北師大版九年級上冊 第一章《特殊平行四邊形》 講義（無答案）

第一講：特殊的平行四邊形 一、知識概要 【菱形】 1.菱形的定義： 的平行四邊形叫菱形． 2.性質(zhì):（1）菱形的四條邊____________，對邊_________________. （2）菱形的相鄰的角__________，對角________________. （3）菱形的對角線______________，并且每一條對角線_________________. （4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。 3.判定:（1）定義：_______________________的平行四邊形是菱形 （2）定理1：____________________的四邊形是菱形 （3）定理2：對角線____________的平行四邊形是菱形 4、菱形的面積 S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半 【矩形】 1. 矩形的定義：_____________________________________________________________. 2.性質(zhì):（1）矩形的對邊_____________________. （2）矩形的四個角都是___________. （3）矩形的對角線________________________. （4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。 3. 判定:（1）定義：_______________________的平行四邊形是矩形 （2）定理1：_____________________的四邊形是矩形 （3）定理2：對角線_______________的平行四邊形是矩形 4. 矩形的面積 S矩形 =長×寬=ab 5. 直角三角形斜邊上的中線 ． 6. 如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是 ． 【正方形】 1.正方形的定義：___________________________________的平行四邊形叫做正方形. 2. 性質(zhì)：（1）正方形四條邊____________，對邊___________. （2）正方形的四個角_______________. （3）正方形的兩條對角線_________________，每一條對角線_______________. （4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。 3.判定: 判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種： 先證它是矩形，再證它是菱形。 先證它是菱形，再證它是矩形。 判定定理1：有 的平行四邊形叫做正方形； 推論1：有 的矩形叫做正方形； 推論2：有 的菱形叫做正方形． 判定定理2：對角線 的四邊形是正方形． 判定定理3：對角線 的平行四邊形是正方形． 推論1：對角線 的矩形是正方形； 推論2：對角線 的菱形是正方形． 4.正方形的面積 設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b S正方形= 二、典型例題 例1： 如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過點A作AG∥DB交CB的延長線于點G． （1）求證：DE∥BF； （2）若∠G＝90º，，求證：四邊形DEBF是菱形． 如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．求證：四邊形ABEF是菱形。 例2：已知菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且AC=16，BD=12， （1）求菱形ABCD的邊長； （2）求菱形ABCD的高DH． 如圖：四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，菱形ABCD的周長是20，BD=6． （1）求AC的長． （2）求菱形ABCD的高DE的長． 例3：如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F． （1）求證：AB=CF； （2）當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFC是矩形，并說明理由． 已知：在矩形ABCD中，AE^BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度數(shù)。 例4：如圖，點是正方形內(nèi)一點，是等邊三角形，連接、，延長交邊于點. （1）求證:； （2）求的度數(shù). 在正方形ABCD中，CE⊥DF． （1）如圖1，證明：BE=CF． （2）如圖2，設(shè)正方形對角線交點為O，連接EO，F(xiàn)O，猜想：OE與OF之間的關(guān)系．并說明理由． （3）在（2）中，若OE=5，F(xiàn)C=1，求正方形的邊長． 例5：若分別以三角形ABC的邊AB、AC為邊，在三角形外作正方形ABDE、ACFG， 求證：BG=EC，BG^EC。 1. 如圖，正方形ABCD中，∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF。 2. 在正方形ABCD的CD邊上取一點G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF， 求證：DE^BG，DE=BG。 10 / 10