2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積學(xué)案 北師大版

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1、 第2節(jié)　簡單幾何體的表面積與體積 最新考綱　了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式. 知 識(shí) 梳 理 1.多面體的表(側(cè))面積 多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和. 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面 展開 圖 側(cè)面 積公 式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l 3.簡單幾何體的表面積與體積公式 　　名稱 幾何體　　　　 表面積 體積 柱　體 (棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝S

2、底h 錐　體 (棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝S底h 臺(tái)　體 (棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.正方體與球的切、接常用結(jié)論 正方體的棱長為a，球的半徑為R， (1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a； (2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a； (3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. 2.長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. 3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√

3、”或“×”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積.(　　) (2)球的體積之比等于半徑比的平方.(　　) (3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.(　　) (4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝a.(　　) 解析　(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確. (2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材練習(xí)改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 解析　由題意，得

4、S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm). 答案　B 3.(2016·全國Ⅱ卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A.12π B.π C.8π D.4π 解析　設(shè)正方體的棱長為a，則a3＝8，解得a＝2.設(shè)球的半徑為R，則2R＝a，即R＝.所以球的表面積S＝4πR2＝12π. 答案　A 4.(2017·全國Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A.π B. C. D. 解析　如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.

5、球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝. ∴底面圓半徑r＝＝，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝. 答案　B 5.(2018·西安質(zhì)檢)已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3. 解析　根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m. 故該四棱錐的體積V＝×2×1×3＝2 (m3). 答案　2 考點(diǎn)一　簡單幾何體的表面積 【例1】 (1)(2016·全國Ⅱ卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A.20π

6、 B.24π C.28π D.32π (2)(2017·全國Ⅰ卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2， 俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A.10 B.12 C.14 D.16 解析　(1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h. 由三視圖知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4. 所以l＝＝4. 故該幾何體的表面積S表＝ πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. (2)由三視圖可畫出直觀

7、圖，該直觀圖各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面，S梯＝×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12. 答案　(1)C　(2)B 規(guī)律方法　1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式. 2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. (2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用. 【訓(xùn)練1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于(　　) A.8＋2 B.11＋2 C.14＋2 D.15 (2)(2016·全國Ⅰ卷)如圖

8、，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π 解析　(1)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示. 直角梯形斜腰長為＝，所以底面周長為4＋，側(cè)面積為2×(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3. 所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. (2)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個(gè)球(被過球心O且互相垂直的三個(gè)平面)切掉球所剩的組合體， 其表面積是球面面積的和三個(gè)圓面積. 設(shè)球的半徑為R，則×πR3

9、＝，R＝2. 故幾何體的表面積S＝×4πR2＋πR2＝17π. 答案　(1)B　(2)A 考點(diǎn)二　簡單幾何體的體積 【例2】 (1)如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為(　　) A.3 B. C.1 D. (2)(2016·山東卷)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為(　　) A.＋π B.＋π C.＋π D.1＋π 解析　(1)如題圖，在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝AB＝， 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD平面

10、ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1的底面B1DC1上的高， ∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1. (2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1＋×π×＝＋π. 答案　(1)C　(2)C 規(guī)律方法　1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. 2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解. 3.若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直

11、觀圖，然后根據(jù)條件求解. 【訓(xùn)練2】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中的x的值是(　　) A.2 B. C. D.3 (2)(2018·鄭州質(zhì)檢)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的主視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________. 解析　(1)由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3. (2)由題可知，∵三棱錐每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形，由主視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h＝1， 則體積V＝Sh＝××1＝. 答案　(1)D　(2) 考點(diǎn)三　多

12、面體與球的切、接問題(典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)(2016·全國Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A.4π B. C.6π D. 解析　由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10. 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r. 則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2. 2r＝4＞3，不合題意. 球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大. 由2R＝3，即R＝. 故球的最大體積V＝πR3＝

13、π. 答案　B 【遷移探究】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積. 解　將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC－A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球. ∴體對角線BC1的長為球O的直徑. 因此2R＝＝13. 故S球＝4πR2＝169π. 規(guī)律方法　1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 2.若

14、球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題. 【訓(xùn)練3】 (1)(2017·全國Ⅰ卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9.則球O的表面積為________. (2)(2018·佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析　(1)如圖，連

15、接OA，OB，因?yàn)镾A＝AC，SB＝BC，所以O(shè)A⊥SC，OB⊥SC. 因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA平面SAC，所以O(shè)A⊥平面SBC. 設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3， 所以r3＝9?r＝3，所以球O的表面積為4πr2＝36π. (2)因?yàn)椤鰽OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐O－ABC的體積取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.從而球O的表面積S＝4πR2＝ 144π. 答案　(1)36π　(2)C 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40

16、分鐘) 一、選擇題 1.(2015·全國Ⅰ卷)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析　設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝. 所以米堆的體積為V＝×π·r2·5＝··5≈(立方尺). 故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)

17、. 答案　B 2.(2018·北京燕博園研究中心)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A.π B.2π C.3π D.8π 解析　由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐. ∴該幾何體的體積V＝3×π×12－·π×12×3＝2π. 答案　B 3. (2018·九江聯(lián)考)如右圖所示，某簡單幾何體的主視圖與左視圖相同，則此幾何體的表面積為(　　) A.6π B.π＋ C.4π D.2π＋ 解析　此幾何體為一個(gè)組合體，上為一個(gè)圓錐，下為一個(gè)半球組合而成. 表面積為S＝＋×2×2π＝4π. 答案　C 4.(2016·全國Ⅲ

18、卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A.18＋36 B.54＋18 C.90 D.81 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體. 由題意可知該幾何體底面邊長為3，高為6，所以側(cè)棱長為＝3.故該幾何體的表面積S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×3)×2＝54＋18. 答案　B 5.(2018·商丘模擬)一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示，主視圖和俯視圖都是邊長為10 cm的正方形，將該材料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近(　　) A.3 cm B.4

19、cm C.5 cm D.6 cm 解析　由題意，知該硬質(zhì)材料為三棱柱(底面為等腰直角三角形)，所以最大球的半徑等于左視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑，設(shè)為r cm，則10－r＋10－r＝10. ∴r＝10－5≈3. 答案　A 二、填空題 6.(2017·全國Ⅱ卷)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為________. 解析　∵長方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上， ∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑. 設(shè)球的半徑為R，則2R＝＝. ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×＝14π. 答案　14π 7.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為

20、4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________. 解析　設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝. 答案　 8.(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________. 解析　設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R. 又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR3， 所以＝＝. 答案　 三、解答題 9.(2016

21、·江蘇卷改編)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？ 解　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因?yàn)锳1B1＝AB＝6 m，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)； 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)， 所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3). 故倉庫

22、的容積是312 m3. 10.(2015·全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 解　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6

23、. 故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56， S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72. 因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱， 所以其體積的比值為. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.(2018·衡水中學(xué)調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.4π D. 解析　由三視圖知該幾何體為四棱錐，側(cè)面PBC為左視圖，PE⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長是2的正方形，如圖所示. 設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h， 則h2＋2＝12＋(2－h(huán))2，∴h＝

24、，R2＝. ∴幾何體的外接球的表面積S＝4πR2＝π. 答案　B 12.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝________. 解析　該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖. 則表面積 S＝×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2， 又S＝16＋20π，所以(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2. 答案　2 13.(2018·沈陽質(zhì)檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C

25、⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn). (1)證明：A1O⊥平面ABC； (2)求三棱錐C1－ABC的體積. (1)證明　因?yàn)锳A1＝A1C，且O為AC的中點(diǎn)， 所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC. (2)解　∵A1C1∥AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離. 由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝＝， ∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1. 14