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1、 第一講：特殊的平行四邊形
一、知識概要
【菱形】
1.菱形的定義： 的平行四邊形叫菱形．
2.性質(zhì):（1）菱形的四條邊____________，對邊_________________.
（2）菱形的相鄰的角__________，對角________________.
（3）菱形的對角線______________，并且每一條對角線_________________.
（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點
2、（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。
3.判定:（1）定義：_______________________的平行四邊形是菱形
（2）定理1：____________________的四邊形是菱形
（3）定理2：對角線____________的平行四邊形是菱形
4、菱形的面積
S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半
【矩形】
1. 矩形的定義：_____________________________________________
3、________________.
2.性質(zhì):（1）矩形的對邊_____________________.
（2）矩形的四個角都是___________.
（3）矩形的對角線________________________.
（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。
3. 判定:（1）定義：_______________________的平行四邊形是矩形
（2）定理1：_____________________的
4、四邊形是矩形
（3）定理2：對角線_______________的平行四邊形是矩形
4. 矩形的面積
S矩形 =長×寬=ab
5. 直角三角形斜邊上的中線 ．
6. 如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是 ．
【正方形】
1.正方形的定義：___________________________________的平行四邊形叫做正方形.
2. 性質(zhì)：（1）正方形四條邊____________，對邊___________.
5、（2）正方形的四個角_______________.
（3）正方形的兩條對角線_________________，每一條對角線_______________.
（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。
3.判定:
判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
先證它是矩形，再證它是菱形。
先證它是菱形，再證它是矩形。
判定定理1：有 的平行四邊形叫做正方形；
推論1：有 的矩形叫
6、做正方形；
推論2：有 的菱形叫做正方形．
判定定理2：對角線 的四邊形是正方形．
判定定理3：對角線 的平行四邊形是正方形．
推論1：對角線 的矩形是正方形；
推論2：對角線 的菱形是正方形．
4.正方形的面積
設正方形邊長為a，對角線長為b
S正方形=
二、典型例題
例1： 如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過點A作
7、AG∥DB交CB的延長線于點G．
（1）求證：DE∥BF；
（2）若∠G＝90o，，求證：四邊形DEBF是菱形．
如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．求證：四邊形ABEF是菱形。
例2：已知菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且AC=16，BD=
8、12，
（1）求菱形ABCD的邊長；
（2）求菱形ABCD的高DH．
如圖：四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，菱形ABCD的周長是20，BD=6．
（1）求AC的長．
（2）求菱形ABCD的高DE的長．
例3：如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．
（1）求證：AB=CF；
（2）當BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFC是矩形，并說明理由．
已知：在矩形ABCD中，AE^BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度數(shù)。
9、例4：如圖，點是正方形內(nèi)一點，是等邊三角形，連接、，延長交邊于點.
（1）求證:；
（2）求的度數(shù).
在正方形ABCD中，CE⊥DF．
（1）如圖1，證明：BE=CF．
（2）如圖2，設正方形對角線交點為O，連接EO，F(xiàn)O，猜想：OE與OF之間的關(guān)系．并說明理由．
（3）在（2）中，若OE=5，F(xiàn)C=1，求正方形的邊長．
10、
例5：若分別以三角形ABC的邊AB、AC為邊，在三角形外作正方形ABDE、ACFG，
求證：BG=EC，BG^EC。
1. 如圖，正方形ABCD中，∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF。
2. 在正方形ABCD的CD邊上取一點G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，
求證：DE^BG，DE=BG。
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北師大版九年級上冊 第一章《特殊平行四邊形》 講義（無答案）
