2019高考物理 快速提分法 模型三 平衡問(wèn)題學(xué)案（含解析）

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1、平衡問(wèn)題 物體處于靜止或勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱(chēng)之為平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)下的物體是高中物理中重要的模型，解平衡問(wèn)題的基礎(chǔ)是對(duì)物體進(jìn)行受力分析。物體的平衡在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用：在靜力學(xué)中有單體平衡、多體平衡；在電磁學(xué)中也有很多內(nèi)容涉及平衡問(wèn)題，如帶電粒子在電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)、電磁感應(yīng)中的收尾速度等等，都可能用到物體平衡知識(shí)。 一、平衡態(tài)物體的特點(diǎn)： ⑴平面共點(diǎn)力作用下的物體受到的合外力為零。如果物體僅受三個(gè)力，則任意兩力的合力與第三力大小相等、方向相反。合外力為零，意味著物體受到的諸力在任一方向上的分力的矢量和為零，因而常用正交分解法列平衡方程。 形式為： ⑵有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡，其合力

2、矩為零，即M合=0。它表示使物體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩等于使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩。 二、平衡狀態(tài)研究方法 平衡態(tài)問(wèn)題的研究方法，從研究對(duì)象的選取看，有整體法和隔離體法；從具體的求解過(guò)程看，有定量計(jì)算法(解析法)和定性分析法；從定量計(jì)算法的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)看，又分為相似三角形法和正弦、余弦定理及直角三角形的邊角關(guān)系等方法。定性分析法，因不要求定量計(jì)算，一般采用圖示法(力三角形法或平行四邊形法)。另外還有常見(jiàn)的假設(shè)法、正交分解法等 經(jīng)典例題五根細(xì)線(xiàn)連接如圖，BE、CF兩根細(xì)線(xiàn)下端分別系有重物P、Q。靜止時(shí)AB段恰好水平，BC段跟水平方向的夾角α和CD段跟豎直方向的夾角β均為30o。已知重物P的

3、重量為G1=30N。求：⑴AB段細(xì)線(xiàn)對(duì)結(jié)點(diǎn)B的拉力大小F1；⑵重物Q的重量G2；⑶CD段細(xì)線(xiàn)對(duì)結(jié)點(diǎn)C的拉力大小F2。 α B E A C D β P Q F 分析與解答：⑴以B點(diǎn)為對(duì)象，共點(diǎn)力平衡，用平行四邊形定則求AB繩的拉力為30N，同時(shí)可以求出BC線(xiàn)上的拉力為60N。 ⑵以C點(diǎn)為對(duì)象，共點(diǎn)力平衡，做出相應(yīng)的平行四邊形，其中重力G2和BC線(xiàn)對(duì)Q的拉力等大，因此G2=60N⑶由上問(wèn)的平行四邊形可求得CD線(xiàn)對(duì)結(jié)點(diǎn)C的拉力是BC線(xiàn)拉力的倍。 變式1在圖中，AO、BO、CO是三條完全相同的細(xì)繩，并將鋼梁水平吊起，若鋼梁足夠重時(shí)，繩A先斷，則 A．θ＝120° B．θ

4、＞120° C．θ＜120° D．不論θ為何值，AO總先斷 分析與解答：當(dāng)θ＝120°時(shí)，三繩的拉力互成120°角，三力大小相等，當(dāng)θ＜120°時(shí)，F(xiàn)AO＞FBO＝FCO，此時(shí)AO繩先斷，故答案為C。 經(jīng)典例題如圖所示，輕繩AC與天花板夾角α=300，輕繩BC與天花板夾角β=600.設(shè)AC、BC繩能承受的最大拉力均不能超過(guò)100N，CD繩強(qiáng)度足夠大，求CD繩下端懸掛的物重G不能超過(guò)多少？ 分析與解答：如圖所示，以結(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，由共點(diǎn)力的平衡條件有 300 G 600 A B C FA y x FC FB 又G = FC 所以 由題意知，當(dāng)

5、FB=100N時(shí)，物重G有最大值Gmax 聯(lián)立解得(或115N) 變式1如圖所示，質(zhì)量為m的物體靠在粗糙的豎直墻上，物體與墻之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，若要使物體沿著墻勻速運(yùn)動(dòng)，則與水平方向成α角的外力F的大小如何？ 分析與解答：當(dāng)物體沿墻勻速下滑時(shí)，受力如圖（a）所示，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由平衡條件得 F1sinα＋Ff1＝mg FN1＝F1cosα 又有Ff1＝μFN1 解得F1＝圖（a）圖（b） 當(dāng)物體勻速上滑時(shí)，受力如圖（b）所示，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由平衡條件得 F2sinα＝Ff2＋mg

6、 FN2＝F2cosα 又有Ff2＝μFN2 解得F2＝ 變式2質(zhì)量為的物體置于動(dòng)摩擦因數(shù)為的水平面上，現(xiàn)對(duì)它施加一個(gè)拉力，使它做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，問(wèn)拉力與水平方向成多大夾角時(shí)這個(gè)力最小？ 分析與解答：取物體為研究對(duì)象，物體受到重力，地面的支持力N，摩擦力及拉力T四個(gè)力作用，如圖1-1所示。由于物體在水平面上滑動(dòng)，則，將和N合成，得到合力F， 由圖知F與的夾角： 不管拉力T方向如何變化，F(xiàn)與水平方向的夾角不變，即F為一個(gè)方向不發(fā)生改變的變力。這顯然屬于三力平衡中的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題，由前面討論知，當(dāng)T與F互相垂直時(shí)，T

7、有最小值，即當(dāng)拉力與水平方向的夾角時(shí)，使物體做勻速運(yùn)動(dòng)的拉力T最小。 變式3如圖所示，AB、BC、CD、和DE為質(zhì)量可忽略的等長(zhǎng)細(xì)線(xiàn)，長(zhǎng)度均為5米，A、E端懸掛在水平天花板上，AE=14米，B、D是質(zhì)量均為m0=7千克的相同小球.質(zhì)量為m的重物掛于C點(diǎn)，平衡時(shí)C點(diǎn)離天花板的垂直距離為7米.試求重物質(zhì)量m. 分析與解答：如圖所示，設(shè)BH=x，HC=y 則由幾何關(guān)系得 解得x=4，y=3（因α<450，所以另解x=3，y=4舍去） 則， 取B球?yàn)檠芯繉?duì)象，由共點(diǎn)力的平衡條件得 解得 再取重物為研究對(duì)象，由共點(diǎn)力的平衡條件得 解得kg 變式4如圖所示，質(zhì)量

8、為m的物體放在傾角為θ的斜面上，它與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，今對(duì)物體施加沿斜面向上的拉力作用，物體恰好能勻速上滑，求此拉力的大小？ 分析與解答：物體在勻速運(yùn)動(dòng)中受四個(gè)力的作用，在用正交分解法建立坐標(biāo)系時(shí)有兩種思路：一種是把平行斜面方向和垂直斜面方向分別定為x、y軸，如圖所示，有： 小錦囊 比較上述兩種解題思路可以看出，用正交分解法解靜力學(xué)問(wèn)題，無(wú)論坐標(biāo)系怎么建立，都能得到同樣的答案，但坐標(biāo)系建立得恰當(dāng)有利于簡(jiǎn)化解題步驟。 解得： 另一種思路是 把水平方向和豎直方向分別定為x軸、y軸，如圖所示，有： 解得： 經(jīng)典例題光滑半球面上的小球（可是為質(zhì)點(diǎn)）被一通過(guò)定滑

9、輪的力F由底端緩慢拉到頂端的過(guò)程中（如圖所示），試分析繩的拉力F及半球面對(duì)小球的支持力FN的變化情況。 分析與解答：如圖所示，作出小球的受力示意圖，注意彈力FN總與球面垂直，從圖中可得到相似三角形。 設(shè)球面半徑為R，定滑輪到球面的距離為h，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，據(jù)三角形相似得： 　　 　　由上兩式得： 　　繩中張力： 　　 　　小球的支持力： 　　 　　又因?yàn)槔瓌?dòng)過(guò)程中，h不變，R不變，L變小，所以F變小，F(xiàn)N不變。 變式1已知如圖，帶電小球A、B的電荷分別為QA、QB，OA=OB，都用長(zhǎng)L的絲線(xiàn)懸掛在O點(diǎn)。靜止時(shí)A、B相距為d。為使平衡時(shí)AB間距離減為d/2，可采用以下哪些方法 O

10、 A B mBg F N L d A．將小球A、B的質(zhì)量都增加到原來(lái)的2倍 B．將小球B的質(zhì)量增加到原來(lái)的8倍 C．將小球A、B的電荷量都減小到原來(lái)的一半 D．將小球A、B的電荷量都減小到原來(lái)的一半，同時(shí)將小球B的質(zhì)量增加到原來(lái)的2倍 分析與解答：由B的共點(diǎn)力平衡圖知，而，可知，答案為BD 變式2如圖所示，一個(gè)重力為的小環(huán)套在豎直的半徑為的光滑大圓環(huán)上，一勁度系數(shù)為k，自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L<2r）彈簧的一端固定在小環(huán)上，另一端固定在大圓環(huán)的最高點(diǎn)A。當(dāng)小環(huán)靜止時(shí)，略去彈簧的自重和小環(huán)與大圓環(huán)間的摩擦。求彈簧與豎直方向之間的夾角 分析與解答：若物體在三個(gè)力F1、F2、F3

11、作用下處于平衡狀態(tài)，這三個(gè)力必組成首尾相連的三角形F1、F2、F3，題述中恰有三角形AO與它相似，則必有對(duì)應(yīng)邊成比例。 變式4一個(gè)質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體，放在臺(tái)階的旁邊，臺(tái)階的高度A是圓柱半徑r的一半，如圖所示，柱體與臺(tái)階接觸處是粗糙的?，F(xiàn)在圖中柱體的最上方A處施一最小的力，使柱體剛好能開(kāi)始以P為軸向臺(tái)階上滾，求： ⑴ 所加力的大小。 ⑵臺(tái)階對(duì)柱體作用力的大小。 分析與解答：先將圓柱的重力順AP與垂直AP方向分解，得到帶斜線(xiàn)的力三角形，再作輔助線(xiàn)BP、AB，又得幾何，與力三角形相似，有： 小錦囊 研究物理平衡問(wèn)題時(shí)，遇上物體受三力作用而平衡，且三力成一定的夾角時(shí)，一

12、般可以化三力平衡為二力平衡，其中涉及到力的三角形。如果能找出一個(gè)幾何意義的三角形與這個(gè)具有物理意義的三角形相似時(shí)，可以快速利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的規(guī)律建立比例關(guān)系式。可以避免采用正交分解法解平衡問(wèn)題時(shí)對(duì)角度（力的方向）的要求． ， 解得：， 經(jīng)典例題如下圖（a）所示，m在三根細(xì)繩懸吊下處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)用手持繩OB的B端，使OB緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)，且始終保持結(jié)點(diǎn)O的位置不動(dòng)，分析AO、BO兩繩中的拉力如何變化． 分析與解答：由于 O點(diǎn)始終不動(dòng)故物體始終處于平衡狀態(tài)，OC對(duì)O的拉力不變且OA中拉力的方向不變，由平衡條件的推論可知繩AO的拉力 F1、繩O

13、B的拉力F2的合力 F’的大小和方向不變?，F(xiàn)假設(shè)OB轉(zhuǎn)至圖（b）中F2’位置，用平行四邊形定則可以畫(huà)出這種情況下的平行四邊形，依此即可看出，在OB上轉(zhuǎn)的過(guò)程中，OA中的拉力F1變小，而OB中的拉力F2是先變小后變大。 變式1重G的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間。若擋板逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)到水平位置，在該過(guò)程中，斜面和擋板對(duì)小球的彈力的大小F1、F2各如何變化？ F1 F2 G 小錦囊 動(dòng)態(tài)平衡中各力的變化情況是一種常見(jiàn)類(lèi)型，總結(jié)其特點(diǎn)有：①合力大小和方向不變；②一個(gè)分力的方向不變，分析另一個(gè)分力方向變化時(shí)兩個(gè)分力的大小的變化情況。用圖解法具有簡(jiǎn)單、直觀(guān)的優(yōu)點(diǎn) 分析與解答：由于擋板是

14、緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)的，可以認(rèn)為每個(gè)時(shí)刻小球都處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此所受合力為零。應(yīng)用三角形定則，G、F1、F2三個(gè)矢量應(yīng)組成封閉三角形，其中G的大小、方向始終保持不變；F1的方向不變；F2的起點(diǎn)在G的終點(diǎn)處，而終點(diǎn)必須在F1所在的直線(xiàn)上，由作圖可知，擋板逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°過(guò)程，F(xiàn)2矢量也逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，因此F1逐漸變小，F(xiàn)2先變小后變大。（當(dāng)F2⊥F1，即擋板與斜面垂直時(shí)，F(xiàn)2最小） 1 2 3 經(jīng)典例題三根不可伸長(zhǎng)的相同的輕繩，一端系在半徑為r0的環(huán)1上，彼此間距相等，繩穿過(guò)半徑為r0的第2個(gè)圓環(huán)，另一端同樣地系在半徑為2r0的環(huán)3上，如圖所示，環(huán)1固定在水平面上，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).試求第

15、2個(gè)環(huán)中心與第3個(gè)環(huán)中心之間的距離.(三個(gè)環(huán)都是用相同的金屬絲制作的，摩擦不計(jì)) 分析與解答：過(guò)中心作一截面圖，如圖所示，由于對(duì)稱(chēng)，每根繩上張力相同，設(shè)為F.設(shè)環(huán)2的質(zhì)量為m，則環(huán)3的質(zhì)量為2m. 對(duì)環(huán)2和3整體有:3F = mg + 2mg θ 2 3 r0 d F 對(duì)環(huán)3有:3Fsinθ= 2mg 由以上兩式得: 即，所以. 變式1半圓柱體P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的豎直擋板MN。在P和MN之間放有一個(gè)光滑均勻的小圓柱體Q，整個(gè)裝置處于靜止。右圖所示是這個(gè)裝置的縱截面圖。若用外力使MN保持豎直，緩慢地向右移動(dòng)，在Q落到地面以前，發(fā)現(xiàn)P始終保持靜止。在此

16、過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是 P M Q N A．MN對(duì)Q的彈力逐漸減小 B．地面對(duì)P的摩擦力逐漸增大 C．P、Q間的彈力先減小后增大 D．Q所受的合力逐漸增大 分析與解答：整體為對(duì)象MN對(duì)Q的彈力和地面對(duì)P的摩擦力是一對(duì)平衡力，以Q為對(duì)象畫(huà)受力分析圖，可知MN右移時(shí)MN對(duì)Q的彈力和P、Q間的彈力都是增大的；Q始終處于靜止，因此合力始終為零。答案為B 小錦囊 若研究對(duì)象由多個(gè)物體組成，首先考慮運(yùn)用整體法，這樣受力情況比較簡(jiǎn)單，但整體法并不能求出系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力，故此時(shí)需要使用隔離法，所以整體法和隔離法常常交替使用 變式2有一個(gè)直角支架AOB，AO水平放置，表面

17、粗糙， OB豎直向下，表面光滑。AO上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，兩環(huán)質(zhì)量均為m，兩環(huán)由一根質(zhì)量可忽略、不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩相連，并在某一位置平衡（如圖所示）?，F(xiàn)將P環(huán)向左移一小段距離，兩環(huán)再次達(dá)到平衡，那么將移動(dòng)后的平衡狀態(tài)和原來(lái)的平衡狀態(tài)比較，AO桿對(duì)P環(huán)的支持力FN和摩擦力f的變化情況是 mg F N α O A B P Q A．FN不變，f變大 B．FN不變，f變小 C．FN變大，f變大 D．FN變大，f變小 分析與解答：以?xún)森h(huán)和細(xì)繩整體為對(duì)象求FN，可知豎直方向上始終二力平衡，F(xiàn)N=2mg不變；以Q環(huán)為對(duì)象，在重力、細(xì)繩拉力F和OB壓力N作用下平衡，設(shè)細(xì)繩和豎

18、直方向的夾角為α，則P環(huán)向左移的過(guò)程中α將減小，N=mgtanα也將減小。再以整體為對(duì)象，水平方向只有OB對(duì)Q的壓力N和OA 對(duì)P環(huán)的摩擦力f作用，因此f=N也減小。答案為B。 變式3重G的均勻繩兩端懸于水平天花板上的A、B兩點(diǎn)。靜止時(shí)繩兩端的切線(xiàn)方向與天花板成α角。求繩的A端所受拉力F1和繩中點(diǎn)C處的張力F2。 分析與解答：以AC段繩為研究對(duì)象，根據(jù)判定定理，雖然AC所受的三個(gè)力分別作用在不同的點(diǎn)（如圖中的A、C、P點(diǎn)），但它們必為共點(diǎn)力。設(shè)它們延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)為O，用平行四邊形定則作圖可得： 經(jīng)典例題如圖所示，AB桿重力不計(jì)，長(zhǎng)為20 cm，A端用鐵鏈與墻相連，桿可繞A自由轉(zhuǎn)

19、動(dòng)，另一端掛重10 N的物體P，繩長(zhǎng)l=8 cm，系于墻與桿之間，桿AB保持水平，欲使拉力最小，角應(yīng)多大？ 分析與解答：重物P對(duì)AB桿B端拉力，對(duì)A點(diǎn)力臂為AB，其力矩為： 繩拉力分解為平行桿和豎直桿方向的兩個(gè)分力 垂直AB桿的分力對(duì)A點(diǎn)的力矩為 根據(jù)力矩平衡條件，則有： 即 解得： 當(dāng)時(shí)，取最小值，其最小值為： F F G G v v F合 經(jīng)典例題一航天探測(cè)器完成對(duì)月球的探測(cè)任務(wù)后，在離開(kāi)月球的過(guò)程中，由靜止開(kāi)始沿著與月球表面成一傾斜角的直線(xiàn)飛行，先加速運(yùn)動(dòng)，再勻速運(yùn)動(dòng)。探測(cè)器通過(guò)噴氣而獲得推動(dòng)力。以下關(guān)于噴氣方向的描述中正確的是 A．探測(cè)器

20、加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿直線(xiàn)向后噴氣 B．探測(cè)器加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直向下噴氣 C．探測(cè)器勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直向下噴氣 D．探測(cè)器勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，不需要噴氣 分析與解答：探測(cè)器沿直線(xiàn)加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受合力F合方向與運(yùn)動(dòng)方向相同，而重力方向豎直向下，由平行四邊形定則知推力方向必須斜向上方，因此噴氣方向斜向下方。勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受合力為零，因此推力方向必須豎直向上，噴氣方向豎直向下。答案為C 變式1測(cè)定患者的血沉，在醫(yī)學(xué)上有助于醫(yī)生對(duì)病情作出判斷。設(shè)血液是由紅血球和血漿組成的懸浮液，將此懸浮液放進(jìn)豎直放置的血沉管內(nèi)，紅血球便會(huì)在血漿中勻速下沉，其下沉速率稱(chēng)為血沉。某人的血沉v的值大約是10mm/h，如果把紅血球近似

21、為半徑為R的小球，且認(rèn)為它在血漿中下沉?xí)r所受的粘滯阻力為f=6πRηv。在室溫下，η≈1.8×10-3Pa·s，已知血漿的密度ρ0≈1.0×103㎏/m3，紅血球的密度ρ≈1.3×103㎏/m3。試由以上數(shù)據(jù)估算紅血球半徑的大小。（結(jié)果保留一位有效數(shù)字） 分析與解答：血液是由紅血球和血漿組成的懸浮液，紅血球會(huì)在血漿中勻速下沉，可以把紅血球近似為半徑R的小球，它在血漿中下沉?xí)r所受的粘滯阻力為f=6πRηv，由以上幾個(gè)信可得出受力圖，如圖。此時(shí)紅血球在血漿中勻速下沉，取紅血球?yàn)檠芯繉?duì)象。因?yàn)閯蛩傧鲁羷t∑F=0，即mg=F+f ρvg=ρ0vg+6πRηv 即(ρ－ρ0)4/3πR3g=6

22、πRηv 代入數(shù)據(jù)，解之得R=2.73×10-6m≈3×10-6 m 變式22003年10月15日9時(shí)，在太空遨游21小時(shí)的“神舟”五號(hào)飛船返回艙按預(yù)定計(jì)劃，載著宇航員楊利偉安全降落在內(nèi)蒙古四子王旗地區(qū)．“神舟”五號(hào)飛船在返回時(shí)先要進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，然后返回艙以近8 km/s的速度進(jìn)入大氣層，當(dāng)返回艙距地面30 km時(shí)，返回艙上的回收發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)，相繼完成拉出天線(xiàn)、拋掉底蓋等動(dòng)物．在飛船返回艙運(yùn)動(dòng)到距地面20 km以下的高度后，速度減為200 m/s而勻速下降，此段過(guò)程中返回艙所受空氣阻力為f =，式中為大氣的密度，v是返回艙的運(yùn)動(dòng)速度，S為與形狀特征有關(guān)的阻力面積，當(dāng)返回艙距地面高度為10

23、km時(shí)打開(kāi)面積為1 200 m2的降落傘，直到速度達(dá)到8 m/s后勻速下落．為實(shí)現(xiàn)軟著陸（即著陸時(shí)返回艙的速度為0），當(dāng)返回艙離地面1.2 m時(shí)反沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，使反回艙落地的速度減為零，返回艙此時(shí)的質(zhì)量為2.7 × 103 kg，取g = 10 m/s2． （1）用字母表示出返回艙在速度為200 m/s時(shí)的質(zhì)量； （2）分析從打開(kāi)降落傘到反沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火前，返回艙的加速度和速度的變化情況； （3）求反沖發(fā)動(dòng)機(jī)的平均反推力的大小及反沖發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)返回艙做的功． 分析與解答：（1）當(dāng)返回艙在速度為20 m/s時(shí)，受到的重力和阻力平衡而勻速下落，由牛頓第二定律mg – f = 0，根據(jù)已知條件得m

24、g –= 0，m = （2）在打開(kāi)降落傘到反沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火前，返回艙的加速度先增大而后減小，加速度方向向上，返回艙的速度不斷減少，直到速度減小到8 m/s后勻速下落． （3）反沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作后，使返回艙的速度由8 m/s減小為0，返回艙受重力和平均反沖力F作用做減速運(yùn)動(dòng)的位移為h = 1.2 m，根據(jù)動(dòng)能定理，（mg – F）h = 0 –mv2，F(xiàn) = 9.9 × 104 N反沖發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)返回艙做的功W = Fh = 1.2 × 105 J． 變式3在廣場(chǎng)游玩時(shí)，一個(gè)小孩將一充有氫氣的氣球用細(xì)繩系于一個(gè)小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上．已知小石塊的質(zhì)量為m1，氣球（含球內(nèi)氫氣）的質(zhì)量為m

25、2，氣球體積為V，空氣密度為（V和均視作不變量），風(fēng)沿水平方向吹，風(fēng)速為v．已知風(fēng)對(duì)氣球的作用力（式中k為一已知系數(shù)，u為氣球相對(duì)空氣的速度）．開(kāi)始時(shí)，小石塊靜止在地面上，如圖所示． （1）若風(fēng)速v在逐漸增大，小孩擔(dān)心氣球會(huì)連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會(huì)出現(xiàn)這一情況，并說(shuō)明理由． （2）若細(xì)繩突然斷開(kāi)，已知?dú)馇蝻w上天空后，在氣球所經(jīng)過(guò)的空間中的風(fēng)速v保持不變量，求氣球能達(dá)到的最大速度的大?。? 分析與解答：（1）將氣球和小石塊作為一個(gè)整體：在豎直方向上，氣球（包括小石塊）受到重力G、浮力F和地面支持力N的作用，據(jù)平衡條件有　N=（m1＋m2）g－式中N是與風(fēng)速v無(wú)關(guān)的恒力，故氣球會(huì)

26、連同小石塊不會(huì)一起被吹離地面． （2）氣球的運(yùn)動(dòng)可分解成水平方向和豎直方向的兩分運(yùn)動(dòng)，達(dá)最大速度時(shí)氣球在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，有　氣球在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，有 氣球的最大速度　 聯(lián)立求解得　　　 變式4當(dāng)物體從高空下落時(shí)，空氣阻力會(huì)隨物體的速度增大而增大，因此經(jīng)過(guò)下落一段距離后將勻速下落，這個(gè)速度稱(chēng)為此物體下落的終極速度。研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條件下，球形物體的終極速度僅與球的半徑和質(zhì)量有關(guān)。下表是某次研究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)： 小球編號(hào) A B C D E 小球的半徑（×10-3m） 0.5 0.5 1.5 2 2.5 小球的質(zhì)量（×10-6kg） 2 5 45

27、40 100 小球的終極速度（m/s） 16 40 40 20 32 (1) 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出B球與C球在達(dá)到終極速度時(shí)所受的空氣阻力之比。 (2) 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，歸納出球型物體所受的空氣阻力f與球的速度及球的半徑的關(guān)系，寫(xiě)出表達(dá)式及比例系數(shù)。 (3)現(xiàn)將C號(hào)和D號(hào)小球用輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)連接，若它們?cè)谙侣鋾r(shí)所受的空氣阻力與單獨(dú)下落時(shí)的規(guī)律相同。讓它們同時(shí)從足夠高處下落，請(qǐng)求出它們的終極速度；并判斷它們落地的順序（不需要寫(xiě)出判斷理由）。 分析與解答： (1) 球在達(dá)到終極速度時(shí)為平衡狀態(tài)。 f = mg fB : fC = mB : mC=1:9

28、（2）由A、B球數(shù)據(jù)可得，阻力與速度成正比，由B、C球數(shù)據(jù)可得，阻力與球的半徑 的平方成正比，得f = kvr2 k = 4.9Ns/m3 （3）mCg + mDg = fC + fD = kv(rC2 + rD2) 代入得 v=27.2m/s C球先落地 經(jīng)典例題如圖所示，一質(zhì)量為m、電量為+q的帶電小球以與水平方向成某一角度θ的初速度v0射入水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，小球恰能在電場(chǎng)中做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．若電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小不變，方向改為相反同時(shí)加一垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，小球仍以原來(lái)的初速度重新射入，小球恰好又能做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和初速度與水平方

29、向的夾角θ。 分析與解答：在沒(méi)有磁場(chǎng)，只有電場(chǎng)時(shí)，設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)方向與水平方向的夾角為θ受力情況如圖甲所示． mg θ V0 qE qvB 乙 θ mg θ θ 甲 V0 qE θ V0 E 根據(jù)已知得： 在既有磁場(chǎng)又有電場(chǎng)時(shí)，E不變，受力情況如圖乙，由幾何知識(shí)得θ＝450 小球仍做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，有： 解得：B＝ E＝ 變式1兩個(gè)正點(diǎn)電荷Q1=Q和Q2=4Q分別置于固定在光滑絕緣水平面上的A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)相距L，且A、B兩點(diǎn)正好位于水平光滑絕緣半圓細(xì)管的兩個(gè)端點(diǎn)出口處，如圖所示。（1）現(xiàn)將另一正點(diǎn)電荷置于A(yíng)、

30、B連線(xiàn)上靠近A處?kù)o止釋放，它在A(yíng)B連線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能達(dá)到最大速度的位置離A點(diǎn)的距離。 （2）若把該點(diǎn)電荷放于絕緣管內(nèi)靠近A點(diǎn)處由靜止釋放，試確定它在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度為最大值時(shí)的位置P。即求出圖中PA和AB連線(xiàn)的夾角θ。 （3）Q1、Q2兩點(diǎn)電荷在半圓弧上電勢(shì)最低點(diǎn)的位置P/是否和P共點(diǎn)，請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由。 分析與解答：（1）正點(diǎn)電荷在A(yíng)、B連線(xiàn)上速度最大處對(duì)應(yīng)該電荷所受合力為零，即 即 得x= （2）點(diǎn)電荷在P點(diǎn)處如其所受庫(kù)侖力的合力沿OP方向，則它在P點(diǎn)處速度最大，即此時(shí)滿(mǎn)足 tanθ= 即得θ=arctan （3）P/點(diǎn)即為P點(diǎn)。因?yàn)檎c(diǎn)電荷從A點(diǎn)沿管道運(yùn)動(dòng)至P

31、的過(guò)程中，電場(chǎng)力做正功，它的電勢(shì)能減小，而從P運(yùn)動(dòng)至B過(guò)程中，克服電場(chǎng)力做功，它的電勢(shì)能將增大，因此該正點(diǎn)電荷在P處電勢(shì)能最小，相應(yīng)P點(diǎn)處的電勢(shì)最低。 a b B E 經(jīng)典例題如圖所示，在空間存在水平向里，場(chǎng)強(qiáng)為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在某點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)帶負(fù)電的液滴a ,它運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)處，恰與一個(gè)原來(lái)處于靜止的帶正電的液滴b相撞，撞后兩液滴合為一體，沿水平方向做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知液滴a的質(zhì)量是液滴b質(zhì)量的2倍；液滴a 所帶電量是液滴b所帶電量的4倍。求兩液滴初始位置之間的高度差h。（a、b之間的靜電力忽略） 分析與解答：碰撞前a做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力和

32、重力做功，獲得速度v，a、b碰撞動(dòng)量守恒，碰后合液滴豎直方向合力為零，沿水平方向勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。 設(shè)a電量為4q，質(zhì)量為2m, b電量為q，質(zhì)量為m 碰前對(duì)a由動(dòng)能定理 對(duì)b碰前有：qE=mg a、b碰撞，動(dòng)量守恒 碰后合液滴水平直線(xiàn)，力平衡，總電量3q，質(zhì)量3m 聯(lián)立得 變式1在同時(shí)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的空間中取正交坐標(biāo)系oxyz (z軸正方向豎直向上)．如圖所示．已知電場(chǎng)方向沿z軸正方向，場(chǎng)強(qiáng)大小為E；磁場(chǎng)方向沿y軸正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B；重力加速度為g．問(wèn)：一質(zhì)量為m，帶電量為+q的從原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)能否在坐標(biāo)軸(x、y、z)上以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)？若能，m、q、

33、E、B、v及g應(yīng)滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系？若不能，說(shuō)明理由． 分析與解答：已知帶電質(zhì)點(diǎn)受到的電場(chǎng)力為qE，方向沿z軸正方向，質(zhì)點(diǎn)受到的重力為mg，沿z軸負(fù)方向． 假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x軸上做勻速運(yùn)動(dòng)，則它們所受洛侖茲力必沿z軸正方向(當(dāng)v沿x軸正方向)或沿z軸負(fù)方向(當(dāng)v沿x軸負(fù)方向)，要質(zhì)點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)必分別有： qvB+qE=mg 或qE=qBv+mg 假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在y軸上做勻速運(yùn)動(dòng)，則無(wú)論沿y軸正方向還是負(fù)方向，洛侖茲力都為零，要質(zhì)點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)必有：qE=mg 假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在z軸上做勻速運(yùn)動(dòng)，則它受的洛侖茲力必平行于x軸，而電場(chǎng)力和重力都平行于z軸，二力的合力不可能為零，與假設(shè)矛盾，故質(zhì)點(diǎn)不可能在

34、z軸上做勻速運(yùn)動(dòng). 變式2磁流體發(fā)電是一種新型發(fā)電方式，圖1和圖2是其工作原理示意圖。圖1中的長(zhǎng)方體是發(fā)電導(dǎo)管，其中空部分的長(zhǎng)、高、寬分別為、、，前后兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，上下兩個(gè)側(cè)面是電阻可略的導(dǎo)體電極，這兩個(gè)電極與負(fù)載電阻相連。整個(gè)發(fā)電導(dǎo)管處于圖2中磁場(chǎng)線(xiàn)圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)有電阻率為的高溫、高速電離氣體沿導(dǎo)管向右流動(dòng)，并通過(guò)專(zhuān)用管道導(dǎo)出。由于運(yùn)動(dòng)的電離氣體受到磁場(chǎng)作用，產(chǎn)生了電動(dòng)勢(shì)。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速隨磁場(chǎng)有無(wú)而不同。設(shè)發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速處處相同，且不存在磁場(chǎng)時(shí)電離氣體流速為，電離氣體所受摩擦阻力總與流速成正比，發(fā)電導(dǎo)管兩端的電離氣體壓強(qiáng)差

35、維持恒定，求： （1）不存在磁場(chǎng)時(shí)電離氣體所受的摩擦阻力F多大； （2）磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)E的大??； （3）磁流體發(fā)電機(jī)發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率P。 分析與解答：（1）不存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得 （2）設(shè)磁場(chǎng)存在時(shí)的氣體流速為，則磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì) 回路中的電流 電流I受到的安培力 設(shè)為存在磁場(chǎng)時(shí)的摩擦阻力，依題意 存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得 根據(jù)上述各式解得 （3）磁流體發(fā)電機(jī)發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率 由能量守恒定律得故 F a b θ B 經(jīng)典例題如圖所示，傾角θ=30o、寬度L=1m的足夠長(zhǎng)的“U”形平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在磁感應(yīng)強(qiáng)度B =1T，范圍充分大

36、的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向下。用平行于軌道的牽引力拉一根質(zhì)量m =0.2㎏、電阻R =1Ω放在導(dǎo)軌上的金屬棒a b，使之由靜止沿軌道向上移動(dòng)，牽引力做功的功率恒為6W，當(dāng)金屬棒移動(dòng)2.8m時(shí)，獲得穩(wěn)定速度，在此過(guò)程中金屬棒產(chǎn)生的熱量為5.8J，不計(jì)導(dǎo)軌電阻及一切摩擦，取g=10m/s2。求： （1）金屬棒達(dá)到穩(wěn)定時(shí)速度是多大？ （2）金屬棒從靜止達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)所需的時(shí)間多長(zhǎng)？ 分析與解答：（1）金屬棒沿斜面上升達(dá)穩(wěn)定速度時(shí)，設(shè)所受的安培力為F安，由平衡條件得： F=mgsinθ+F安 而F安=BIL=B L 又 聯(lián)立以上三式解得v=2m/s

37、 （2）由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可得Pt = mgssinθ++Q 代入數(shù)據(jù)解得：t =1.5s 變式1如圖所示，兩根完全相同的“V”字形導(dǎo)軌OPQ與KMN倒放在絕緣水平面上，兩導(dǎo)軌都在豎直平面內(nèi)且正對(duì)、平行放置，其間距為L(zhǎng)，電阻不計(jì)。兩條導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，所形成的兩個(gè)斜面與水平面的夾角都是α．兩個(gè)金屬棒ab和a'b'的質(zhì)量都是m，電阻都是R，與導(dǎo)軌垂直放置且接觸良好．空間有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B． (1)如果兩條導(dǎo)軌皆光滑，讓a'b'固定不動(dòng)，將ab釋放，則ab達(dá)到的最大速度是多少? (2)如果將ab與a'b'同時(shí)

38、釋放，它們所能達(dá)到的最大速度分別是多少? 分析與解答： (1)ab運(yùn)動(dòng)后切割磁感線(xiàn)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，而后受到安培力，當(dāng)受力平衡時(shí)，加速度為0，速度達(dá)到最大，受力情況如圖所示．則： mgsinα=F安cosα 又F安＝BIL I＝E感/2R E感＝BLvmcosα 聯(lián)立上式解得 (2)若將ab、a'b'同時(shí)釋放，因兩邊情況相同，所以達(dá)到的最大速度大小相等，這時(shí)ab、a'b'都產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)而且是串聯(lián)． ∴mgsinα＝F安‘cosα F安‘＝BI‘L ∴ 變式2如圖所示，金屬桿ａｂ、ｃｄ置于平行軌道MN、PQ上，可沿軌道滑動(dòng)，兩軌道間距離為L(zhǎng)＝0.5ｍ，軌

39、道所在空間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)與軌道平面相互垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.5T，用力F＝0.25N向右水平拉桿ａｂ，若ａｂ、ｃｄ與軌道間的滑動(dòng)摩擦力為f1＝0.15N、f2＝0.1N，兩桿的電阻分別為R1＝R2＝0.1W。求： （1）兩桿之間的穩(wěn)定速度差，設(shè)軌道電阻不計(jì)，ａｂ、ｃｄ的質(zhì)量關(guān)系為2ｍ1＝3ｍ2 （2）若F＝0.3N，兩桿間穩(wěn)定速度差又是多少？　　 分析與解答：由F＞f1，故棒ab由靜止開(kāi)始作勻加速運(yùn)動(dòng)，棒ab中將出現(xiàn)不斷變大的感應(yīng)電流，致使cd也會(huì)受到安培力F2作用. 當(dāng)F2＞f2時(shí)，cd棒也開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，故cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的條件是 F－f1－f2＞0. (1)當(dāng)F= 0.25N時(shí)，F(xiàn)－f1－

40、f2＝0.故cd棒保持靜止，兩桿的穩(wěn)定速度差等于ab棒的最終穩(wěn)定速度v1max，故此種情況有 Im＝＝，F(xiàn)m＝BIml，F(xiàn)－Fm－f1＝0，得v1max = 0.32m/s. (2)當(dāng)F＝0.3N時(shí)，有 I＝，F(xiàn)1＝F2＝BIl，F(xiàn)－f1－F1＝m1a1， F2－f2＝m2a2，a1＝a2 得 v1－v2＝＝0.38m/s. 變式3如圖所示，有兩根足夠長(zhǎng)、不計(jì)電阻，相距L的平行光滑金屬導(dǎo)軌cd、ef與水平面成θ角固定放置，底端連一電阻R，在軌道平面內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直軌道平面斜向上.現(xiàn)有一平行于ce、垂直于導(dǎo)軌、質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬桿ab，在沿軌道平面向上的恒

41、定拉力F作用下，從底端ce由靜止沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ab桿速度達(dá)到穩(wěn)定后，撤去拉力F，最后ab桿又沿軌道勻速回到ce端.已知ab桿向上和向下運(yùn)動(dòng)的最大速度相等.求:拉力F和桿ab最后回到ce端的速度v. 分析與解答：解:當(dāng)ab桿沿導(dǎo)軌上滑達(dá)到最大速度v時(shí)，其受力如圖所示: θ ╯ FB F FN mg v θ a F b B R c d e f 由平衡條件可知: F-FB-mgsinθ=0 又FB=BIL 而 聯(lián)立得: 同理可得，下滑過(guò)程中: 解得: 變式4如圖所示，

42、處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的兩根足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌相距l(xiāng)m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=37°角，下端連接阻值為R的電阻．勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直．質(zhì)量為0.2kg、電阻不計(jì)的金屬棒放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25。求： (1)求金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止開(kāi)始下滑時(shí)的加速度大?。? (2)當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電阻R消耗的功率為8W，求該速度的大??； (3)在上問(wèn)中，若R＝2Ω，金屬棒中的電流方向由a到b，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向． (g=10rn／s2，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8) 分析與解答： (1)金屬棒開(kāi)始下滑的初速為零，根據(jù)牛

43、頓第二定律： mgsinθ－μmgcosθ＝ma 得a＝10×(O.6－0.25×0.8)m／s2=4m／s2 (2)設(shè)金屬棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，速度為v，所受安培力為F，棒在沿導(dǎo)軌方向受力平衡 mgsinθ一μmgcos0一F＝0 　 此時(shí)金屬棒克服安培力做功的功率等于電路中電阻R消耗的電功率：Fv＝P 　　 解得 (3)設(shè)電路中電流為I，兩導(dǎo)軌間金屬棒的長(zhǎng)為l，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B P＝I2R 解得磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌平面向上 解決平衡問(wèn)題的基本方法： （1）弄請(qǐng)平衡狀態(tài)（加速度為零） （2）巧選研究對(duì)象（整體法和隔離法） （3）作好受力分析（規(guī)范畫(huà)好受力圖） （4）建立平衡方程 （5）求解、討論 21