13《二次函數(shù)的性質(zhì)》

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1、根據(jù)要求填空根據(jù)要求填空：(2)(2)拋物線拋物線 的頂點坐標(biāo)是的頂點坐標(biāo)是 , , 對稱軸是對稱軸是 . .12212xxy(-2,-1)直線直線x=-2x=-2(3)(3)拋物線拋物線 的頂點坐標(biāo)是的頂點坐標(biāo)是 , , 對稱軸是對稱軸是 . .2412xxy直線直線x=2x=2(2, )(1)(1)拋物線拋物線 的頂點坐標(biāo)是的頂點坐標(biāo)是 , , 對稱軸是對稱軸是 . .cbxaxy2 a4bac4,a2b2a2bx 直直線線課前熱身課前熱身XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象回答問題根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象回答問題：12212xxy24

2、12xxy(1)(1)拋物線拋物線 ，當(dāng)自變，當(dāng)自變量量X X增大時，函數(shù)值增大時，函數(shù)值y y將怎樣變化？將怎樣變化？12212xxy(2)(2)拋物線拋物線 ，當(dāng)自變，當(dāng)自變量量X X增大時，函數(shù)值增大時，函數(shù)值y y將怎樣變化？將怎樣變化？2412xxy先減小，后先減小，后增大增大. .先增大，后減小先增大，后減小. .當(dāng)當(dāng)x x 時時,y,y隨著隨著x x的增大而的增大而減小減小當(dāng)當(dāng)x x 時時,y,y隨著隨著x x的增大而的增大而增大增大. .當(dāng)當(dāng)x x 時時,y,y隨著隨著x x的增大而的增大而增大增大當(dāng)當(dāng)x x 時時,y,y隨著隨著x x的增大而的增大而減小減小. .-2-2-2

3、-22222思考：二次函數(shù)的增減性由什么確定的？新知探索新知探索直線直線x=-2直線直線x=2XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象填空根據(jù)右邊已畫好的函數(shù)圖象填空：12212xxy2412xxy(1)(1)拋物線拋物線 的的 頂點頂點是圖象的最是圖象的最 點。點。12212xxy(2)(2)拋物線拋物線 的的 頂點頂點是圖象的最是圖象的最 點。點。2412xxy該函數(shù)有沒有最大值和最小值？該函數(shù)有沒有最大值和最小值？該函數(shù)有沒有最大值和最小值？該函數(shù)有沒有最大值和最小值？當(dāng)當(dāng)x=_時時,y有最有最_值值=_當(dāng)當(dāng)x=_時時,y有最有最_值值=

4、_低低高高-2小小-12大大-1思考：函數(shù)最大值或最小值由什么確定的？新知探索新知探索二次二次函數(shù)函數(shù)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì).頂點坐標(biāo)與對稱軸頂點坐標(biāo)與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(ax20,試比較試比較y1與與y2的大小的大小.練習(xí)二：一運動員推鉛球，鉛球經(jīng)過的練習(xí)二：一運動員推鉛球，鉛球經(jīng)過的路線為如圖所示的拋物線。路

5、線為如圖所示的拋物線。（1）求鉛球所經(jīng)過的路線的函數(shù)解析式）求鉛球所經(jīng)過的路線的函數(shù)解析式和自變量取值范圍。和自變量取值范圍。（2）鉛球的落地點離運動員有多遠？）鉛球的落地點離運動員有多遠？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3)w(1).每個圖象與每個圖象與x軸有幾個交點？軸有幾個交點？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有幾個根有幾個根? ?驗證一下一元二次方程驗證一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根嗎有根嗎? ?w(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖

6、象和的圖象和x x軸交點的坐軸交點的坐標(biāo)標(biāo)與一元二次方程與一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關(guān)系的根有什么關(guān)系? ?二次函數(shù)與一元二次方程 w二次函數(shù)二次函數(shù)y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的圖象如圖所示的圖象如圖所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點有三種情況軸交點有三種情況: :w 有兩個交點有兩個交

7、點, ,w 有一個交點有一個交點, ,w 沒有交點沒有交點. .w 當(dāng)二次函數(shù)當(dāng)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸有交點時軸有交點時, , 交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0y=0時自變量時自變量x x的值的值, ,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .w(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點的坐標(biāo)與一元二次軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關(guān)系的根有什么關(guān)系? ?拋物線與拋物線與X 軸的

8、交點個數(shù)能不能用一元二次方軸的交點個數(shù)能不能用一元二次方程的知識來說明呢？程的知識來說明呢？0=00OXYw(3).(3).二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點的坐標(biāo)與一元二次軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關(guān)系的根有什么關(guān)系? ?二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的圖象和圖象和x x軸交點軸交點一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判別式根的判別式=b=b2 2-

9、4ac-4ac有兩個交點有兩個交點有兩個相異的實數(shù)根有兩個相異的實數(shù)根b2-4ac 0b2-4ac 0有一個交點有一個交點有兩個相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac = 0b2-4ac = 0沒有交點沒有交點沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根b2-4ac 0b2-4ac 0求二次函數(shù)圖象求二次函數(shù)圖象y=x2-3x+2與與x軸的交點軸的交點A、B的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。解：解：A、B在在x軸上，軸上， 它們的縱坐標(biāo)為它們的縱坐標(biāo)為0， 令令y=0，則，則x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你發(fā)現(xiàn)方程你發(fā)現(xiàn)方程 的解的解x1、x2與與A、B的的坐標(biāo)有什么聯(lián)系？坐標(biāo)

10、有什么聯(lián)系？x2-3x+2=0舉例舉例:結(jié)論結(jié)論1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是拋物線的解就是拋物線y=x2-3x+2與與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)。軸的兩個交點的橫坐標(biāo)。因此，拋物線與一元二次方程是有密切因此，拋物線與一元二次方程是有密切聯(lián)系的。聯(lián)系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是的兩個根是x1、x2， 則拋物線則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個交與軸的兩個交點坐標(biāo)分別是點坐標(biāo)分別是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y二次函數(shù)圖象二次函數(shù)圖象y=ax2+bx+c如果圖象的頂點在如果圖象的頂點在x軸上，則軸上，則如果圖像的

11、頂點在如果圖像的頂點在y軸上，則軸上，則二次函數(shù)圖象二次函數(shù)圖象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2（1）圖像關(guān)于）圖像關(guān)于y軸對稱，則軸對稱，則m =（2）圖像經(jīng)過原點，則）圖像經(jīng)過原點，則m=（3）圖像與坐標(biāo)軸只有）圖像與坐標(biāo)軸只有2個交點，則個交點，則m=( 1 )圖象過圖象過A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三點）三點 (1) 已知拋物線已知拋物線y=ax2+bx+c滿足下列條件滿足下列條件,求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式.（1）解：設(shè)拋物線的解析式為）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c圖象過圖象過A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三點）三點1222

12、11100222cbacbacba132cbay= -2x2+3x+1求求函數(shù)的解析式的幾種方法函數(shù)的解析式的幾種方法（2）圖象頂點是（）圖象頂點是（-2，3），且經(jīng)過點（），且經(jīng)過點（-1，5）解：解：圖象頂點是（圖象頂點是（-2，3）設(shè)其解析式為設(shè)其解析式為y=a（x+2）2+3圖象圖象經(jīng)過點（經(jīng)過點（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3xyo解：解：A(1，0)，對稱軸為，對稱軸為x=2拋物線與拋物線與x軸另一個交點軸另一個交點C應(yīng)應(yīng)為（為（3，0）設(shè)其解析式為設(shè)其解析式為y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a= -1y= -

13、(x-1)(x-3)（3）圖象經(jīng)過圖象經(jīng)過A（1，0）、）、B（0，-3），且對稱軸是直線），且對稱軸是直線x=21AB -3C324、求滿足下列條件的拋物線的解析式：求滿足下列條件的拋物線的解析式：經(jīng)過點經(jīng)過點A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x軸上軸上截得的線段長為截得的線段長為2解：解： B（-1，0）且在）且在x軸上截得的線段長為軸上截得的線段長為2拋物線與拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為軸的另一個交點坐標(biāo)為C（-3，0）或）或C（1，0）設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為y=a（x- x1）（）（x- x2）當(dāng)拋物線經(jīng)過當(dāng)拋物線經(jīng)過B、C兩點時，兩點時，解析式為解析式為y=a

14、（x+1）（）（x+3）又又拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）當(dāng)拋物線經(jīng)過當(dāng)拋物線經(jīng)過B、C 兩點時，解析式為兩點時，解析式為y=a（x+1）（）（x-1）解法同）解法同(1)xyoB-1- 31CCa=154y= （x+1）（）（x+3）154例2：已知拋物線y=（x+1）2-2，將此拋物線分別作軸對稱變換，請分別求出變換后的拋物線。（1）關(guān)于x軸作軸對稱變換（2）關(guān)于y軸作軸對稱變換（-1，-2）（-1，2）(-1,-2)(1,-2)已知拋物線y=x2-2x-3，將其圖像作以下對稱，請寫出對稱后的拋物線。（1）關(guān)于x軸作軸對稱變換（2）關(guān)于y軸作軸對稱變換已知拋

15、物線y=x2-2x-3，將其圖像作以下對稱，請寫出對稱后的拋物線。 （1）關(guān)于頂點中心對稱（2）關(guān)于原點中心對稱函數(shù)y=a(x+m)2+k若關(guān)于頂點對稱，則變?yōu)閥=-a(x+m)2+k若關(guān)于原點對稱，則變?yōu)閥=-a(x-m)2-k例3：(1,-4)(1,-4)(-1,4)(1,-4)xyo1-3-2練習(xí)練習(xí)1、 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示的圖象如圖所示對稱軸對稱軸x=_頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo):_當(dāng)當(dāng)x=_時時,y有最有最_值是值是_函數(shù)值函數(shù)值y0時時,對應(yīng)對應(yīng)x的取值范圍是的取值范圍是_函數(shù)值函數(shù)值y=0時時,對應(yīng)對應(yīng)x的取值范圍是的取值范圍是_當(dāng)當(dāng)x_時時,y隨隨x的增大

16、而增大的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小小-2-3x1x1-3或或1-1練一練：練一練：拋物線拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定如圖所示，試確定a、b、c、 b2-4ac的符號：的符號：xyo練一練：練一練：已知：二次函數(shù)已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖的圖象如圖所示，則點所示，則點M（ ，a）在（）在（ ）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoyD練習(xí)2、已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示示,下列結(jié)論下列結(jié)論a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正確的結(jié)論的。

17、其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（個數(shù)是（ ）A 1個個 B 2個個 C 3個個 D 4個個xyO-11mnD已知：一次函數(shù)已知：一次函數(shù)y=ax+c與二次函數(shù)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c，它們在同一坐標(biāo)系中的大，它們在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是圖中的（致圖象是圖中的（ ）練一練：練一練：xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）Cxyo 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) 圖象，盡可能多的圖象，盡可能多的說出一些結(jié)論說出一些結(jié)論.(-1,0)(3,0)(0,-3)數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合（1）a 0，b 2x+323yx 2yx你知道你知道 的解的個數(shù)嗎？的解的個數(shù)嗎？222xxx4,將拋物線將拋物線y=x2向下

18、平移后向下平移后,使使它的頂點它的頂點C與它在與它在x軸上的兩個軸上的兩個交點交點A,B組成等邊三角形組成等邊三角形ABC,求此拋物線的解析式求此拋物線的解析式.5,已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=2x2+8mx+2m+3,如果如果它的圖像的頂點在它的圖像的頂點在x軸上軸上,求求m的值和頂?shù)闹岛晚旤c坐標(biāo)點坐標(biāo).6,已知拋物線已知拋物線y=0.25x2,把它的頂點移到把它的頂點移到x軸上的點軸上的點A, 所得的拋物線與所得的拋物線與y軸交于軸交于點點B,且線段且線段OA,OB滿足關(guān)系滿足關(guān)系OA-1 =OB,試說明平移方法試說明平移方法.練習(xí)一：一座拱橋的示意圖如圖，當(dāng)水面寬練習(xí)一：一座拱橋的示意圖

19、如圖，當(dāng)水面寬12m時，橋洞頂部離水面時，橋洞頂部離水面4m。已知橋洞的拱形是拋物。已知橋洞的拱形是拋物線，要求該拋物線的函數(shù)解析式，你認(rèn)為首先要線，要求該拋物線的函數(shù)解析式，你認(rèn)為首先要做的工作是什么？如果以水平方向為做的工作是什么？如果以水平方向為x軸，取以下軸，取以下三個不同的點為坐標(biāo)原點：三個不同的點為坐標(biāo)原點：（1）點）點A，（，（2）點）點B，（，（3）拋物線的頂點）拋物線的頂點C得的函數(shù)解析式相同嗎？請試一試。哪種取法求得的函數(shù)解析式相同嗎？請試一試。哪種取法求得的函數(shù)解析式最簡單？得的函數(shù)解析式最簡單？ABC4m12mEDBCOAxy練習(xí)練習(xí)2、已知、已知m,n是方程是方程x2

20、-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且的兩個實數(shù)根，且mn,拋物拋物線線y=-x2+bx+c的圖像經(jīng)過點的圖像經(jīng)過點A(m,0),B(0,n)(1)求這個拋物線的解析式求這個拋物線的解析式(2)設(shè)（設(shè)（1）中拋物線與）中拋物線與x軸的另一交點為軸的另一交點為C，拋物線的頂點為，拋物線的頂點為D,試求出點試求出點C,D的坐標(biāo)和三角形的坐標(biāo)和三角形BCD的面積的面積已知拋物線已知拋物線yax2bxc與與Y軸交于點軸交于點A(0,3),與與X軸分別交于軸分別交于B(1,0),C(5,0)兩點兩點（1）求此拋物線的解析式）求此拋物線的解析式（2）若點）若點D為線段為線段OA的一個三等份點，求直線的一個三等份點

21、，求直線DC的解析式的解析式（3）若一個動點）若一個動點P自自O(shè)A的中點的中點M出發(fā)，先到達出發(fā)，先到達X軸上的某點（設(shè)為點軸上的某點（設(shè)為點E）,再到達拋物線的對稱再到達拋物線的對稱軸上某點（設(shè)為點軸上某點（設(shè)為點F）,最后運動到點最后運動到點A,求使點求使點P運動的總路徑最短的點運動的總路徑最短的點E,F的坐標(biāo)，并求出這個的坐標(biāo)，并求出這個最短路徑長最短路徑長3、（07.煙臺）如圖,已知拋物線L1y=x2-4的圖像與x軸交于A C兩點, (2)若點B是拋物線L1上的一動點(B不與A C重合)，以AC為對角線，A、B、C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點定為D，求證：點D在L2上； (1)若拋物線L1與L2關(guān)于x軸對稱，求L2 的解析式；(3)探索：當(dāng)點B分別位于L1在x軸上 下兩部分的圖像上時，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在,判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由