2019年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第四章 曲線運(yùn)動(dòng) 萬有引力與航天 第3講 圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案

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1、 第3講　圓周運(yùn)動(dòng) 一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、角速度、線速度、向心加速度 1．勻速圓周運(yùn)動(dòng) (1)定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，若在相等的時(shí)間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)． (2)特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運(yùn)動(dòng)． (3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心． 2．描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量 定義、意義 公式、單位 線速度 描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量(v) (1)v＝＝ (2)單位：m/s 角速度 描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量(ω) (1)ω＝＝ (2)單位：rad/s 周期 物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一圈的時(shí)間(

2、T) (1)T＝＝，單位：s (2)f＝，單位：Hz 向心加 速度 (1)描述速度方向變化快慢的物理量(an) (2)方向指向圓心 (1)an＝＝rω2 (2)單位：m/s2 [深度思考]　如圖1所示為一輛自行車傳動(dòng)裝置的結(jié)構(gòu)圖． 圖1 (1)同一齒輪上到轉(zhuǎn)軸距離不同的各點(diǎn)的線速度、角速度是否相同？ (2)兩個(gè)齒輪相比較，其邊緣的線速度是否相同？角速度是否相同，轉(zhuǎn)速是否相同？ 答案　(1)線速度不同，角速度相同．(2)線速度相同，角速度、轉(zhuǎn)速不同． 二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 1．作用效果 向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大?。? 2．大小

3、 F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r. 3．方向 始終沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力． 4．來源 向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供． 三、離心現(xiàn)象 1．定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)． 2．本質(zhì)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢． 3．受力特點(diǎn)(如圖2) 當(dāng)F＝mrω2時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)； 當(dāng)F＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出； 當(dāng)F

4、 1．判斷下列說法是否正確． (1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)．(　×　) (2)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，一定受到向心力的作用，所以分析做圓周運(yùn)動(dòng)物體的受力時(shí)，除了分析其受到的其他力，還必須指出它受到向心力的作用．(　×　) (3)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力突然消失，物體將沿圓周的半徑方向飛出．(　×　) (4)火車轉(zhuǎn)彎速率小于規(guī)定的數(shù)值時(shí)，內(nèi)軌受到的壓力會增大．(　√　) (5)飛機(jī)在空中沿半徑為R的水平圓周盤旋時(shí)，飛機(jī)機(jī)翼一定處于傾斜狀態(tài)．(　√　) 2．(人教版必修2P25第3題改編)如圖3所示，小物體A與水平圓盤保持相對靜止，跟著圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則A受力情況是(　

5、　) 圖3 A．重力、支持力 B．重力、向心力 C．重力、支持力、指向圓心的摩擦力 D．重力、支持力、向心力、摩擦力 答案　C 3．(人教版必修2P19第4題改編)圖4是自行車傳動(dòng)裝置的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為nr/s，則自行車前進(jìn)的速度為(　　) 圖4 A. B. C. D. 答案　D 4．(人教版必修2P25第2題改編)如圖5所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動(dòng)，有兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則以下說法中正確的是

6、(　　) 圖5 A．A球的角速度等于B球的角速度 B．A球的線速度大于B球的線速度 C．A球的運(yùn)動(dòng)周期小于B球的運(yùn)動(dòng)周期 D．A球?qū)ν脖诘膲毫Υ笥贐球?qū)ν脖诘膲毫? 答案　B 解析　先對小球受力分析，如圖所示，由圖可知，兩球的向心力都來源于重力mg和支持力FN的合力，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則有： FNsinθ＝mg① FNcosθ＝mrω2② 由①得FN＝，小球A和B受到的支持力FN相等，由牛頓第三定律知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．由于支持力FN相等，結(jié)合②式知，A球運(yùn)動(dòng)的半徑大于B球運(yùn)動(dòng)的半徑，故A球的角速度小于B球的角速度，A球的運(yùn)動(dòng)周期大于B球的運(yùn)動(dòng)周期，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤．又根據(jù)F

7、Ncosθ＝m可知：A球的線速度大于B球的線速度，選項(xiàng)B正確. 命題點(diǎn)一　圓周運(yùn)動(dòng)的分析 1．圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 (1)對公式v＝ωr的理解 當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比； 當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比； 當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比． (2)對a＝＝ω2r＝ωv的理解 在v一定時(shí)，a與r成反比；在ω一定時(shí)，a與r成正比． 2．圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)分析 (1)向心力的來源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)向心力． (2)向心力的確定 ①確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面，確

8、定圓心的位置． ②分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力． 例1　(多選)如圖6 所示為賽車場的一個(gè)水平“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切．大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m．賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使賽車不打滑，繞賽道一圈時(shí)間最短(發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14)，則賽車(　　) 圖6 A．在繞過小圓弧彎道后加速 B．在大圓弧彎道上的速率為45m/s C．

9、在直道上的加速度大小為5.63m/s2 D．通過小圓弧彎道的時(shí)間為5.58s 　繞賽道一圈時(shí)間最短． 答案　AB 解析　在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)徑向靜摩擦力提供向心力得，kmg＝m，當(dāng)彎道半徑一定時(shí)，在彎道上的最大速率是一定的，且在大彎道上的最大速率大于小彎道上的最大速率，故要想時(shí)間最短，可在繞過小圓弧彎道后加速，選項(xiàng)A正確；在大圓弧彎道上的速率為vmR＝＝m/s＝45 m/s，選項(xiàng)B正確；直道的長度為x＝＝50m，在小彎道上的最大速率為：vmr＝＝m/s＝30 m/s，在直道上的加速度大小為a＝＝m/s2≈6.50 m/s2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系可知，小圓弧軌道的長度為，通過

10、小圓弧彎道的時(shí)間為t＝＝s≈2.80s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 1．如圖7所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上．不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列說法正確的是(　　) 圖7 A．A的速度比B的大 B．A與B的向心加速度大小相等 C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等 D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小 答案　D 解析　根據(jù)題意可知，座椅A和B的角速度相等，A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑小于B的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，由v＝rω可知，座椅A的線速度比B的小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由a＝rω2可知，座椅A的向心加速度比B的小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；座椅受力如

11、圖所示，由牛頓第二定律得mgtanθ＝mrω2，tanθ＝，因座椅A的運(yùn)動(dòng)半徑較小，故懸掛A的纜繩與豎直方向的夾角小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；拉力FT＝， 可判斷懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小，選項(xiàng)D正確． 2．(多選)如圖8所示，兩個(gè)質(zhì)量不同的小球用長度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn)，并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則它們的(　　) 圖8 A．周期相同 B．線速度的大小相等 C．角速度的大小相等 D．向心加速度的大小相等 答案　AC 解析　對小球受力分析如圖所示，受自身重力mg、繩子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圓心，設(shè)細(xì)線和豎直方向夾角為θ，小球到懸點(diǎn)的距離為h，則有mgtan

12、θ＝man＝mω2htanθ，可得向心加速度an＝gtanθ，所以向心加速度大小不相等，選項(xiàng)D錯(cuò)；角速度ω＝，所以角速度大小相等，選項(xiàng)C對；由于水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，線速度v＝ωhtanθ，所以線速度大小不同，選項(xiàng)B錯(cuò)，周期T＝，角速度相等，所以周期相等，選項(xiàng)A對． 命題點(diǎn)二　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 例2　如圖9所示，用一根長為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為FT.(g取10m/s2，結(jié)果可用根式表示)求： 圖9

13、 (1)若要小球剛好離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？ (2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？ ?、傩∏蛟谒矫鎯?nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；②若要小球剛好離開錐面． 答案　(1)rad/s　(2)2rad/s 解析　(1)若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細(xì)線的拉力，受力分析如圖所示．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得： mgtanθ＝mω02lsinθ 解得：ω02＝ 即ω0＝＝rad/s. (2)同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí)，由牛頓第二定律及向心力公式得： mgtanα＝

14、mω′2lsinα 解得：ω′2＝， 即ω′＝＝2rad/s. 水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的分析技巧 1．在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度ω變化時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢．這時(shí)要根據(jù)物體的受力情況，判斷某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等)． 2．三種臨界情況： (1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：彈力FN＝0. (2)相對滑動(dòng)的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時(shí)，常存在著靜摩擦力，則相對滑動(dòng)的臨界條件是：靜摩擦力達(dá)到最大值． (3)繩子斷裂與松馳的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子

15、斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是：FT＝0. 3．(多選)(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ·20)如圖10所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說法正確的是(　　) 圖10 A．b一定比a先開始滑動(dòng) B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等 C．ω＝是b開始滑動(dòng)的臨界角速度 D．當(dāng)ω＝時(shí)，a所受摩擦力的大小為kmg 答案　AC 解析　小木

16、塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.當(dāng)角速度增加時(shí)，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對滑動(dòng)，對木塊a：fa＝mωa2l，當(dāng)fa＝kmg時(shí)，kmg＝mωa2l，ωa＝；對木塊b：fb＝mωb2·2l，當(dāng)fb＝kmg時(shí)，kmg＝mωb2·2l，ωb＝，所以b先達(dá)到最大靜摩擦力，選項(xiàng)A正確；兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa

17、繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的過山車等)，稱為“繩(環(huán))約束模型”，二是有支撐(如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等)，稱為“桿(管)約束模型”． 2．豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩種模型特點(diǎn)及求解方法 輕繩模型 輕桿模型 實(shí)例 如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的球等 如球與桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等 圖示 最高點(diǎn)無支撐 最高點(diǎn)有支撐 最 高 點(diǎn) 受力 特征 重力、彈力，彈力方向向下或等于零 重力、彈力，彈力方向向下、等于零或向上 受力示意圖 力學(xué) 特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 臨界 特征 FN＝0，vmin＝ 豎直向上的F

18、N＝mg，v＝0 過最高 點(diǎn)條件 v≥ v≥0 速度和 彈力關(guān) 系討論 分析　 ①能過最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN ②不能過最高點(diǎn)時(shí)，v<，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道做斜拋運(yùn)動(dòng) ①當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心 ②當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大 例3　(2016·全國Ⅱ·16)小球P和Q用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量，懸掛P球的繩比懸掛Q球的繩短．將兩球拉起，使兩繩

19、均被水平拉直，如圖11所示．將兩球由靜止釋放．在各自軌跡的最低點(diǎn)(　　) 圖11 A．P球的速度一定大于Q球的速度 B．P球的動(dòng)能一定小于Q球的動(dòng)能 C．P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力 D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度 ①P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量；②由靜止釋放；③在各自軌跡的最低點(diǎn)． 答案　C 解析　小球從水平位置擺動(dòng)至最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LPmQ，LP

20、C正確；由an＝＝2g可知，兩球的向心加速度相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 例4　如圖12所示，一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．g取10m/s2，求： 圖12 (1)小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為多大？ (2)當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，輕繩拉力多大？ (3)若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的速度不能超過多大？ ?、佥p繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；②小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)；③最大張力為45N. 答案　(1)2m/s　(2)15N　(3)4m/s 解析　(1)在最高點(diǎn)，對小球受力分析如圖甲，由牛頓第二定律得mg＋F1＝

21、① 由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力，即F1不可能取負(fù)值， 亦即F1≥0 ② 聯(lián)立①②得v≥， 代入數(shù)值得v≥2m/s 所以，小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s. (2)將v2＝4m/s代入①得，F(xiàn)2＝15N. (3)由分析可知，小球在最低點(diǎn)張力最大，對小球受力分析如圖乙，由牛頓第二定律得 F3－mg＝ ③ 將F3＝45N代入③得v3＝4m/s 即小球的速度不能超過4m/s. 4．(多選)“水流星”是一種常見的雜技項(xiàng)目，該運(yùn)動(dòng)可以簡化為細(xì)繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型，如圖13所示，已知繩長為l，重力加速度

22、為g，則(　　) 圖13 A．小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí)，處于失重狀態(tài) B．小球初速度v0越大，則在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差越大 C．當(dāng)v0>時(shí)，小球一定能通過最高點(diǎn)P D．當(dāng)v0<時(shí)，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài) 答案　CD 解析　小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí)，由于加速度向上，故處于超重狀態(tài)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球在最低點(diǎn)時(shí)：FT1－mg＝m；在最高點(diǎn)時(shí)：FT2＋mg＝m，其中mv02－mg·2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差與初速度v0無關(guān)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)v0＝時(shí)，得v＝，因?yàn)樾∏蚰芙?jīng)過最高點(diǎn)的最小速度為，則當(dāng)v0>時(shí)小球一定能通過最高點(diǎn)P，選項(xiàng)C正確；當(dāng)v0

23、＝時(shí)，由mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越過與懸點(diǎn)等高的位置，故當(dāng)v0<時(shí)，小球?qū)⒃谧畹忘c(diǎn)位置來回?cái)[動(dòng)，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)，選項(xiàng)D正確． 5．如圖14所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力．則球B在最高點(diǎn)時(shí)(　　) 圖14 A．球B的速度為零 B．球A的速度大小為 C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg D．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg 答案　C 解析　球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對球B恰好無作用力，

24、即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A錯(cuò)誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝，故B錯(cuò)誤；B球在最高點(diǎn)時(shí)，對桿無彈力，此時(shí)A球受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯(cuò)誤． 斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同．下面列舉三類實(shí)例： 1．靜摩擦力控制下的圓周運(yùn)動(dòng) 典例1　(2014·安徽·19)如圖15所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤

25、始終保持相對靜止．物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2.則ω的最大值是(　　) 圖15 A.rad/s B.rad/s C．1.0rad/s D．0.5 rad/s 答案　C 解析　當(dāng)小物體轉(zhuǎn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)為臨界點(diǎn)，由牛頓第二定律知， μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r 解得ω＝1.0rad/s， 故選項(xiàng)C正確． 2．輕繩控制下的圓周運(yùn)動(dòng) 典例2　如圖16所示，一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上，能繞水平固定軸MN調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角．板上一根長為l＝0.60m的輕細(xì)繩，它的一端系住一

26、質(zhì)量為m的小球P，另一端固定在板上的O點(diǎn)．當(dāng)平板的傾角固定為α?xí)r，先將輕繩平行于水平軸MN拉直，然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度v0＝3.0m/s.若小球能保持在板面內(nèi)做圓周 運(yùn)動(dòng)，傾角α的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(取重力加速度g＝10 m/s2) 圖16 答案　0°≤α≤30° 解析　小球在傾斜平板上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到繩子拉力、平板彈力、重力．在垂直平板方向上合力為0，重力在沿平板方向的分量為mgsinα 小球在最高點(diǎn)時(shí)，由繩子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有 FT＋mgsinα＝ ① 研究小球從釋放到最高點(diǎn)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理有 －mglsin

27、α＝mv12－mv02 ② 若恰好能通過最高點(diǎn)，則繩子拉力 FT＝0 ③ 聯(lián)立①②③解得 sinα＝，則α＝30° 故α的范圍為0°≤α≤30°. 3．輕桿控制下的圓周運(yùn)動(dòng) 典例3　如圖17所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的輕桿，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)，取g＝10m/s2，若要小球能通過最高點(diǎn)A，則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是(　　) 圖17 A．4m/s　 B．2m/s　 C．2m/s　 D．2m/s 答案　A 解析　小球受輕桿控制，在A點(diǎn)的最小速度為零，由2m

28、gLsinα＝mvB2可得vB＝4m/s，A正確． 題組1　勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析 1．水平放置的三個(gè)不同材料制成的圓輪A、B、C，用不打滑皮帶相連，如圖1所示(俯視圖)，三圓輪的半徑之比為RA∶RB∶RC＝3∶2∶1，當(dāng)主動(dòng)輪C勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在三輪的邊緣上分別放置一相同的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，小物塊均恰能相對靜止在各輪的邊緣上，設(shè)小物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，小物塊與輪A、B、C接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA、μB、μC，A、B、C三輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ωA、ωB、ωC，則(　　) 圖1 A．μA∶μB∶μC＝2∶3∶6 B．μA∶μB∶μC＝6∶3∶2 C．ωA∶ω

29、B∶ωC＝1∶2∶3 D．ωA∶ωB∶ωC＝6∶3∶2 答案　A 解析　小物塊在水平方向由最大靜摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝，A、B、C三圓輪邊緣的線速度大小相同，所以μ∝，所以μA∶μB∶μC＝2∶3∶6，由v＝Rω可知，ω∝，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶6，故只有A正確． 2．如圖2為學(xué)員駕駛汽車在水平面上繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的俯視示意圖．已知質(zhì)量為60kg的學(xué)員在A點(diǎn)位置，質(zhì)量為70kg的教練員在B點(diǎn)位置，A點(diǎn)的轉(zhuǎn)彎半徑為5.0m，B點(diǎn)的轉(zhuǎn)彎半徑為4.0m，學(xué)員和教練員(均可視為質(zhì)點(diǎn))(　　) 圖2 A．運(yùn)動(dòng)周期之比為5∶4 B．運(yùn)動(dòng)線速度大小之比

30、為1∶1 C．向心加速度大小之比為4∶5 D．受到的合力大小之比為15∶14 答案　D 解析　A、B兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相等，根據(jù)T＝知，周期相等，故A錯(cuò)誤．根據(jù)v＝rω知，半徑之比為5∶4，則線速度大小之比為5∶4，故B錯(cuò)誤．根據(jù)a＝rω2知，半徑之比為5∶4，則向心加速度大小之比為5∶4，故C錯(cuò)誤．根據(jù)F＝ma知，向心加速度大小之比為5∶4，質(zhì)量之比為6∶7，則合力大小之比為15∶14，故D正確． 3．(2014·天津·9(1))半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A為圓盤邊緣上一點(diǎn)．在O的正上方有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以初速度v水平拋出時(shí)，半徑OA方向恰好與v的方向相

31、同，如圖3所示．若小球與圓盤只碰一次，且落在A點(diǎn)，重力加速度為g，則小球拋出時(shí)距O的高度h＝________，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小ω＝________. 圖3 答案　　(n＝1,2,3，…) 解析　小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向：h＝gt2 ① 在水平方向R＝vt ② 由①②兩式可得h＝ ③ 小球落在A點(diǎn)的過程中，OA轉(zhuǎn)過的角度θ＝2nπ＝ωt　(n＝1,2,3，…)④ 由②④兩式得ω＝(n＝1,2,3，…) 題組2　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 4．(多選)摩擦傳動(dòng)是傳動(dòng)裝置中的一個(gè)重要模型，如圖4所示的兩個(gè)水平放置的輪盤靠摩擦力傳

32、動(dòng)，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心．已知兩個(gè)輪盤的半徑比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時(shí)兩輪盤不打滑．今在兩輪盤上分別放置兩個(gè)同種材料制成的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，兩滑塊距離軸心O、O′的間距RA＝2RB.若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動(dòng)起來，且轉(zhuǎn)速逐漸增加，則下列敘述正確的是(　　) 圖4 A．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時(shí)，角速度之比為ω甲∶ω乙＝1∶3 B．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時(shí)，向心加速度的比值為aA∶aB＝2∶9 C．轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動(dòng) D．轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動(dòng) 答案　ABC 解析　假設(shè)輪盤乙的半徑為R，由題意可知兩輪盤邊緣的線

33、速度大小相等，有ω甲(3R)＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑塊相對輪盤滑動(dòng)前，A、B的角速度之比為1∶3，A正確；滑塊相對輪盤滑動(dòng)前，根據(jù)a＝ω2r得A、B的向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9，B正確；據(jù)題意可得滑塊A、B的最大靜摩擦力分別為FfA＝μmAg，F(xiàn)fB＝μmBg，最大靜摩擦力之比為FfA∶FfB＝mA∶mB，滑塊相對輪盤滑動(dòng)前所受的靜摩擦力之比為FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，綜上分析可得滑塊B先達(dá)到最大靜摩擦力，先開始滑動(dòng)，C正確，D錯(cuò)誤． 5．(多選)如圖5所示，在水平圓盤上放有質(zhì)量分別為m、m、2m的可視為質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)物體A、B、

34、C，圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)．三個(gè)物體與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．三個(gè)物體與軸O共線且OA＝OB＝BC＝r，現(xiàn)將三個(gè)物體用輕質(zhì)細(xì)線相連，保持細(xì)線伸直且恰無張力．當(dāng)圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度極其緩慢地增大，則對于這個(gè)過程，下列說法正確的是(　　) 圖5 A．A、B兩個(gè)物體同時(shí)達(dá)到最大靜摩擦力 B．B、C兩個(gè)物體的靜摩擦力先增大后不變，A物體所受的靜摩擦力先增大后減小再增大 C．當(dāng)ω2>時(shí)整體會發(fā)生滑動(dòng) D．當(dāng)<ω<時(shí)，在ω增大的過程中B、C間的拉力不斷增大 答案　BCD 解析　當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速增大時(shí)，靜摩擦力提供向心力，三個(gè)物體的角速度相等，由F0

35、＝mω2r，由于C的半徑最大，質(zhì)量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先達(dá)到最大靜摩擦力，此時(shí)μ(2m)g＝2m·2rω12，解得ω1＝，當(dāng)C的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力之后，細(xì)線BC開始提供拉力，B的摩擦力增大，達(dá)到最大靜摩擦力后，A、B之間細(xì)線開始有力的作用，隨著角速度增大，A的摩擦力將減小到零然后反向增大，當(dāng)A的摩擦力達(dá)到最大，且細(xì)線BC的拉力大于A、B整體的摩擦力時(shí)物體將會出現(xiàn)相對滑動(dòng)，此時(shí)A與B還受到細(xì)線的拉力，對C有FT＋μ(2m)g＝2m·2rω22，對A、B整體有FT＝2μmg，解得ω2＝，當(dāng)ω2>時(shí)整體會發(fā)生滑動(dòng)，故A錯(cuò)誤，B、C正確；當(dāng)<ω<時(shí)，C所受摩擦力沿著半徑向里，且沒有

36、出現(xiàn)滑動(dòng)，故在ω增大的過程中，由于向心力F＝FT＋Ff不斷增大，故B、C間的拉力不斷增大，故D正確． 6.如圖6所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點(diǎn)連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上，OA＝OB＝AB，現(xiàn)通過轉(zhuǎn)動(dòng)豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，三角形OAB始終在豎直平面內(nèi)，若轉(zhuǎn)動(dòng)過程中OB、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài)，則下列說法正確的是(　　) 圖6 A．OB繩的拉力范圍為0～mg B．OB繩的拉力范圍為mg～mg C．AB繩的拉力范圍為mg～mg D．AB繩的拉力范圍為0～mg 答案　B 解析　當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為零時(shí)，OB繩的拉

37、力最小，AB繩的拉力最大，這時(shí)兩者的值相同，設(shè)為F1，則2F1cos30°＝mg，F(xiàn)1＝mg，增大轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，當(dāng)AB繩的拉力剛好等于零時(shí)，OB繩的拉力最大，設(shè)這時(shí)OB繩的拉力為F2，則F2cos30°＝mg，F(xiàn)2＝mg，因此OB繩的拉力范圍為mg～mg，AB繩的拉力范圍為0～mg，B項(xiàng)正確． 7．如圖7所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g. 圖7

38、 (1)若ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0； (2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k?1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向． 答案　(1) (2)當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時(shí)，F(xiàn)f沿罐壁切線向下，大小為 mg 當(dāng)ω＝(1－k)ω0時(shí)，F(xiàn)f沿罐壁切線向上，大小為 mg 解析　(1)對小物塊受力分析可知： FNcos60°＝mg ① FNsin60°＝mR′ω02 ② R′＝Rsin60° ③ 聯(lián)立①②③解得：ω0＝ (2)由于0＜k?1， 當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時(shí)，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下． 由受力

39、分析可知： FN′cos60°＝mg＋Ffcos30° ④ FN′sin60°＋Ffsin30°＝mR′ω2 ⑤ 聯(lián)立③④⑤解得：Ff＝mg 當(dāng)ω＝(1－k)ω0時(shí)，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上． 由受力分析和幾何關(guān)系知： FN″cos60°＋Ff′sin60°＝mg ⑥ FN″sin60°－Ff′cos60°＝mR′ω2 ⑦ 聯(lián)立③⑥⑦解得Ff′＝mg. 題組3　豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 8．如圖8所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B

40、兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)間的距離也為L.重力加速度大小為g.現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運(yùn)動(dòng)，若小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí)，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí)，每根繩的拉力大小為(　　) 圖8 A.mg B.mg C．3mg D．2mg 答案　A 解析　設(shè)小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)輕繩與圓周運(yùn)動(dòng)軌道平面的夾角為θ＝30°，則有r＝Lcosθ＝L.根據(jù)題述小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí)，兩根繩的拉力恰好均為零，有mg＝m；小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí)，設(shè)每根繩的拉力大小為F，則有2Fcosθ＋mg＝m，聯(lián)立解得F＝mg，選項(xiàng)A正確． 9.(多選)如圖9

41、所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4m，最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng)，v0應(yīng)當(dāng)滿足(取g＝10m/s2)(　　) 圖9 A．v0≥0 B．v0≥4m/s C．v0≥2m/s D．v0≤2m/s 答案　CD 解析　當(dāng)v0較大時(shí)，小球能夠通過最高點(diǎn)，這時(shí)小球在最高點(diǎn)處需要滿足的條件是mg≤，又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv2＋2mgr＝mv02，得v0≥2m/s，C正確．當(dāng)v0較小時(shí)，小球不能通過最高點(diǎn)，這時(shí)對應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時(shí)速度恰好減為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr＝mv0

42、2，得v0＝2m/s，D正確． 10．如圖10所示，兩個(gè)四分之三豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上，半徑R相同，左側(cè)軌道由金屬凹槽制成，右側(cè)軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道．在兩軌道右側(cè)的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別為hA、hB，下列說法正確的是(　　) 圖10 A．若使小球沿軌道運(yùn)動(dòng)并且到達(dá)軌道最高點(diǎn)，兩球釋放的最小高度hA

43、能到左側(cè)軌道的最高點(diǎn)，由mg＝m得vA＝，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mg(hA－2R)＝mv，解得hA＝R；若小球B恰好能到右側(cè)軌道的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)的速度vB＝0，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得hB＝2R，故hA>hB，A錯(cuò)誤；在軌道最低點(diǎn)，小球受到的支持力最小時(shí)，釋放高度是最小的，即對左側(cè)軌道來說，在最低點(diǎn)mghA＝mv12，由牛頓第二定律有FNA－mg＝m，聯(lián)立得FNA＝6mg，對右側(cè)軌道來說，在最低點(diǎn)有mghB＝mv22，根據(jù)牛頓第二定律有FNB－mg＝m，聯(lián)立得FNB＝5mg，故B正確，C錯(cuò)誤；小球A從最高點(diǎn)飛出后進(jìn)行平拋運(yùn)動(dòng)，下落R高度時(shí)，水平位移的最小值為xA＝vA＝·＝R>R，所以小球A落在軌

44、道右端開口外側(cè)，而適當(dāng)調(diào)整hB，B可以落在軌道右端開口處，D錯(cuò)誤． 11．小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖11所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為d，重力加速度為g，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力． 圖11 (1)求繩斷時(shí)球的速度大小v1和球落地時(shí)的速度大小v2； (2)求繩能承受的最大拉力； (3)改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？ 答案　

45、(1)　　　(2)mg (3)　d 解析　(1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得 豎直方向d＝gt2 水平方向d＝v1t 解得v1＝ 在豎直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，則 v22－v12＝2g(1－)d 解得v2＝ (2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為FT，這也是球受到繩的最大拉力大?。蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝d 對小球在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得 FT－mg＝ 解得FT＝mg (3)設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變．由牛頓第二定律得 FT－mg＝ 解得v3＝ 繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d－l，水平位移為x，時(shí)間為t1，則 豎直方向d－l＝gt12 水平方向x＝v3t1 解得x＝4 當(dāng)l＝時(shí)，x有極大值，xmax＝d. 24