2019高考物理 快速提分法 模型一 彈簧問(wèn)題學(xué)案（含解析）

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1、彈簧類(lèi)問(wèn)題 1．彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力.當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí)，要注意彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對(duì)應(yīng).在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手，先確定彈簧原長(zhǎng)位置，現(xiàn)長(zhǎng)位置，找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對(duì)應(yīng)的彈力大小、方向，以此來(lái)分析計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能變化。 2．因彈簧（尤其是軟質(zhì)彈簧）其形變發(fā)生改變過(guò)程需要一段時(shí)間，在瞬間內(nèi)形變量可以認(rèn)為不變。因此，在分析瞬時(shí)變化時(shí)，可以認(rèn)為彈力大小不變，即彈簧的彈力不突變。 經(jīng)典例題如圖所示，四處完全相同的彈簧都處于水平位置，它們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同：①中的彈

2、簧的左端固定在墻上②中的彈簧的左端也受到大小也為F的拉力的作用③中的彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面上滑動(dòng)④中的彈簧的左端拴一個(gè)小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng).若認(rèn)為彈簧的質(zhì)量為零，以L1、L2、L3、L4依次表示四個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量，則有（） A．L2>L1 B．L4>L3 C．L1>L3 D．L2=L4 分析與解答：題中明確說(shuō)了彈簧的質(zhì)量為零，故彈簧為“輕彈簧”，合力肯定為零，則兩端受到的拉力的大小在①②③④這四幅圖中必然相等，否則系統(tǒng)將有無(wú)窮大的加速度，而由胡克定律可知，彈簧在這四種情況下的伸長(zhǎng)量是一樣的，即：L1=L2=L3=L4.答案為D 變式1 如圖所示，a、b

3、、c為三個(gè)物塊，M、N為兩個(gè)輕質(zhì)彈簧，R為跨過(guò)光滑定滑輪的輕繩，它們均處于平衡狀態(tài).則（） A．有可能N處于拉伸狀態(tài)而M處于壓縮狀態(tài) B．有可能N處于壓縮狀態(tài)而M處于拉伸狀態(tài) C．有可能N處于不伸不縮狀態(tài)而M處于拉伸狀態(tài) D．有可能N處于拉伸狀態(tài)而M處于不伸不縮狀態(tài) 分析與解答：研究a、N、c系統(tǒng)由于處于平衡狀態(tài)，N可能處于拉伸狀態(tài)，而M可能處于不伸不縮狀態(tài)或壓縮狀態(tài)；研究a、M、b系統(tǒng)由于處于平衡狀態(tài)，M可能處于壓縮狀態(tài)(或處于不伸不縮狀態(tài))，而N可能處于不伸不縮狀態(tài)或拉伸狀態(tài).答案為AD 小錦囊 在含有彈簧的靜力學(xué)問(wèn)題中,當(dāng)彈簧所處的狀態(tài)沒(méi)有明確給出時(shí),必須考慮到彈簧既可以處

4、于拉伸狀態(tài),也可以處于壓縮狀態(tài),必須全面分析各種可能性,以防以偏概全. 變式2 如圖所示，重力為G的質(zhì)點(diǎn)M與三根相同的輕質(zhì)彈簧相連，靜止時(shí)，相鄰兩彈簧間的夾角均為1200，已知彈簧A、B對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力均為2G，則彈簧C對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力大小可能為（） A．2G B．G C．0 D．3G 分析與解答：彈簧A、B對(duì)M點(diǎn)的作用力有兩種情況：一是拉伸時(shí)對(duì)M的拉力，二是壓縮時(shí)對(duì)M的彈力。 若A、B兩彈簧都被拉伸，兩彈簧拉力與質(zhì)點(diǎn)M重力的合力方向一定豎直向下，大小為3G，此時(shí)彈簧C必被拉伸，對(duì)M有豎直向上的大小為3G的拉力，才能使M處于平衡狀態(tài)。若A、B兩彈

5、簧都被壓縮，同理可知彈簧C對(duì)M有豎直向下的大小為G的彈力.A、B兩彈簧不可能一個(gè)被拉伸，一個(gè)被壓縮，否則在題設(shè)條件下M不可能平衡.答案為BD 變式3如圖所示，兩木塊的質(zhì)量分別為m1和m2，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，上面木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開(kāi)上面彈簧.在這過(guò)程中下面木塊移動(dòng)的距離為（） 小錦囊 本題要求學(xué)生掌握胡克定律，并理解正比的本質(zhì)特征．此外對(duì)兩人拉彈簧與一人拉彈簧的受力分析也是本題設(shè)計(jì)的陷井． A． B． C． D． 分析與解答：原來(lái)系統(tǒng)處于平衡態(tài)則下面彈簧被壓縮x1，則有：；當(dāng)上面的木塊剛

6、離開(kāi)上面的彈簧時(shí)，上面的彈簧顯然為原長(zhǎng)，此時(shí)對(duì)下面的木塊m2則有：，因此下面的木塊移動(dòng)的距離為，答案為C 變式4如圖所示，質(zhì)量為m和M的兩塊木板由輕彈簧連接，置于水平桌面上．試分析：在m上加多大的壓力F，才能在F撤去后，上板彈起時(shí)剛好使下板對(duì)桌面無(wú)壓力． 小錦囊 本題若從正向思考，可能難比較大，若換個(gè)角度進(jìn)行思考就可以打開(kāi)思路．另一方面，彈簧的可逆性原理，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)稱(chēng)性原理的體現(xiàn)． m M F 分析與解答：設(shè)想用力F豎直向上拉m，使整個(gè)系統(tǒng)正好被提起，所用拉力大小為(m + M)g，當(dāng)上板彈起剛好使下板對(duì)桌面無(wú)壓力時(shí)，彈簧彈力的大小也應(yīng)等于(m + M)g．也就是說(shuō)，在m上

7、加豎直向下的力F后，使彈簧增加壓縮量x，若將F撤去后，彈簧與未加力F相比伸長(zhǎng)了x，產(chǎn)生的彈力為(m + M)g，由彈簧的可逆性原理可知在m上所加壓力F = (m + M)g． 變式5如圖所示，兩物體重分別為G1、G2，兩彈簧勁度分別為k1、k2，彈簧兩端與物體和地面相連。用豎直向上的力緩慢向上拉G2，最后平衡時(shí)拉力F=G1+2G2，求該過(guò)程系統(tǒng)重力勢(shì)能的增量。 G1 Δx2 k2 G2 Δx1 Δx1/ Δx2/ k1 F G1 G2 k2 k1 分析與解答：設(shè)沒(méi)有力作用時(shí)彈簧的形變量分別為Δx1、Δx2，力作用后的形變量分別為Δx1/、Δx2/，由題意知Δx1、

8、Δx2為壓縮量，Δx1/、Δx2/為伸長(zhǎng)量無(wú)拉力F時(shí)Δx1=(G1+G2)/k1，Δx2= G2/k2，加拉力F時(shí)Δx1/=G2/k1，Δx2/= (G1+G2) /k2，而Δh1=Δx1+Δx1/，Δh2=(Δx1/+Δx2/)+(Δx1+Δx2)，系統(tǒng)重力勢(shì)能的增量ΔEp= G1?Δh1+G2?Δh2 整理后可得： 經(jīng)典例題一個(gè)輕彈簧一端B固定，另一端C與細(xì)繩的一端共同拉住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，繩的另一端A也固定，如圖所示，且AC、BC與豎直方向夾角分別為，則（） A．燒斷細(xì)繩瞬間，小球的加速度 B．燒斷細(xì)繩瞬間，小球的加速度 C．在C處彈簧與小球脫開(kāi)瞬間，小球的加速度 D．

9、在C處彈簧與小球脫開(kāi)瞬間，小球的加速度 分析與解答：在繩子燒斷前，小球受力平衡，據(jù)拉密原理可知： ，故，. 燒斷細(xì)繩瞬間，消失，而尚未變化（彈簧形變需時(shí)間，認(rèn)為這一瞬間不變），此時(shí)合力與等大反向，加速度為；彈簧與球脫開(kāi)時(shí)，消失，發(fā)生突變，此時(shí)重力與繩子拉力的合力為：.方向與AC垂直，所以. 答案為BD 變式1 如圖所示，物塊B和C分別連接在輕彈簧的兩端，將其靜置于吊籃A的水平底板上，已知A、B、C三者質(zhì)量相等且為m.則將掛吊籃的輕繩燒斷的瞬間，吊籃A、物塊B和C的瞬時(shí)加速度分別為（） A．g、g、g B．g、g、0 C．1.5g、1.5g、0 D．g、2

10、g、0 分析與解答：對(duì)物塊C在輕繩燒斷的瞬間，其受力情況不變，故其瞬時(shí)加速度為零.而對(duì)于吊籃A和物塊B，由于它們是剛性接觸，它們之間的相互作用力可發(fā)生突變，因此在輕繩燒斷的瞬間A和B的加速度相等.研究A、B、C系統(tǒng)，由牛頓定律可知：，答案為C. 變式2 如圖所示，豎直放置在水平面上的輕彈簧上疊放著兩物塊P、Q，它們的質(zhì)量均為2kg，均處于靜止?fàn)顟B(tài).若突然將一個(gè)大小為10N、方向豎直向下的力施加在物塊P上，則此瞬間，P對(duì)Q壓力的大小為（g取10m/s2）：（） A．5N B．15N C．25N D．35N. 分析與解答：在物塊P上突然施加一個(gè)豎直向下的力的瞬間

11、P和Q的加速度相等.研究P、Q系統(tǒng)，據(jù)，研究P物塊，據(jù)，因此P對(duì)Q的壓力大小為25N，答案為C 變式3 如圖天花板上用細(xì)繩吊起兩個(gè)用輕彈簧相連的兩個(gè)質(zhì)量相同的小球。兩小球均保持靜止。當(dāng)突然剪斷細(xì)繩時(shí)，上面小球A與下面小球B的加速度為（） A．a(chǎn)1=g a2=g 　　B．a(chǎn)1=2g a2=g C．a(chǎn)1=2g a2=0 　　D．a(chǎn)1=0 a2=g 小錦囊 彈簧和繩是兩個(gè)物理模型，特點(diǎn)不同。彈簧不計(jì)質(zhì)量，彈性限度內(nèi)k是常數(shù)。繩子不計(jì)質(zhì)量但無(wú)彈性，瞬間就可以沒(méi)有。而彈簧因?yàn)橛行巫?，不可瞬間發(fā)生變化，即形變不會(huì)瞬間改變，要有一段時(shí)間。 分析與解答：分別以A

12、，B為研究對(duì)象，做剪斷前和剪斷時(shí)的受力分析。剪斷前A，B靜止。如圖2-10，A球受三個(gè)力，拉力T、重力mg和彈力F。B球受三個(gè)力，重力mg和彈簧拉力F′。A球：T－mg-F = 0；B球：F′－mg = 0；解得T=2mg，F(xiàn)=mg；剪斷時(shí)，A球受兩個(gè)力，因?yàn)槔K無(wú)彈性剪斷瞬間拉力不存在，而彈簧有形米，瞬間形狀不可改變，彈力還存在。如圖2-11，A球受重力mg、彈簧給的彈力F。同理B球受重力mg和彈力F′。A球：－mg－F = maA；B球：F′－mg = maB；解得aA=－2g（方向向下）aB= 0。答案為C 變式4如圖所示，豎直光滑桿上套有一個(gè)小球和兩根彈簧，兩彈簧的一端各與小球相連，另

13、一端分別用銷(xiāo)釘M、N固定于桿上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。設(shè)拔去銷(xiāo)釘N瞬間，小球加速度的大小為12 m/s2。若不拔去銷(xiāo)釘M而拔去銷(xiāo)釘N瞬間，小球的加速度可能是：(取g=10m/s2)（） A．22 m/s2，豎直向上 B．22 m/s2，豎直向下 C．2 m/s2，豎直向上 D．2m/s2，豎直向下 分析與解答：拔去銷(xiāo)釘M的瞬間。小球只受下面彈簧的彈力和重力作用。 若彈簧處于壓縮狀態(tài)，則彈力向上。設(shè)為F1，則， 代入數(shù)值得：； 若彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，則彈力向下，設(shè)為F2，則F2+mg=ma， 代入數(shù)值得：F2=2 m。 小球處于平衡狀態(tài)時(shí)，設(shè)上面彈簧處于壓縮狀態(tài)、伸長(zhǎng)

14、狀態(tài)時(shí)，上面彈簧的彈力分別為F1′、 F2′。 由力的平衡方程：F1′+mg= F1，F(xiàn)2′+mg= F2，得：F1′=12m，F(xiàn)2′=12 m。 當(dāng)拔去銷(xiāo)釘N時(shí)，列牛頓第二定律方程：F1′+mg=ma′， a′=22m/s2，豎直向下；F2′-mg=ma2′， a2′=2 m/s2，豎直向上。答案為BC A B F 經(jīng)典例題如圖所示，一勁度系數(shù)為k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著兩個(gè)質(zhì)量均為m=12kg的物體A、B。物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水平地面上，現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使物體A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.4s物體B剛要離開(kāi)地面，設(shè)整個(gè)過(guò)程中彈簧都

15、處于彈性限度內(nèi)，取g=10m/s2，求： （1）此過(guò)程中所加外力F的最大值和最小值。 （2）此過(guò)程中外力F所做的功。 分析與解答：(1)A原來(lái)靜止時(shí)：kx1=mg 當(dāng)物體A開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F最小，設(shè)為F1，對(duì)物體A有： F1＋kx1－mg=ma 當(dāng)物體B剛要離開(kāi)地面時(shí)，拉力F最大，設(shè)為F2，對(duì)物體A有： F2－kx2－mg=ma 對(duì)物體B有：kx2=mg 對(duì)物體A有：x1＋x2＝ 解得a=3.75m/s2， F1＝45N，F(xiàn)2＝285N (2)在力F作用的0.4s內(nèi)，初末狀態(tài)的彈性勢(shì)能相等，由功能關(guān)系得： WF=mg(

16、x1＋x2)+49.5J 小錦囊 本題若稱(chēng)盤(pán)質(zhì)量不可忽略，在分析中應(yīng)注意P物體與稱(chēng)盤(pán)分離時(shí)，彈簧的形變不為0，P物體的位移就不等于x0，而應(yīng)等于x0-x（其中x即稱(chēng)盤(pán)對(duì)彈簧的壓縮量）。 變式1如圖，一個(gè)彈簧臺(tái)秤的秤盤(pán)質(zhì)量和彈簧質(zhì)量都可以不計(jì)，盤(pán)內(nèi)放一個(gè)物體P處于靜止。P的質(zhì)量為12kg，彈簧的勁度系數(shù)k=800N/m。現(xiàn)給P施加一個(gè)豎直向上的力F，使P從靜止開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)。已知在前0.2s內(nèi)F是變化的，在0.2s以后F是恒力，則F的最小值是多少，最大值是多少？ 分析與解答：以物體P為研究對(duì)象。物體P靜止時(shí)受重力G、稱(chēng)盤(pán)給的支持力N。因?yàn)槲矬w靜止， N -G = 0 所以

17、：N =G= kx0 設(shè)物體向上勻加速運(yùn)動(dòng)加速度為a。 此時(shí)物體P受力如圖2-31受重力G，拉力F和支持力N′ 據(jù)牛頓第二定律有：F+N′－G = ma 當(dāng)0.2s后物體所受拉力F為恒力，即為P與盤(pán)脫離，即彈簧無(wú)形變，由0～0.2s內(nèi)物體的位移為x0。物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則：x0=at2/2 解得x0= 0.15m；a = 7.5m/s2 當(dāng)N′最大時(shí)，即初始時(shí)刻，F(xiàn)最小 Fmin= ma + mg－kx0=12×(7.5+10)-800×0.15=90(N) F最大值即N=0時(shí)，F(xiàn) = ma+mg = 210（N） 變式2 如圖所示，一只升降機(jī)在箱底裝有若干個(gè)彈簧，設(shè)在

18、某次事故中，升降機(jī)吊索在空中斷裂，忽略摩擦力，則升降機(jī)在從彈簧下端觸地后直到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（） A．升降機(jī)的速度不斷減小 B．升降機(jī)的加速度不斷變大 C．先是彈力做的負(fù)功小于重力做的正功，然后是彈力做的負(fù)功大于重力做的正功 D．到最低點(diǎn)時(shí)，升降機(jī)加速度的值一定大于重力加速度的值 分析與解答：升降機(jī)從彈簧下端觸地后直到最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可分為三個(gè)階段：①mg>N（N為彈簧的彈力），據(jù)可知，加速度a隨著形變量x的增大而減小，故此階段升降機(jī)做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)；②mg=N時(shí)，速度達(dá)到vm；③mg

19、低點(diǎn)時(shí)v=0，由以上分析知A、B錯(cuò)，由動(dòng)能定理可知選項(xiàng)C正確，由彈簧的對(duì)稱(chēng)性易知選項(xiàng)D也正確，答案為CD 經(jīng)典例題一名宇航員抵達(dá)一個(gè)半徑為r的星球表面，為了測(cè)定該星球的質(zhì)量M，他做了如下實(shí)驗(yàn)：取一根細(xì)線穿過(guò)光滑的細(xì)直管，細(xì)線的一端拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端連接在一固定的測(cè)力計(jì)上，手握細(xì)直管轉(zhuǎn)動(dòng)小球，使之在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，并觀察測(cè)力計(jì)的讀數(shù)發(fā)現(xiàn)：小球運(yùn)動(dòng)到圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)測(cè)力計(jì)的示數(shù)差為ΔF.已知萬(wàn)有引力常量為G，試求出該星球的質(zhì)量M 分析與解答：若設(shè)小球在圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，繩的拉力大小分別為和，速度大小分別為和.設(shè)圓運(yùn)動(dòng)半徑為R 則在最高點(diǎn)時(shí)有：， 在最低

20、點(diǎn)時(shí)有：， 又：， 小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由此可得： 又據(jù)， 聯(lián)立可得：. A 變式1 一質(zhì)量為 M 的塑料球形容器，在A處與水平面接觸。它的內(nèi)部有一直立的輕彈簧，彈簧下端固定于容器內(nèi)部底部，上端系一帶正電、質(zhì)量為m的小球在豎直方向振動(dòng)，當(dāng)加一向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)后，彈簧正好在原長(zhǎng)時(shí)，小球恰好有最大速度。在振動(dòng)過(guò)程中球形容器對(duì)桌面的最小壓力為0，求容器對(duì)桌面的最大壓力。 分析與解答：因?yàn)閺椈烧迷谠L(zhǎng)時(shí)小球恰好速度最大，所以：qE=mg 小球在最高點(diǎn)時(shí)有容器對(duì)桌面的壓力最小由題意可知，容器在最高點(diǎn)：kx=Mg 此時(shí)小球受力如圖，所受合力為 F=mg+kx-qE

21、 qE kx mg 由以上三式得：小球的加速度為：a= 由振動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知：小球在最底點(diǎn)時(shí)， KX-mg+qE=ma 解以上式子得：kX=Mg 對(duì)容器：FN=Mg+Kx=2Mg 變式2 一根勁度系數(shù)為k，質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物體，有一水平板將物體托住，并使彈簧處于自然長(zhǎng)度。如圖所示?，F(xiàn)讓木板由靜止開(kāi)始以加速度a(a＜g)勻加速向下移動(dòng)。求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間木板開(kāi)始與物體分離。 分析與解答：設(shè)物體與平板一起向下運(yùn)動(dòng)的距離為x時(shí)，物體受重力mg，彈簧的彈力F=kx和平板的支持力N作用。據(jù)牛頓第二定律有： mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma 當(dāng)N

22、=0時(shí)，物體與平板分離，所以此時(shí) 因?yàn)椋浴? 變式3 A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖所示，已知木塊A、B質(zhì)量分別為0.42 kg和0.40 kg，彈簧的勁度系數(shù)k=100 N/m ，若在木塊A上作用一個(gè)豎直向上的力F，使A由靜止開(kāi)始以0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)（g=10 m/s2）. （1）使木塊A豎直做勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，力F的最大值； （2）若木塊由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，直到A、B分離的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能減少了0.248 J，求這一過(guò)程F對(duì)木塊做的功. 分析與解答：當(dāng)F=0（即不加豎直向上F力時(shí)），設(shè)A、B疊放在彈簧上處于平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x，有：

23、kx=（mA+mB）g x=（mA+mB）g/k 對(duì)A施加F力，分析A、B受力如圖 對(duì)A F+N-mAg=mAa 對(duì)B kx′-N-mBg=mBa′ 小錦囊 相互接觸的物體間可能存在彈力相互作用。對(duì)于面接觸的物體，在接觸面間彈力變?yōu)榱銜r(shí)，它們將要分離。抓住相互接觸物體分離的這一條件，就可順利解答相關(guān)問(wèn)題。 可知，當(dāng)N≠0時(shí)，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A勻加速運(yùn)動(dòng)，隨N減小F增大.當(dāng)N=0時(shí)，F(xiàn)取得了最大值Fm， 即Fm=mA（g+a）=4.41 N 又當(dāng)N=0時(shí)，A、B開(kāi)始分離，由③式知， 此時(shí)，彈簧壓縮量kx′=mB（a+g） x′=m

24、B（a+g）/k AB共同速度 v2=2a（x-x′） 由題知，此過(guò)程彈性勢(shì)能減少了WP=EP=0.248 J 設(shè)F力功WF，對(duì)這一過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理或功能原理 WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=12（mA+mB）v2 聯(lián)立上述方程，且注意到EP=0.248 J 可知，WF=9.64×10-2 J 經(jīng)典例題傳 感 器 a 傳 感 器 b 如圖的裝置可以測(cè)量汽車(chē)在水平路面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。該裝置是在矩形箱子的前后壁上各安裝一個(gè)由力敏電阻組成的壓力傳感器。用兩根相同的輕彈簧夾著一個(gè)質(zhì)量為2.0kg的滑塊，滑塊可以無(wú)

25、摩擦滑動(dòng)，兩彈簧的另一端分別壓在傳感器a、b上，其壓力大小可直接從傳感器的液晶顯示屏上讀出?，F(xiàn)將裝置沿運(yùn)動(dòng)方向固定在汽車(chē)上，傳感器b在前，傳感器a在后。汽車(chē)靜止時(shí)，傳感器a、b的示數(shù)均為10N。（取g=10m/s2） （1）若傳感器a的示數(shù)為14N、b的示數(shù)為6.0N，求此時(shí)汽車(chē)加速度的大小和方向。 （2）當(dāng)汽車(chē)以怎樣的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，傳感器a的示數(shù)為零。 分析與解答：（1）當(dāng)傳感器a的示數(shù)為14N、b的示數(shù)為6.0N時(shí)，說(shuō)明左端彈簧的壓力增大，右端彈簧的壓力減小，以滑塊為研究對(duì)象在水平方向上運(yùn)用牛頓第二定律，(F1－F2)=ma，所以(14－6)=2a，a=4m/s2，方向向右 （2）

26、設(shè)加速度為a／時(shí)，傳感器a的示數(shù)為0，則左端彈簧的彈力為0。以滑塊為研究對(duì)象，運(yùn)用牛頓第二定律，(10+10)=ma／，所以a／=10m/s2，方向向左。 變式1 如圖所示的裝置可以測(cè)量飛行器在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。該裝置是在矩形箱子的上、下壁上各安裝一個(gè)可以測(cè)力的傳感器，分別連接兩根勁度系數(shù)相同（可拉伸可壓縮）的輕彈簧的一端，彈簧的另一端都固定在一個(gè)滑塊上，滑塊套在光滑豎直桿上?，F(xiàn)將該裝置固定在一飛行器上，傳感器P在上，傳感器Q在下。飛行器在地面靜止時(shí)，傳感器P、Q顯示的彈力大小均為10N。求： （1）滑塊的質(zhì)量（地面處的g＝10m/s2） （2）若此飛行器在地面附近沿豎

27、直方向向上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，傳感器P顯示的彈力大小為20N，此時(shí)飛行器的加速度多大？ 分析與解答：（1）m=kg=2kg （2）由牛頓第二定律得：2F－mg=ma a= m/s2=10 (m/s2) 變式2 兩個(gè)質(zhì)量不計(jì)的彈簧將一金屬塊支在箱子的上頂板與下底板之間，箱子只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，如圖所示，兩彈簧原長(zhǎng)均為0.80m，勁度系數(shù)均為60N/m.當(dāng)箱以a=2.0m/s2的加速度勻減速上升時(shí)，上、下彈簧的長(zhǎng)度分別為0.70m和0.60m(g=10m/s2).若上頂板壓力是下底板壓力的四分之一，試判斷箱的運(yùn)動(dòng)情況. 分析與解答：由題

28、意可知上、下兩彈簧均處于壓縮狀態(tài).令下、上彈簧的彈力分別為N1和N2則據(jù)胡克定律可得： N1=60(0.80-0.60)=12.0N，N2=60=6.0N. 設(shè)向下為正方向，當(dāng)金屬塊以2.0m/s2的加速度勻減速上升時(shí)，由牛頓第二定律得：.解之m=0.75kg. 因彈簧總長(zhǎng)度不變，則 上頂板壓力為下底板壓力的1/4時(shí)，設(shè)上、下彈簧的壓縮量分別為和，則，由，.則=14.4N. 據(jù)，得. 因此箱子以大小為4.4m/s的加速度上升或減速下降. 經(jīng)典例題如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊A、B，它們的質(zhì)量分別為mA、mB，彈簧的勁度系數(shù)為k，C為一固定

29、擋板。系統(tǒng)處一靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)開(kāi)始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運(yùn)動(dòng)，求物塊B剛要離開(kāi)C時(shí)物塊A的加速度a和從開(kāi)始到此時(shí)物塊A的位移d，重力加速度為g。 分析與解答：令x1表示未加F時(shí)彈簧的壓縮量，由胡克定律和牛頓定律可知 令x2表示B剛要離開(kāi)C時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量， a表示此時(shí)A的加速度，由胡克定律和牛頓定 律可知：kx2＝mBgsinθ ；F－mAgsinθ－kx2＝mAa 由②③式可得 由題意 d＝x1＋x2 聯(lián)立可得 變式1 如圖所示，A、B兩滑環(huán)分別套在間距為1m的光滑細(xì)桿上，A和B的質(zhì)量之比為1∶3，用一自然長(zhǎng)度為1m的輕彈簧將兩環(huán)相連，在 A環(huán)上作用一沿桿方向

30、的、大小為20N的拉力F，當(dāng)兩環(huán)都沿桿以相同的加速度a運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧與桿夾角為53°。（cos53°=0.6） 求：（1）彈簧的勁度系數(shù)為多少？ （2）若突然撤去拉力F，在撤去拉力F的瞬間，A的加速度為a/，a/與a之間比為多少？ 分析與解答：（1）先取A+B和彈簧整體為研究對(duì)象，彈簧彈力為內(nèi)力，桿對(duì)A、B支持力與加速度方向垂直，在沿F方向應(yīng)用牛頓第二定律F=(mA+mB)a 再取B為研究對(duì)象F彈cos53°=mBa 聯(lián)立求解得，F(xiàn)彈=25N 由幾何關(guān)系得，彈簧的伸長(zhǎng)量⊿x=(1/sin53°－1)=0.25m 所以彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m （2）撤去F力瞬間，彈簧彈力不變

31、，A的加速度a/= F彈cos53°/mA 所以a/：a=3∶1。 經(jīng)典例題如圖所示，輕彈簧的兩端與兩物塊(質(zhì)量分別為m1、m2)連在一起時(shí)，m1靜止在A點(diǎn)，m2靠墻，現(xiàn)用水平力F推m1使彈簧壓縮，m1=1kg，m2=2kg，將它們放在光滑的水平面上，彈簧自然壓縮一段距離后靜止，此過(guò)程中力F的功為4.5J.當(dāng)F撤去后，求： （1）m1在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度 （2）m2 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度 （3）m1在越過(guò)A點(diǎn)后速度最小時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能 分析與解答：⑴.m1在彈開(kāi)過(guò)程中，回到A點(diǎn)時(shí)速度最大，設(shè)為v1，則有：. (2).m1越過(guò)A點(diǎn)后，m2開(kāi)始向右加速，m1開(kāi)始減速，彈簧被拉

32、長(zhǎng)，當(dāng)其伸長(zhǎng)到最大長(zhǎng)度時(shí)，二者具有共同速度v，此過(guò)程對(duì)系統(tǒng)有： ；解得：v=1m/s. (3) 越過(guò)A點(diǎn)后由伸長(zhǎng)到最長(zhǎng)至第二次恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程的某一時(shí)刻速度第一次最小，且為零據(jù)由+0，得，.得 變式1 在原子物理中，研究核子與核子關(guān)聯(lián)的最有效途經(jīng)是“雙電荷交換反應(yīng)”。這類(lèi)反應(yīng)的前半部分過(guò)程和下面力學(xué)模型類(lèi)似。兩個(gè)小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止?fàn)顟B(tài)。在它們左邊有一垂直軌道的固定檔板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v0射向B球，如圖7所示，C與B發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個(gè)整體D。在它們繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度變到最短時(shí)，長(zhǎng)度突然被鎖定，不再改變。然后，A球與檔板P發(fā)生碰

33、撞，碰后A、D靜止不動(dòng)，A與P接觸而不粘連。過(guò)一段時(shí)間，突然解除銷(xiāo)定（鎖定及解除鎖定均無(wú)機(jī)械能損失），已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。 P m m m A B V0 C （1）求彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度。 （2）求在A球離開(kāi)檔板P之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能。 分析與解答：整個(gè)過(guò)程可分為四個(gè)階段來(lái)處理 （1）設(shè)C球與B球粘結(jié)成D時(shí)，D的速度為V１，由動(dòng)量守恒定律，得ｍｖ０＝2ｍｖ 當(dāng)彈簧壓至最短時(shí)，D與A的速度相等，設(shè)此速度為V２，由動(dòng)量守恒定律，得 2ｍｖ１＝3ｍｖ２；即ｖ１＝（1／3）ｖ０。此問(wèn)也可直接用動(dòng)量守恒一次求出（從接觸到相對(duì)靜止）ｍｖ０＝3

34、ｍｖ２，ｖ２＝（1／3）ｖ０． （2）設(shè)彈簧長(zhǎng)度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢(shì)能為EP，由能量守恒定律，得 （2ｍ）ｖ１２＝（3ｍ）ｖ２２＋Ｅｐ，撞擊P后，A與D的動(dòng)能都為零，解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)變成D的動(dòng)能，設(shè)D的速度為V３，有： Ｅｐ＝（2ｍ）ｖ３２，以后彈簧伸長(zhǎng)，A球離開(kāi)擋板P，并獲得速度．設(shè)此時(shí)的速度為V４，由動(dòng)量守恒定律，得2ｍｖ３＝3ｍｖ４ 當(dāng)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)，其彈性勢(shì)能最大，設(shè)此勢(shì)能為Eｐ′，由能量守恒定律，得 （2ｍ）ｖ３２＝（3ｍ）ｖ４２＋Ｅｐ′ 即Eｐ′＝ｍｖ０２． 變式2 如圖，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量m2為

35、的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開(kāi)始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上升一質(zhì)量為的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。 分析與解答：開(kāi)始時(shí)，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x1，有：kx1=m1g 掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x2，有：kx2=m2g 。B不再上升，表示此時(shí)A和C的速度為零，C已降到其最

36、低點(diǎn)。由機(jī)械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧性勢(shì)能的增加量為：△E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2) ；C換成D后，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧勢(shì)能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得： 得： 即： 變式3如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為4m的小球A和B由輕彈簧連接，置于光滑水平面上．一顆質(zhì)量為m子彈，以水平速度v0射入A球，并在極短時(shí)間內(nèi)嵌在其中．求：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 （1）什么時(shí)候彈簧的彈性勢(shì)能最大，最大值是多少； （2）A球的最小速度和B球的最大速度。 分析與解答：子彈與A球發(fā)生完全非彈性碰撞，子彈質(zhì)量為m，A球、B球分別都為M，當(dāng)子彈射入A球并嵌入其中的過(guò)程中B球可以看為速度沒(méi)有發(fā)生變化，子彈

37、與A球作為一系統(tǒng)，以子彈入射前為初態(tài)、子彈和A球有共同速度為末態(tài).根據(jù)動(dòng)量守恒定律有： mv0= (m+M)V　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1）以子彈、A球、B球作為一系統(tǒng)，以子彈和A球有共同速度為初態(tài)，子彈、A球、B球速度相同時(shí)為末態(tài)，則： v0 A B 圖15 （m+M）V= (m+M+M)V′　　　　 小錦囊 子彈、A球一起向右運(yùn)動(dòng)，彈簧因被壓縮而產(chǎn)生彈力．A球開(kāi)始減速，B球開(kāi)始加速；當(dāng)兩球速度相等時(shí)，彈簧壓縮量達(dá)到最大值，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大；接著，彈簧開(kāi)始伸長(zhǎng)，彈力繼續(xù)使B加速而使A減速；當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，B球速度達(dá)到最大值，A球

38、速度達(dá)到最小值；然后，彈簧又開(kāi)始伸長(zhǎng)，使A球加速，使B球減速．當(dāng)兩球速度相等時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量達(dá)到最大（此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能與壓縮量最大時(shí)的彈性勢(shì)能相等）……如此反復(fù)進(jìn)行.所以，兩球的速度達(dá)到極值的條件——彈簧形變量為零． 　　 M＝4m解得　　 （2）以子彈和A球有共同速度為初態(tài)，子彈和A球速度最小、B球速度最大為末態(tài)則： （m+M）V= (m+M)VA+MVB　　　　 　　 解得：；　　　　　　 或＝v0；＝0　　　　　　　　 根據(jù)題意求A球的最小速度和B球的最大速度，所以VAmin，VBmax 變式4如圖所示，光滑水平面上有A、B、C三個(gè)物塊，其質(zhì)量分別為mA=2.0kg

39、，mB=1.0kg， mC=1.0kg，現(xiàn)用一輕彈簧將A、B兩物塊連接，并用力緩慢壓縮彈簧使A、B兩物塊靠近，此過(guò)程外力做功108J（彈簧仍處于彈性范圍），然后同時(shí)釋放，彈簧開(kāi)始逐漸變長(zhǎng)，當(dāng)彈簧剛好恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，C恰以4m/s的速度迎面與B發(fā)生碰撞并瞬時(shí)粘連。求： （1）彈簧剛好恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)（B與C碰撞前），A和B物塊速度的大小。 （2）當(dāng)彈簧第二次被壓縮時(shí)，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能。 分析與解答：（1）設(shè)彈簧剛好恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A和B物塊速度的大小分別為、 聯(lián)立解得 （2）彈簧第二次被壓縮到最短時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能最大，此時(shí)A、B、C具有相同的速度，設(shè)此速度為 ；所以；C與B碰撞，設(shè)

40、碰后B、C粘連時(shí)的速度為；； 故：彈簧第二次被壓縮最短時(shí)，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能為： 變式5如圖所示，一質(zhì)量為m的塑料球形容器放在水平桌面上，它的內(nèi)部有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，彈簧直立地固定于容器內(nèi)壁的底部，彈簧上端固定一只電荷量為q的帶正電小球，小球質(zhì)量也為m，與彈簧絕緣。某時(shí)刻加一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)。試求： （1）從加上電場(chǎng)時(shí)刻起，到容器對(duì)桌面壓力減為零時(shí)止，電場(chǎng)力對(duì)小球做的功。 （2）容器對(duì)桌面壓力為零時(shí)，小球的速度大小。 分析與解答：（1）開(kāi)始時(shí)，彈簧壓縮量為x1＝ 容器對(duì)桌面壓力為零時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為x2＝ 所以電場(chǎng)力做功為W＝qE(x1＋x2)＝

41、 （2）開(kāi)始時(shí)和容器對(duì)桌面壓力為零時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能相等：W－mg(x1＋x2)＝－0 解得：v＝ 經(jīng)典例題如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的A、B兩重物用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧豎直地連接起來(lái)，使彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，兩物從靜止開(kāi)始自由下落，下落過(guò)程中彈簧始終保持豎直狀態(tài)。當(dāng)重物A下降距離h時(shí)，重物B剛好與地面相碰，假定碰后的瞬間重物B不離開(kāi)地面（B與地面作完全非彈性碰撞）但不粘連。為使重物A反彈時(shí)能將重物B提離地面，試問(wèn)下落高度h至少應(yīng)為多少？（提示：彈簧形變量為x時(shí)的彈性勢(shì)能為EP=） 分析與解答：B觸地時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)，A的速度為：，A壓縮彈簧，后被向上彈起彈簧又恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，因機(jī)械守

42、恒，可知A的速度仍為：，A繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)拉伸彈簧，設(shè)vA=0時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x，則要使此時(shí)B能被提離地面，應(yīng)有：kx=Mg 而在此彈簧被拉伸的過(guò)程對(duì)A和彈簧有： 由上幾式可解得： 變式1 如圖1，在光滑水平長(zhǎng)直軌道上，放著一個(gè)靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各聯(lián)結(jié)一個(gè)小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等，現(xiàn)突然給左端小球一個(gè)向右的速度u0，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，每個(gè)小球的速度(2)如圖，將N個(gè)這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子被壓縮至彈簧為某一長(zhǎng)度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時(shí)它的彈性勢(shì)能為E0，其余的振子間都有一定距離，現(xiàn)解除對(duì)振子1的鎖定，任其自由運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，剛好與振

43、子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一些碰撞，每一個(gè)振子被碰后都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)與下一振子相碰，求所有的碰撞都發(fā)生后，每個(gè)振子彈性勢(shì)能的最大值，已知兩球相撞時(shí)，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。 分析與解答：⑴振子從初態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長(zhǎng)度的過(guò)程中，彈簧一直處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)兩球速度相同均為時(shí)，( 即為時(shí)刻)彈簧壓縮最短，t0 --t彈簧逐漸恢復(fù)原長(zhǎng)，當(dāng)t時(shí)刻彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，左小球速度為零，右小球速度為u0，即兩小球互換速度 (2)從振子1解除鎖定到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程中，右小球向右加速，左小球向左加速且具有瞬時(shí)對(duì)稱(chēng)性，兩小球和彈簧組成的系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，設(shè)向

44、右為正向，則有：，，解得： 且在此時(shí)刻振子1的右小球與振子2的左小球相碰，碰后它們互換速度，此時(shí)振子1左小球的速度仍為v1.此后振子1向左運(yùn)動(dòng)，左小球向左減速，右小球向左加速，當(dāng)其速度相同時(shí)彈簧拉伸至最長(zhǎng)，彈性勢(shì)能最大，設(shè)兩球的共速為 則有：，，解得 變式2 如圖所示，質(zhì)量為M的L型長(zhǎng)木板靜止在光滑水平面上，在木板的右端有一質(zhì)量為m的小銅塊，現(xiàn)給銅塊一個(gè)水平向左的初速度vo，銅塊向左滑行并與固定在木板左端的長(zhǎng)度為的輕彈簧相碰，碰后返回且恰好停在木板的右端，求：銅塊與彈簧作用過(guò)程中彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能. 小錦囊 尤其要注意對(duì)本題隱含條件的挖掘,銅塊與彈簧相碰,碰后返回恰好停在木板的右

45、端,說(shuō)明此時(shí)銅塊與木板存在著相同的對(duì)地速度,因此,全過(guò)程銅塊與木板的碰撞相當(dāng)于完全非彈性正碰,因此木板的上表面必存在摩擦力。 分析與解答：第一階段為從銅塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到彈簧壓縮最短，此時(shí)銅塊與木板具有相同的速度v1，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律可得：； 第二階段為從彈簧壓縮最短到銅塊運(yùn)動(dòng)到木板的最右端，此時(shí)它們具有相同的速度v2，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律可得： 可解之：， 變式3 質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為X0，一物塊從鋼板正上方距離為3X0的A處自由落下，和鋼板相碰后共同向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，若物塊

46、質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰好不分離。若物塊質(zhì)量為2m，仍從A處自由下落，則物塊回到彈簧原長(zhǎng)處O點(diǎn)時(shí)還有速度，求：物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)（彈簧的原長(zhǎng)位置）的距離 分析與解答：物塊下落過(guò)程中機(jī)械能守恒，有：mg3x0=mv2/2，碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，有：mv=2mv’，后段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中它們恰好不分離，得：在最高點(diǎn)速度為0，彈簧正好是原長(zhǎng)，由機(jī)械能守恒得：Ep+ (2m)v’2/2=2mgx0 當(dāng)物塊質(zhì)量為2m時(shí)：物塊下落過(guò)程中2mg.3 x0=（2m）v2/2 碰撞過(guò)程： 2mv=3mv’ 機(jī)械能守恒得：Ep+1/2(3m)v’2=3mgx0+（3mg ）v”2/2 物塊上升過(guò)程中：（2

47、m）v”2/2=mgh 解以上各式得： h=x0 經(jīng)典例題圖中，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平導(dǎo)軌上，彈簧處在原長(zhǎng)狀態(tài)。另一質(zhì)量與B相同滑塊A，從導(dǎo)軌上的P點(diǎn)以某一初速度向B滑行，當(dāng)A滑過(guò)距離時(shí)，與B相碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A、B緊貼在一起運(yùn)動(dòng)，但互不粘連。已知最后A恰好返回出發(fā)點(diǎn)P并停止。滑塊A和B與導(dǎo)軌的滑動(dòng)摩擦因數(shù)都為，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧最大形變量為，求A從P出發(fā)時(shí)的初速度。 分析與解答：令A(yù)、B質(zhì)量皆為m，A剛接觸B時(shí)速度為（碰前），由功能關(guān)系，有 A、B碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，令碰后A、B共同運(yùn)動(dòng)的速度為有：，碰后A、B先一起向左運(yùn)動(dòng)，接著A、B一起被彈回

48、，在彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，設(shè)A、B的共同速度為，在這過(guò)程中，彈簧勢(shì)能始末兩態(tài)都為零，利用功能關(guān)系，有： 此后A、B開(kāi)始分離，A單獨(dú)向右滑到P點(diǎn)停下，由功能關(guān)系有： 由以上各式，解得： 變式1 如圖所示，質(zhì)量均為m的兩球AB間有壓縮的輕、短彈簧處于鎖定狀態(tài)，放置在水平面上豎直光滑的發(fā)射管內(nèi)(兩球的大小尺寸和彈簧尺寸都可忽略，他們整體視為質(zhì)點(diǎn))，解除鎖定時(shí)，A球能上升的最大高度為H，現(xiàn)在讓兩球包括鎖定的彈簧從水平面出發(fā)，沿光滑的半徑為R的半圓槽從右側(cè)由靜止開(kāi)始下滑，至最低點(diǎn)時(shí)，瞬間鎖定解除，求A球離開(kāi)圓槽后能上升的最大高度。 分析與解答：解除鎖定后彈簧將彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為A的機(jī)械能，則彈簧彈性

49、勢(shì)能為： E彈=mgHAB，系統(tǒng)由水平位置滑到圓軌道最低點(diǎn)時(shí)速度為v0，解除彈簧鎖定后A、B的速度分別為vA、vB則有 2mgR=2×m v02/2 2m v0 =mvA+m vB 2×m v02/2+ E彈= m vA2/2+ m vB2/2 將vB=2 v0 -vA代入能量關(guān)系得到 2mgR+mgH= m vA2/2+ m (2 v0 -vA)2/2 v0 =(2gR)1/2 得到：vA =(2gR)1/2+（gH）1/2 相對(duì)水平面上升最大高度h，則：h+R= vA2/2g h=H/2+(2RH)1/2 變式2如圖所示，長(zhǎng)木板ab的b端固定一擋板，擋板上

50、固定一原長(zhǎng)為l0的輕彈簧，木板連同擋板的質(zhì)量為M，a、b間距離為s，木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物塊，其質(zhì)量為m，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，它們都處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)令小物塊以初速v0沿木板向前滑動(dòng)，直到和彈簧相碰，碰后小物塊又返回并恰好回到a端而不脫離木板。求： （1）彈簧的最大彈性勢(shì)能。 （2）彈簧的最大形變量。 分析與解答：（1）小物塊壓縮彈簧到最短時(shí)的速度及小物塊回到a端時(shí)的速度相等，由動(dòng)量守恒得：mv0=（m+M）v， 全過(guò)程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能為： 彈簧的最大彈性勢(shì)能為所產(chǎn)生的內(nèi)能的一半，即： （2）系統(tǒng)損失的機(jī)械能用克服摩擦力做功上，由此可得：ΔE=μmg·

51、2（s－l0+x） 即：=μmg·2（s－l0+x）解得x =+ l0－s 變式3 質(zhì)量為M=3Kg的小車(chē)放在光滑的水平面上，物塊A和B的質(zhì)量為mA=mB=m=1Kg，放在小車(chē)的光滑水平底板上，物塊A和小車(chē)右側(cè)壁用一根輕彈簧連結(jié)起來(lái)，不會(huì)分離。物塊A和B并排靠在一起，現(xiàn)用力壓B，并保持小車(chē)靜止，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，在此過(guò)程中外力做功W=135J，如圖所示。撤去外力，當(dāng)B和A分開(kāi)后，在A達(dá)到小車(chē)底板的最左端位置之前，B已從小車(chē)左端拋出（A不會(huì)從車(chē)上落下）。求： （1）B與A分離前的過(guò)程中A對(duì)B做了多少功； （2）整個(gè)過(guò)程中，彈簧從壓縮狀態(tài)開(kāi)始，第二次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，物塊A和小車(chē)的速度。

52、分析與解答：由題意知，在撤去外力之時(shí)，A、B與小車(chē)具有的總機(jī)械能為E=W=135J （1）A、B分離時(shí)，速度相等，設(shè)大小為VA1、方向向左，小車(chē)的速度大小為VC1、方向向右。此時(shí)A、B之間無(wú)相互作用力，所以彈簧處于自然長(zhǎng)度，彈性勢(shì)能為0。從撤去外力到A、B分離的過(guò)程中，A、B與小車(chē)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守同盟，即： ， 解得：VA1=3m/s ；VC1=2m/s B與A分離過(guò)程中A對(duì)B做功等于B的動(dòng)能的增量，即： （2）設(shè)彈簧第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A的速度為VA2，小車(chē)的速度為VC2，設(shè)水平向右為正方向，根據(jù)能量守恒星動(dòng)量守恒得： mVA2+MVC2=MVC1－mVA1 解得：

53、VA2=－3m/s；VC2=2m/s或：VA2=4.5m/s；VC2=－0.5m/s 由于彈簧是由伸長(zhǎng)狀態(tài)變?cè)L(zhǎng)狀態(tài)，所以必然有VA2> VC2，所以第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A的速度大小為4.5m/s，方向水平向右；小車(chē)的速度大小為0.5m/s，方向水平向左。 變式4 在納米技術(shù)中需要移動(dòng)或修補(bǔ)原子，必須使在不停地做熱運(yùn)動(dòng)（速率約幾百米每秒）的原子幾乎靜止下來(lái)且能在一個(gè)小的空間區(qū)域內(nèi)停留一段時(shí)間，為此已發(fā)明了“激光致冷”的技術(shù)，若把原子和入射光子分別類(lèi)比為一輛小車(chē)和一個(gè)小球，則“激光致冷”與下述的力學(xué)模型很類(lèi)似。一輛質(zhì)量為m的小車(chē)（一側(cè)固定一輕彈簧），如圖所示以速度v0水平向右運(yùn)動(dòng)，一個(gè)動(dòng)量大小

54、為p，質(zhì)量可以忽略的小球水平向左射入小車(chē)并壓縮彈簧至最短，接著被鎖定一段時(shí)間ΔT，再解除鎖定使小球以大小相同的動(dòng)量p水平向右彈出，緊接著不斷重復(fù)上述過(guò)程，最終小車(chē)將停下來(lái)，設(shè)地面和車(chē)廂均為光滑，除鎖定時(shí)間ΔT外，不計(jì)小球在小車(chē)上運(yùn)動(dòng)和彈簧壓縮、伸長(zhǎng)的時(shí)間，求： （1）小球第一次入射后再?gòu)棾鰰r(shí)，小車(chē)的速度的大小和這一過(guò)程中小車(chē)動(dòng)能的減少量。 （2）從小球第一次入射開(kāi)始到小車(chē)停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。 V0 分析與解答：（1）小球射入小車(chē)和從小車(chē)中彈出的過(guò)程中，小球和小車(chē)所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。由動(dòng)量守恒定律得（取向右為正）； 得：， （2）小球第二次入射和彈出的過(guò)程，及以后重復(fù)進(jìn)行

55、的過(guò)程中，小球和小車(chē)所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。由動(dòng)量守恒定律得：； ，同理可推得，要使小車(chē)停下來(lái)，即vn=0，小球重復(fù)入射和彈出的次數(shù)為，故小車(chē)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停下來(lái)所經(jīng)歷時(shí)間為 h A B C 變式5 如圖所示，A、B兩物體與一輕質(zhì)彈簧相連，靜止在地面上，有一小物體C從距A物體h高度處由靜止釋放，當(dāng)下落至與A相碰后立即粘在一起向下運(yùn)動(dòng)，以后不再分開(kāi)，當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，物體B對(duì)地面剛好無(wú)壓力、設(shè)A、B、C三物體的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度k，不計(jì)空氣阻力且彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。若彈簧的彈性勢(shì)能由彈簧勁度系數(shù)和形變量決定，求C物體下落時(shí)的高度h。 分析與解答：開(kāi)始時(shí)A處于平衡狀態(tài)，

56、有　　 當(dāng)C下落h高度時(shí)速度為，則有：　　 C與A碰撞粘在一起時(shí)速度為，由動(dòng)量守恒有：　　 當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高時(shí)，B對(duì)地面無(wú)壓力，即：　　 可得：　?。?分）所以最高時(shí)彈性勢(shì)能與初始位置彈性勢(shì)能相等。 由機(jī)械能守恒有：，解得： 經(jīng)典例題在科技活動(dòng)中某同學(xué)利用自制的電子秤來(lái)稱(chēng)量物體的質(zhì)量，如圖所示，為電子秤的原理圖，托盤(pán)和彈簧的電阻與質(zhì)量均不計(jì).滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)端與彈簧上端連接，當(dāng)托盤(pán)中沒(méi)有放物體時(shí)，電壓表示數(shù)為零.設(shè)變阻器的總電阻為R，總長(zhǎng)度為l，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，限流電阻的阻值為R0，彈簧勁度系數(shù)為k，不計(jì)一切摩擦和其他阻力，電壓表為理想表，當(dāng)托盤(pán)上放上某物體時(shí)，電壓

57、表的示數(shù)為U，求此時(shí)稱(chēng)量物體的質(zhì)量. 分析與解答：設(shè)托盤(pán)上放上質(zhì)量為m的物體時(shí)，彈簧的壓縮量為x，由題設(shè)知： mg=kx，則x= 由全電路歐姆定律知： I= U=I·R′=I· 解得： 變式1 角速度計(jì)可測(cè)量飛機(jī)、航天器等的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，其結(jié)構(gòu)如圖所示。當(dāng)系統(tǒng)OO/轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，元件A發(fā)生位移并輸出電壓信號(hào)，成為飛機(jī)、航天器等的制導(dǎo)系統(tǒng)的信號(hào)源。已知A的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為K、自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)，電源的電動(dòng)勢(shì)為E、內(nèi)阻不計(jì)，滑動(dòng)變阻器總長(zhǎng)度為 l。電阻分布均勻，系統(tǒng)靜止時(shí)P在B點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)導(dǎo)出輸出電壓U和ω的函數(shù)式。(要求：寫(xiě)出每步理由及主要方程) 分析與解答：設(shè)穩(wěn)定狀

58、態(tài)時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)為x，物塊A在彈力Kx的作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。Kx=mω2(L+x)，因電阻分布均勻，所以阻值與長(zhǎng)度成正比：，根據(jù)全電路的歐姆定律及分壓公式：，由以上三式解得： 經(jīng)典例題如圖所示，固定的水平光滑金屬導(dǎo)軌，間距為L(zhǎng)，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連，放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻均可忽略．初始時(shí)刻，彈簧恰處于自然長(zhǎng)度，導(dǎo)體棒具有水平向右的初速度v0．在沿導(dǎo)軌往復(fù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸． (1)求初始時(shí)刻導(dǎo)體棒受到的安培力． (2)若導(dǎo)體棒從初始時(shí)刻到速度第一次為零時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)

59、能為Ep，則這一過(guò)程中安培力所做的功W1和電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q1分別為多少? (3)導(dǎo)體棒往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最終將靜止于何處?從導(dǎo)體棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)直到最終靜止的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為多少? 分析與解答：（1）初始時(shí)刻棒中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)： 棒中感應(yīng)電流： 作用于棒上的安培力 聯(lián)立得安培力方向：水平向左 （2）由功和能的關(guān)系，得，安培力做功 電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱 （3）由能量轉(zhuǎn)化及平衡條件等，可判斷：棒最終靜止于初始位置 彈簧是中學(xué)物理中常見(jiàn)的模型．它總是與其他物體直接或間接地聯(lián)系在一起，通過(guò)彈簧的伸縮形變，使與之相關(guān)聯(lián)的物體發(fā)生力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、動(dòng)量和能量等方面的改變．因而，這類(lèi)問(wèn)題具有很強(qiáng)的隱蔽性和綜合性特征，也為學(xué)生的想象和推理提供了一個(gè)多變的思維空間．以彈簧模型命題的高考試題在歷年高考中頻頻出現(xiàn)，解決此類(lèi)題的關(guān)鍵在于能對(duì)與彈簧相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)進(jìn)行正確的力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系分析、功能關(guān)系的分析，并抓住彈簧的基本特征，正確地運(yùn)用力學(xué)規(guī)律． 25