2018高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 第1-2節(jié) 導數(shù)的概念及運算學案 理 蘇教版選修2-2

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1、 第1-2節(jié) 導數(shù)的概念及運算 一、學習目標： 1. 了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導數(shù)的概念。 2. 熟記常函數(shù)C，冪函數(shù)xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)sinx，cosx，指數(shù)函數(shù)ex，ax，對數(shù)函數(shù)lnx，logax的導數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)四則運算的求導法則； 3. 掌握復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。 二、重點、難點 重點：導數(shù)的概念、常見函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)。 難點：導數(shù)的概念、復合函數(shù)的導數(shù)。 三、考點分析

2、： 1. 導數(shù)既是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具，又是進行理性思維訓練的良好素材。導數(shù)的概念與幾何意義，及導數(shù)的運算是每年高考的重點考查內(nèi)容之一。 2. 考綱要求：理解導數(shù)概念及其幾何意義，能利用導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)。 1. 導數(shù)的概念：設函數(shù)在處附近有定義，當自變量在處有增量時，函數(shù)相應地有增量，如果當時，趨于常數(shù)A，稱函數(shù)在點處可導，并把A叫做在處的導數(shù)，記作或 2. 導數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點處的切線的斜率是。相應地，切線方程為。 3. 導數(shù)的運算： （1）基本函

3、數(shù)的導數(shù)公式：；；； ；；；；。 （2）導數(shù)的運算法則： 設均可導，則 ；； （C為常數(shù)）； （3）復合函數(shù)的導數(shù)：設均可導，則復合函數(shù)可導，且 知識點一：導數(shù)的概念 例1 已知函數(shù)在=附近有意義且可導，導函數(shù)為，若=2，則趨于（ ） A. 2 B. C. D. 思路分析：本題是導數(shù)概念題，注意自變量的增量為。 解題過程：原式=，故選D。 解題后反思：對導數(shù)概念問題，注意要準確地從函數(shù)增量的式子中找出自變量的增量，緊扣函數(shù)在某一點的導數(shù)的概念：函數(shù)增量與自變量增量的比的極限值就是這一點的導數(shù)解題，本題中自變量的增量為。 知

4、識點二：導數(shù)的幾何意義 例2 曲線=在點（1，1）處的切線方程為（ ） A. B. =0 C. =0 D. =0 思路分析：先求函數(shù)在這一點的導數(shù)即切線斜率，再由點斜式寫出直線方程。 解題過程：∵==， ∴曲線在點（1，1）處的切線斜率==， ∴曲線在點（1，1）處的切線方程為,即，故選B。 解題后反思：對曲線的切線問題，注意利用導數(shù)的幾何意義解題，注意過某一點的切線與在某一點的切線的區(qū)別。 例3 求函數(shù)=過點P（1,）的切線方程。 思路分析：先設出切點坐標，求出切線方程，再利用切點既在曲線上又在切線上，列出切點坐標的方程，求出切點坐標，從而

5、求出切線方程。 解題過程：設切點Q（,）,求導得=，由導數(shù)的幾何意義得曲線在點Q（,）處的切線斜率==， ∴曲線在點（1,－１）處的切線方程為：=， 又∵點Q（,）既在切線上，又在函數(shù)圖像上， ∴，解得，或， ∴切線方程為=0或=0。 解題后反思：注意過某點的切線與在某點的切線的區(qū)別,要掌握過某點的曲線的切線方程求法。 知識點三：導數(shù)的實際意義 例4 設球的半徑為時間t的函數(shù)，若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球的半徑 A. 成正比，比例系數(shù)為c B. 成正比，比例系數(shù)為2c C. 成反比，比例系數(shù)為c

6、 D. 成反比，比例系數(shù)為2c 思路分析：求出球的表面積的導數(shù)，觀察其與球的半徑的關系。 解題過程：由題意可知球的體積為=，則==，由此可得=，而球的表面積為=， ∴==[]’====，故選D； 解題后反思：注意利用題中條件，球的體積以均勻速度c增長即球的體積函數(shù)的導數(shù)為常數(shù)。 知識點四：導數(shù)的運算 例5 求下列函數(shù)的導數(shù)： ； ； ； 。 思路分析：解答本題的突破口是要分析函數(shù)解析式的結構和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉化為基本函數(shù)的導數(shù)。 解題過程：（1） （2）。 ∴； （3）令，，， ∴ ； （4）∵， ∴ 解題后反思

7、：（1）本題分別考查了導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導的方法，以及抽象函數(shù)求導的思想方法和代數(shù)式等價化簡的運算能力。 （2）對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤。 對復合函數(shù)求導，必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系，再按照復合函數(shù)求導法則進行求導。 （3）對復雜函數(shù)進行求導時，函數(shù)的解析式能化簡的要盡量化簡，應盡量少用甚至不用乘積的求導法則，應在求導前，先用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)解析式進行化簡，

8、然后再用函數(shù)的四則運算法則的求導公式求導數(shù)。 例6 （1）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是_____________。 （2）已知函數(shù)在R上滿足=，則曲線在點處的切線方程是___________________。 思路分析：（1）本題是函數(shù)存在斜率為0的切線問題，先求導，轉化為導數(shù)為0恒有解的問題，通過參變分離求出參數(shù)范圍。 （2）先求，因是復合函數(shù)，故根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)法則等式兩邊求導，再將=1代入，即可求出，代入點斜式即可求得切線方程。 解題過程：（1）由題知函數(shù)的定義域為，求導得， 又因為存在垂直于軸的切線， 所以=0恒有解，即=（）恒有解， ∴＜0，

9、 ∴實數(shù)的取值范圍是（，0）。 （2）令=1得，=，即=，解得=1， 對=兩邊同求導得，=， 將=1代入上式得，=，即=，解得=2， ∴在點處的切線方程為=，即。 解題后反思：對含參數(shù)函數(shù)的導數(shù)問題，應注意函數(shù)的定義域。 （全國高考）曲線在點（0,2）處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（ ） A. B. C. D. 1 思路分析：利用導數(shù)求出點（0，2）處的切線方程，然后分別求出與直線y＝0與y＝x的交點問題即可解決。 解答過程：切線方程是：,在直角坐標系中作出示意圖，即得。 解題后反思：函數(shù)在點處的切線方程是。 1. 理解和掌握求導法則和公式的結構規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件。具體解題時，還應結合函數(shù)本身的特點，才能準確有效地進行求導運算，調(diào)動思維的積極性，在解決新問題時，觸類旁通，得心應手。 2．熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數(shù)的求導法則。 3. 對于一個復合函數(shù)，一定要理清其中的復合關系，弄清各分解函數(shù)中應對哪個變量求導。 下節(jié)課我們將學習導數(shù)的應用，那么導數(shù)的應用是指它在哪些方面的應用呢？請同學們閱讀課本，并且進行思考。 5