2012高中數(shù)學(xué) 3.1.3課時(shí)同步練習(xí) 新人教A版選修

第3章 3.1.3 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中的真命題是(　　) A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0 B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，則b＝c 解析：　對(duì)于A，可舉反例：當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0；對(duì)于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；對(duì)于D，a·b＝a·c可以移項(xiàng)整理推得a⊥(b－c)．故選B. 答案：　B 2．正方體ABCD－A′B′C′D′中，向量與的夾角是(　　) A．30°　　　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：　BC′∥AD′，△AD′B′為正三角形， ∴∠D′AB′＝60°，∴〈，〉＝60°. 答案：　C 3．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足A·A＝0，A·A＝0，A·A＝0，則△BCD是(　　) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定 解析：　如右圖所示， 設(shè)A＝a，A＝b，A＝c， ∵C·C＝(a－b)·(c－b) ＝a·c－b·c－a·b＋b2 ＝b2>0. 同理B·B>0，D·D>0.故選B. 答案：　B 4.如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長(zhǎng)為(　　) A. B. C. D. 解析：　∵＝A＋A＋， ∴||＝ ＝ ∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3， ∠BAD＝90°， ∠BAA1＝∠DAA1＝60°， ∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°. ∴|A|＝ ＝.故選D. 答案：　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．在空間四邊形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝________. 解析：　設(shè)A＝b，A＝c，A＝d， 則C＝d－c，B＝d－b，＝c－b. 原式＝0. 答案：　0 6．已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，則m⊥n，則λ＝________. 解析：　m·n＝(a＋b)·(a＋λb) ＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2 ＝18＋λ×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°＋λ×16 ＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ， ∵m⊥n，∴6＋4λ＝0， ∴λ＝－. 答案：?。? 三、解答題(每小題10分，共20分) 7.如圖所示，已知正三棱錐A－BCD的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都是a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G是AB，AD，DC上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2， 求下列向量的數(shù)量積： (1)A·D；(2)A·B；(3)G·A； (4)E·B. 解析：　(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°， 所以A·D＝|||D|cos 120°＝－a2. (2)因?yàn)锽＝A－A， 所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A， 又因?yàn)閨A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°， 所以A·B＝a2－a2＝0. (3)因?yàn)辄c(diǎn)F，G是AD，DC上的點(diǎn)， 所以G＝＝－A， 所以G·A＝－， 因?yàn)椋絘2， 所以G·A＝－a2. (4)因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，所以E＝B， 所以E·B＝B·B， 結(jié)合圖形可知〈B，B〉＝60°， 所以E·B＝B·B＝×a×a×cos 60°＝a2. 8．在正四面體ABCD中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別是棱AB，CD上的點(diǎn)，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|. 解析：　∵M(jìn)＝M＋B＋C ＝A＋(A－A)＋(A－A) ＝－A＋A＋A. ∴M·M ＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A) ＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋ ＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2. 故|M|＝＝a. 即|MN|＝a. 尖子生題庫(kù)☆☆☆ 9．(10分)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a. (1)用向量法求A1B和B1C的夾角； (2)用向量法證明A1B⊥AC1； (3)用向量法求AC1的長(zhǎng)度． 解析：　(1)因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a， 所以||＝||＝a. 因?yàn)椋紸－， ＝＝A－， 所以·＝(A－)·(A－)＝a2， 所以cos〈，〉＝＝， 即A1B和B1C的夾角為60°； (2)證明：因?yàn)椋紸＋＋A， ＝A－， 所以·＝0，A1B⊥AC1； (3)由(2)知，＝A＋＋A， 所以2＝(A＋＋A)2＝3a2， 所以||＝AC1＝a.