《2012高中數(shù)學 3.1.3課時同步練習 新人教A版選修》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2012高中數(shù)學 3.1.3課時同步練習 新人教A版選修（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第3章 3.1.3
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中的真命題是( )
A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0 B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，則b＝c
解析： 對于A，可舉反例：當a⊥b時，a·b＝0；對于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；對于D，a·b＝a·c可以移項整理推得a⊥(b－c)．故選B.
答案： B
2．正方體ABCD－A′B′C′D′中，向量與的夾角是( )
A．30° B．45°
C．60°
2、D．90°
解析： BC′∥AD′，△AD′B′為正三角形，
∴∠D′AB′＝60°，∴〈，〉＝60°.
答案： C
3．設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足A·A＝0，A·A＝0，A·A＝0，則△BCD是( )
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．不確定
解析： 如右圖所示，
設A＝a，A＝b，A＝c，
∵C·C＝(a－b)·(c－b)
＝a·c－b·c－a·b＋b2
＝b2>0.
同理B·B>0，D·D>0.故選B.
答案： B
4.如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠
3、BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為( )
A. B.
C. D.
解析： ∵＝A＋A＋，
∴||＝
＝
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，
∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.
∴|A|＝
＝.故選D.
答案： D
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．在空間四邊形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝________.
解析： 設A＝b，A＝c，A＝d，
則C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.
原式＝0.
答案： 0
6．已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為135°
4、，m＝a＋b，n＝a＋λb，則m⊥n，則λ＝________.
解析： m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°＋λ×16
＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，
∵m⊥n，∴6＋4λ＝0，
∴λ＝－.
答案： －
三、解答題(每小題10分，共20分)
7.如圖所示，已知正三棱錐A－BCD的側棱長和底面邊長都是a，點E，F(xiàn)，G是AB，AD，DC上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，
求下列向量的數(shù)量積：
(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；
(4)E·B
5、.
解析： (1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，
所以A·D＝|||D|cos 120°＝－a2.
(2)因為B＝A－A，
所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，
又因為|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，
所以A·B＝a2－a2＝0.
(3)因為點F，G是AD，DC上的點，
所以G＝＝－A，
所以G·A＝－，
因為＝a2，
所以G·A＝－a2.
(4)因為點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點，所以E＝B，
所以E·B＝B·B，
結合圖形可知〈B，B〉＝60°，
所以E·B＝B·B＝×a×a×cos 60°＝a2.
8．在正四面體
6、ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.
解析： ∵M＝M＋B＋C
＝A＋(A－A)＋(A－A)
＝－A＋A＋A.
∴M·M
＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)
＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
故|M|＝＝a.
即|MN|＝a.
尖子生題庫☆☆☆
9．(10分)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a.
(1)用向量法求A1B和B1C的夾角；
(2)用向量法證明A1B⊥AC1；
(3)用向量法求AC1的長度．
解析： (1)因為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，
所以||＝||＝a.
因為＝A－，
＝＝A－，
所以·＝(A－)·(A－)＝a2，
所以cos〈，〉＝＝，
即A1B和B1C的夾角為60°；
(2)證明：因為＝A＋＋A，
＝A－，
所以·＝0，A1B⊥AC1；
(3)由(2)知，＝A＋＋A，
所以2＝(A＋＋A)2＝3a2，
所以||＝AC1＝a.
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