2022年高中數(shù)學 第一章《解三角形應(yīng)用舉例》教案4 新人教A版必修5

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1、2022年高中數(shù)學 第一章《解三角形應(yīng)用舉例》教案4 新人教A版必修5 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用 過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。 情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理

2、的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗 ●教學重點 推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目 ●教學難點 利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 ●教學過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在 ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆? 生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA 師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC

3、代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？ 生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？ 生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

4、 分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。 解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm) (2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = b A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.16≈4.0(cm) (3)根據(jù)

5、余弦定理的推論，得 cosB = = ≈0.7697 sinB = ≈≈0.6384 應(yīng)用S=acsinB，得 S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm) 例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？ 師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？ 生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。 由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結(jié)。 解：設(shè)a=68m,b=88m,c

6、=127m,根據(jù)余弦定理的推論， cosB= =≈0.7532 sinB=0.6578 應(yīng)用S=acsinB S ≈681270.6578≈2840.38(m) 答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。 例3、在ABC中，求證： （1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明 證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k 顯然 k0，所以 左邊= ==右邊

7、 （2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊 變式練習1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S 提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。 答案：a=6,S=9;a=12,S=18 變式練習2：判斷滿足下列條件的三角形形狀， （1） acosA = bcosB （2） sinC = 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊” （1） 師：大家嘗試分別用兩個定

8、理進行證明。 生1：（余弦定理）得 a=b c= 根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形 生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B, 2A=2B, A=B 根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形 師：根據(jù)該同學的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？ 生：第一位同學的正確。第二位同學遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補，即2A+2B=180，A+B=90 (2)（解略）直角三角形 Ⅲ.課堂練習 課本第21頁練習第1、2題 Ⅳ.課時小結(jié) 利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。 Ⅴ.課后作業(yè) 課本第23頁練習第12、14、15題 ●板書設(shè)計 ●授后記