北師大版九年級(jí)上冊(cè) 第一章《特殊平行四邊形》 講義（無(wú)答案）

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1、 第一講：特殊的平行四邊形 一、知識(shí)概要 【菱形】 1.菱形的定義： 的平行四邊形叫菱形． 2.性質(zhì):（1）菱形的四條邊____________，對(duì)邊_________________. （2）菱形的相鄰的角__________，對(duì)角________________. （3）菱形的對(duì)角線(xiàn)______________，并且每一條對(duì)角線(xiàn)_________________. （4）菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)

2、（對(duì)稱(chēng)中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱(chēng)軸有兩條，是對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)。 3.判定:（1）定義：_______________________的平行四邊形是菱形 （2）定理1：____________________的四邊形是菱形 （3）定理2：對(duì)角線(xiàn)____________的平行四邊形是菱形 4、菱形的面積 S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線(xiàn)乘積的一半 【矩形】 1. 矩形的定義：_____________________________________________

3、________________. 2.性質(zhì):（1）矩形的對(duì)邊_____________________. （2）矩形的四個(gè)角都是___________. （3）矩形的對(duì)角線(xiàn)________________________. （4）矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)（對(duì)稱(chēng)中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱(chēng)軸有兩條，是對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)所在的直線(xiàn)。 3. 判定:（1）定義：_______________________的平行四邊形是矩形 （2）定理1：_____________________的

4、四邊形是矩形 （3）定理2：對(duì)角線(xiàn)_______________的平行四邊形是矩形 4. 矩形的面積 S矩形 =長(zhǎng)×寬=ab 5. 直角三角形斜邊上的中線(xiàn) ． 6. 如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是 ． 【正方形】 1.正方形的定義：___________________________________的平行四邊形叫做正方形. 2. 性質(zhì)：（1）正方形四條邊____________，對(duì)邊___________.

5、（2）正方形的四個(gè)角_______________. （3）正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)_________________，每一條對(duì)角線(xiàn)_______________. （4）正方形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)軸有四條，是對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)和對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)所在的直線(xiàn)。 3.判定: 判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種： 先證它是矩形，再證它是菱形。 先證它是菱形，再證它是矩形。 判定定理1：有 的平行四邊形叫做正方形； 推論1：有 的矩形叫

6、做正方形； 推論2：有 的菱形叫做正方形． 判定定理2：對(duì)角線(xiàn) 的四邊形是正方形． 判定定理3：對(duì)角線(xiàn) 的平行四邊形是正方形． 推論1：對(duì)角線(xiàn) 的矩形是正方形； 推論2：對(duì)角線(xiàn) 的菱形是正方形． 4.正方形的面積 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為b S正方形= 二、典型例題 例1： 如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作

7、AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G． （1）求證：DE∥BF； （2）若∠G＝90o，，求證：四邊形DEBF是菱形． 如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF，PD．求證：四邊形ABEF是菱形。 例2：已知菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，且AC=16，BD=

8、12， （1）求菱形ABCD的邊長(zhǎng)； （2）求菱形ABCD的高DH． 如圖：四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于O，菱形ABCD的周長(zhǎng)是20，BD=6． （1）求AC的長(zhǎng)． （2）求菱形ABCD的高DE的長(zhǎng)． 例3：如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F． （1）求證：AB=CF； （2）當(dāng)BC與AF滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFC是矩形，并說(shuō)明理由． 已知：在矩形ABCD中，AE^BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度數(shù)。

9、例4：如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，是等邊三角形，連接、，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn). （1）求證:； （2）求的度數(shù). 在正方形ABCD中，CE⊥DF． （1）如圖1，證明：BE=CF． （2）如圖2，設(shè)正方形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O，猜想：OE與OF之間的關(guān)系．并說(shuō)明理由． （3）在（2）中，若OE=5，F(xiàn)C=1，求正方形的邊長(zhǎng)．

10、 例5：若分別以三角形ABC的邊AB、AC為邊，在三角形外作正方形ABDE、ACFG， 求證：BG=EC，BG^EC。 1. 如圖，正方形ABCD中，∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF。 2. 在正方形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF， 求證：DE^BG，DE=BG。 10 / 10