-1）解法同）解法同(1)xyoB-1- 31CCa=154y= （x+1）（）（x+3）154例2：已知拋物線y=（x+1）2-2，將此拋物線分別作軸對(duì)稱變換，請分別求出變換后的拋物線。（1）關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換（2）關(guān)于y軸作軸對(duì)稱變換（-1，-2）（-1，2）(-1,-2)(1,-2)已知拋物線y=x2-2x-3，將其圖像作以下對(duì)稱，請寫出對(duì)稱后的拋物線。（1）關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換（2）關(guān)于y軸作軸對(duì)稱變換已知拋

15、物線y=x2-2x-3，將其圖像作以下對(duì)稱，請寫出對(duì)稱后的拋物線。 （1）關(guān)于頂點(diǎn)中心對(duì)稱（2）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱函數(shù)y=a(x+m)2+k若關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱，則變?yōu)閥=-a(x+m)2+k若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則變?yōu)閥=-a(x-m)2-k例3：(1,-4)(1,-4)(-1,4)(1,-4)xyo1-3-2練習(xí)練習(xí)1、 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示的圖象如圖所示對(duì)稱軸對(duì)稱軸x=_頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo):_當(dāng)當(dāng)x=_時(shí)時(shí),y有最有最_值是值是_函數(shù)值函數(shù)值y0時(shí)時(shí),對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)x的取值范圍是的取值范圍是_函數(shù)值函數(shù)值y=0時(shí)時(shí),對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)x的取值范圍是的取值范圍是_當(dāng)當(dāng)x_時(shí)時(shí),y隨隨x的增大

16、而增大的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小小-2-3x1x1-3或或1-1練一練：練一練：拋物線拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定如圖所示，試確定a、b、c、 b2-4ac的符號(hào)：的符號(hào)：xyo練一練：練一練：已知：二次函數(shù)已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖的圖象如圖所示，則點(diǎn)所示，則點(diǎn)M（ ，a）在（）在（ ）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoyD練習(xí)2、已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示示,下列結(jié)論下列結(jié)論a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正確的結(jié)論的。

17、其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（個(gè)數(shù)是（ ）A 1個(gè)個(gè) B 2個(gè)個(gè) C 3個(gè)個(gè) D 4個(gè)個(gè)xyO-11mnD已知：一次函數(shù)已知：一次函數(shù)y=ax+c與二次函數(shù)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c，它們在同一坐標(biāo)系中的大，它們在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是圖中的（致圖象是圖中的（ ）練一練：練一練：xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）Cxyo 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) 圖象，盡可能多的圖象，盡可能多的說出一些結(jié)論說出一些結(jié)論.(-1,0)(3,0)(0,-3)數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合（1）a 0，b 2x+323yx 2yx你知道你知道 的解的個(gè)數(shù)嗎？的解的個(gè)數(shù)嗎？222xxx4,將拋物線將拋物線y=x2向下

18、平移后向下平移后,使使它的頂點(diǎn)它的頂點(diǎn)C與它在與它在x軸上的兩個(gè)軸上的兩個(gè)交點(diǎn)交點(diǎn)A,B組成等邊三角形組成等邊三角形ABC,求此拋物線的解析式求此拋物線的解析式.5,已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=2x2+8mx+2m+3,如果如果它的圖像的頂點(diǎn)在它的圖像的頂點(diǎn)在x軸上軸上,求求m的值和頂?shù)闹岛晚旤c(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo).6,已知拋物線已知拋物線y=0.25x2,把它的頂點(diǎn)移到把它的頂點(diǎn)移到x軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)A, 所得的拋物線與所得的拋物線與y軸交于軸交于點(diǎn)點(diǎn)B,且線段且線段OA,OB滿足關(guān)系滿足關(guān)系OA-1 =OB,試說明平移方法試說明平移方法.練習(xí)一：一座拱橋的示意圖如圖，當(dāng)水面寬練習(xí)一：一座拱橋的示意圖

19、如圖，當(dāng)水面寬12m時(shí)，橋洞頂部離水面時(shí)，橋洞頂部離水面4m。已知橋洞的拱形是拋物。已知橋洞的拱形是拋物線，要求該拋物線的函數(shù)解析式，你認(rèn)為首先要線，要求該拋物線的函數(shù)解析式，你認(rèn)為首先要做的工作是什么？如果以水平方向?yàn)樽龅墓ぷ魇鞘裁矗咳绻运椒较驗(yàn)閤軸，取以下軸，取以下三個(gè)不同的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)：三個(gè)不同的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)：（1）點(diǎn)）點(diǎn)A，（，（2）點(diǎn)）點(diǎn)B，（，（3）拋物線的頂點(diǎn)）拋物線的頂點(diǎn)C得的函數(shù)解析式相同嗎？請?jiān)囈辉嚒Ｄ姆N取法求得的函數(shù)解析式相同嗎？請?jiān)囈辉?。哪種取法求得的函數(shù)解析式最簡單？得的函數(shù)解析式最簡單？ABC4m12mEDBCOAxy練習(xí)練習(xí)2、已知、已知m,n是方程是方程x2

20、-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且mn,拋物拋物線線y=-x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(m,0),B(0,n)(1)求這個(gè)拋物線的解析式求這個(gè)拋物線的解析式(2)設(shè)（設(shè)（1）中拋物線與）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為D,試求出點(diǎn)試求出點(diǎn)C,D的坐標(biāo)和三角形的坐標(biāo)和三角形BCD的面積的面積已知拋物線已知拋物線yax2bxc與與Y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A(0,3),與與X軸分別交于軸分別交于B(1,0),C(5,0)兩點(diǎn)兩點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式）求此拋物線的解析式（2）若點(diǎn)）若點(diǎn)D為線段為線段OA的一個(gè)三等份點(diǎn)，求直線的一個(gè)三等份點(diǎn)

21、，求直線DC的解析式的解析式（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自自O(shè)A的中點(diǎn)的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)出發(fā)，先到達(dá)X軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E）,再到達(dá)拋物線的對(duì)稱再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F）,最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,求使點(diǎn)求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E,F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路徑長最短路徑長3、（07.煙臺(tái)）如圖,已知拋物線L1y=x2-4的圖像與x軸交于A C兩點(diǎn), (2)若點(diǎn)B是拋物線L1上的一動(dòng)點(diǎn)(B不與A C重合)，以AC為對(duì)角線，A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)定為D，求證：點(diǎn)D在L2上； (1)若拋物線L1與L2關(guān)于x軸對(duì)稱，求L2 的解析式；(3)探索：當(dāng)點(diǎn)B分別位于L1在x軸上 下兩部分的圖像上時(shí)，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在,判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由