2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 2 2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法 2.2 復(fù)數(shù)的乘法與除法學(xué)案 北師大版選修2-2

《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 2 2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法 2.2 復(fù)數(shù)的乘法與除法學(xué)案 北師大版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 2 2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法 2.2 復(fù)數(shù)的乘法與除法學(xué)案 北師大版選修2-2（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.1　復(fù)數(shù)的加法與減法 2.2　復(fù)數(shù)的乘法與除法 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1．理解共軛復(fù)數(shù)的概念．(重點(diǎn)) 2．掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則與運(yùn)算律．(重、難點(diǎn)) 1．借助坐標(biāo)系理解共軛復(fù)數(shù)，提升學(xué)生的直觀(guān)想象的核心素養(yǎng). 2．通過(guò)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 1．復(fù)數(shù)的加法與減法 (1)復(fù)數(shù)的加法 設(shè)a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的加法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)復(fù)數(shù)的減法 設(shè)a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的減法

2、如下：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 2．復(fù)數(shù)的乘法與除法 (1)復(fù)數(shù)的乘法法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律 對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有 交換律 z1·z2＝z2·z1 結(jié)合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法對(duì)加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (3)共軛復(fù)數(shù) 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，那么這樣的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫作互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用來(lái)表示，即z＝a＋bi

3、，則＝a－bi. (4)復(fù)數(shù)的除法法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，則＝＝＋i. 1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是(　　) A．－i B．i C．－i D．i D　[＝＝＝i.] 2．復(fù)數(shù)z1＝2－i，z2＝－2i，則z1＋z2等于(　　) A．0　　 B.＋i C.－i D.－i C　[z1＋z2＝＋i＝－i.] 3．(1＋i)2－＝________. －＋i　[∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.] 復(fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算 【例1】　(1)＋(2－i)－＝________. (2)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z＋1－3i＝5－2i，求z. (3)

4、已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|＋z＝1＋3i，求z. 思路探究：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的加法與減法法則計(jì)算． (2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等計(jì)算或把等式看作z的方程，通過(guò)移項(xiàng)求解． (3)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解． (1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i ＝1＋i.] (2)[解]　法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，因?yàn)閦＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i. 法二：因?yàn)閦＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3)設(shè)z＝x＋y

5、i(x，y∈R)，則|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由復(fù)數(shù)相等得解得所以z＝－4＋3i. 1．復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算法則的記憶 (1)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減． (2)把i看作一個(gè)字母，類(lèi)比多項(xiàng)式加、減法中的合并同類(lèi)項(xiàng)． 2．當(dāng)一個(gè)等式中同時(shí)含有|z|與z時(shí)，一般要用待定系數(shù)法，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)． 1．(1)復(fù)數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i　　　C．i　　　D．－i (2)已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝________. (1)A　(2)3i　[(1)(1－i)－(

6、2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故選A. (2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是純虛數(shù)，則 由①可得y＝3. ∴z＝3i.] 復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算 【例2】　已知復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝3－2i.試計(jì)算： (1)z1·z2和z； (2)z1÷z2和z÷z1． 思路探究：按照復(fù)數(shù)的乘法和除法法則進(jìn)行． [解]　(1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i. z＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4. (2)z1÷z2＝＝＝＝＋i. z÷z1＝＝＝ ＝＝－－i. 復(fù)數(shù)運(yùn)算

7、中的幾點(diǎn)結(jié)論 1．∈R?＝(cd≠0)?ad－bc＝0； 為純虛數(shù)?ac＋bd＝0且bc－ad≠0. 2．(a＋bi)(c＋di)∈R?∈R?＝(cd≠0)?ad＋bc＝0；(a＋bi)(c＋di)為純虛數(shù)?為純虛數(shù)?ac－bd＝0且ad＋bc≠0. 可以類(lèi)比向量共線(xiàn)(實(shí)數(shù))與垂直(純虛數(shù))來(lái)記憶上述兩個(gè)結(jié)論． 注意：以上結(jié)論中：c＋di≠0. 2．(1)滿(mǎn)足＝i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z＝(　　) A．＋i　　　　 B．－i C．－＋i D．－－i (2)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1＋i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝(　　) A．1 B．2 C． D． (1)

8、B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)． ∴z＝＝＝＝－i. (2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i， ∴|z|＝＝.] 共軛復(fù)數(shù) [探究問(wèn)題] 1．兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的和一定是實(shí)數(shù)嗎？?jī)蓚€(gè)共軛復(fù)數(shù)的差一定是純虛數(shù)嗎？ [提示]　若z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，則z＋＝2a∈R.因此，和一定是實(shí)數(shù)；而z－＝2bi.當(dāng)b＝0時(shí)，兩共軛復(fù)數(shù)的差是實(shí)數(shù)，而當(dāng)b≠0時(shí)，兩共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)． 2．若z1與z2是共軛復(fù)數(shù)，則|z1|與|z2|之間有什么關(guān)系？ [提示]　|z1|＝|z2|. 【例3】　已知z∈C，為z的共軛復(fù)數(shù)，若z·－3i

9、＝1＋3i，求z. 思路探究：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi.代入所給等式，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為方程組求解． [解]　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi(a，b∈R)， 由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 則有解得或 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 解此類(lèi)題的常規(guī)思路為：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程(組)求解. 3．已知復(fù)數(shù)z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1與z2互為共

10、軛復(fù)數(shù)，求a，b的值． [解]　z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i， z2＝＝＝＝＋i， 由于z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以有 解得 1．復(fù)數(shù)的加法法則可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形：各復(fù)數(shù)的實(shí)部分別相加，虛部分別相加． 2．復(fù)數(shù)減法的幾何意義也可敘述為：連接兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量的終點(diǎn)的向量，就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量． 3．實(shí)數(shù)集內(nèi)乘法、乘方的一些重要結(jié)論和運(yùn)算法則在復(fù)數(shù)集內(nèi)不一定成立，如： (1)當(dāng)z∈R時(shí)，有|z|2＝z2；當(dāng)z∈C時(shí)，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能進(jìn)行比較．例如，當(dāng)z＝

11、1＋i時(shí)，|z|2＝2，z2＝2i，此時(shí)2和2i不能進(jìn)行比較． (2)當(dāng)m，n∈R時(shí)，有m2＋n2＝0?m＝n＝0；當(dāng)z1，z2∈C時(shí)，z＋z＝0D/?z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0?z＋z＝0. 4．復(fù)數(shù)除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫(xiě)成的形式，再把分子與分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，最后將結(jié)果化簡(jiǎn)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i. 5．復(fù)數(shù)運(yùn)算常見(jiàn)小結(jié)論 (1)(1＋i)2＝2i?＝1＋i； (2)(1－i)2＝－2i?＝1－i?＝－1＋i； (3)(1＋i)(1－i)＝2?＝1－i?＝1＋i； (4)＝i?＝－i； (5)i4n＋1＝i；i4n＋2＝－

12、1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈Z)． 6．常用公式 (a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2；(a±bi)2＝a2－b2±2abi； (a±bi)3＝a3－3ab2±(3a2b－b3)i. 7．共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算小結(jié)論 (1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋＝2a； (2)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－＝2bi； (3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2，＝()2； (4)對(duì)于復(fù)數(shù)z1，z2，＝±，＝·，＝(z2≠0)． 1．(2019·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C

13、．第三象限 D．第四象限 C　[由z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－3，－2)，在第三象限，故選C.] 2．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，則x＝______. －2　[∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)， ∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i. ∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2．] 3．若＝a＋bi(i為虛數(shù)單位，a，b∈R)，則a＋b＝______. 2　[因?yàn)椋剑?＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2．] 4．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|＝，且(1－2i)z是實(shí)數(shù)，求. [解]　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因?yàn)?1－2i)z是實(shí)數(shù)，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2， ∴z＝1＋2i或－1－2i， ∴＝1－2i或－1＋2i， ∴＝±(1－2i)． - 7 -