2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 計數(shù)原理 二項式定理教學案（理）

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1、 (理)第2講　計數(shù)原理　二項式定理 [考情考向·高考導航] 1．以實際生活為背景考查計數(shù)原理，排列與組合的簡單應用，以客觀題形式出現(xiàn)，難度中檔． 2．考查二項式的通項公式、二項展開式的系數(shù)等簡單問題，以選擇題的形式出現(xiàn)，難度低中檔． [真題體驗] 1．(2018·全國Ⅰ卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案) 解析：當有1位女生入選時，有CC＝12(種)， 當有2位女生入選時，有CC＝4(種)， 由分類加法計數(shù)原理可得不同選法共有12＋4＝16(種)． 答案：16 2．(2017·

2、全國Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種　　　　　　　　 B．18種 C．24種 D．36種 解析：D　[只能是一個人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得C·A＝36.] 3．(2018·全國Ⅲ卷)5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 解析：C　[5的第k＋1項為Tk＋1＝C2kx10－3k.令10－3k＝4，得k＝2.∴x4的系數(shù)為C×22＝40.] 4．(2019·全國Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為(　

3、　) A．12 B．16 C．20 D．24 解析：A　[本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．由題意得x3的系數(shù)為C＋2C＝4＋8＝12，故選A.] [主干整合] 1．排列與組合公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝＝. (3)C＝C；C＝C＋C. (4)C＝C＝C＝C. 2．二項式定理 (1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，二項展開式的通項Tr＋1＝Can－rbr. (2)在二項展開式中，C＝C(r＝0,1,2，…，n)． (3)C＋C＋…＋C＝2n. (4)相鄰

4、項的二項式系數(shù)的關(guān)系為C＋C＝C. 熱點一　計數(shù)原理的簡單應用 [題組突破] 1．(2019·石家莊質(zhì)檢)五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________．五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種． 解析：五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法．五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性． 答案：45；54 2．(2020·大連模擬)現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一

5、道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有________種． 解析：分兩類：①第一道工序安排甲時有1×1×4×3＝12種； ②第一道工序不安排甲有1×2×4×3＝24種． ∴共有12＋24＝36種． 答案：36 3．(2020·百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學為豐富學生的伙食，教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有(　　) 1 2 3 4 A.9種　　　　　　　　

6、 B．18種 C．12種 D．36種 解析：B　[若種植2塊西紅柿，則他們在13,14或24位置上種植，剩下兩個位置種植黃瓜和茄子，所以共有3×2＝6(種)種植方式； 若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有6×3＝18(種)種植方式．] 　 (1)在應用分類加法計算原理和分步乘法計算原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理． (2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化． 熱點二　排列與組合的應用 數(shù)學 建模 素養(yǎng) 數(shù)學建模——排列組合問題中的核心素養(yǎng) 用排列組合解決實際問題的關(guān)鍵是排列組合模

7、型，將實際問題抽象為數(shù)學問題，充分體現(xiàn)了“數(shù)學建模”的核心素養(yǎng). [例1]　(1)(2020·濰坊模擬)中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”，主要指德育：“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學．某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有(　　) A．120種　　　　　　　　 B．156種 C．188種 D．240種 [解析]　A　[當“數(shù)”排在第一節(jié)時有A·A＝48(種)

8、排法，當“數(shù)”排在第二節(jié)時有A·A·A＝36(種)排法，當“數(shù)”排在第三節(jié)時，若“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有A·A＝12(種)排法；若“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)時有A·A·A＝24(種)排法，所以滿足條件的共有48＋36＋12＋24＝120(種)排法．] (2)(2020·吉林調(diào)研)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) [解析]　法一：只有1名女生時，先選1名女生，有C種方法；再選3名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法．由分步乘法計數(shù)原理，

9、知共有CCA＝480(種)選法． 有2名女生時，再選2名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法．由分步乘法計數(shù)原理，知共有CA＝180(種)選法．所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有480＋180＝660(種)不同的選法． 法二：不考慮限制條件，共有AC種不同的選法，而沒有女生的選法有AC種． 故至少有1名女生的選法有AC－AC＝840－180＝660(種)． [答案]　660 (3)(2018·浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．(用數(shù)字作答) [解析]　CCA＋CCCA＝720＋

10、540＝1 260. [答案]　1 260 求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘． 具體地說，解排列組合的應用題，通常有以下途徑 (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 解答計數(shù)問題多利用分類討論思想．分類應在同一標準下進行，確?！安宦?、“不重”． (1)(2020·福州模擬)福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一

11、個人，剩下的兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有(　　) A．90種 B．180種 C．270種 D．360種 解析：B　[可分兩步：第一步，甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，有A種不同的安排方案；第二步，剩下兩個展區(qū)各兩個人，有CC種不同的安排方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方案的種數(shù)為ACC＝180.故選B.] (2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 解析：記5件產(chǎn)品為A、B、C、D、E，A、B相鄰視為一個元素，先與D、E排列，有AA種方法；再將C插入，僅有3個空位可選，共有AAC＝2×6×3＝36種

12、不同的擺法． 答案：36 熱點三　二項式定理的應用 與特定項有關(guān)的問題 [例2－1]　(1)(2020·揭陽模擬)已知(x＋1)5的展開式中常數(shù)項為－40，則a的值為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．－2 C．±2 D．4 [解析]　C　[5展開式的通項公式為 Tk＋1＝C(ax)5－kk＝(－1)ka5－kCx5－2k， 令5－2k＝－1，可得k＝3， 結(jié)合題意可得(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40， ∴a＝±2.] (2)(2019·漢中二模)5的展開式中整理后的常數(shù)項為________． [解析]　5＝10的通項公式： Tr＋1＝C(

13、)10－rr＝Cx5－r，令5－r＝0，解得r＝5.所以常數(shù)項＝C＝252. [答案]　252 展開式中系數(shù)的和 [例2－2]　(1)(2020·德州調(diào)研)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32，則a＝________. [解析]　設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3. [答案]　3 (2)(2019·寧夏二模)

14、已知(ax＋b)6的展開式中含x4項的系數(shù)與含x5項的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項系數(shù)之和為(　　) A．－1 B．1 C．32 D．64 [解析]　D　[由二項展開式的通項公式可知含x4項的系數(shù)為Ca4b2，含x5項的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64，故選D.] 與二項式定理有關(guān)的類型及解法 類型 解法 求特定項或其系數(shù) 常采用通項公式分析求解 系數(shù)的和或差 常用賦值法 近似值問題 利用展開式截取部分項求解 整除(或余數(shù))問題 利用展開式求解 (

15、1)(2019·石家莊二模)設(shè)a＝sin xdx，則6的展開式中常數(shù)項是(　　) A．－160 B．160 C．－20 D．20 解析：A　[依題意得，a＝＝－(cos π－cos 0)＝2， 6＝6的展開式的通項Tr＋1＝C·(2)6－rr＝C·26－r·(－1)r·x3－r. 令3－r＝0，得r＝3. 因此6的展開式中的常數(shù)項為C×23×(－1)3＝－160，故選A.] (2)(2019·蘭州二模)已知(x2＋2x＋3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　) A．60 B．180 C．520 D．540 解析：D　[(x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋

16、3y)相乘，從中選2個y，有C種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有C·C種選法；所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C＝540.] (3)(2019·煙臺三模)若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝________. 解析：f(x)＝x5＝(1＋x－1)5， 它的通項為Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k， T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10. 答案：10 限時40分鐘　滿分80分 一、選擇題(本大題共1

17、2小題，每小題5分，共60分) 1．(2020·濟寧模擬)從4臺甲型裝載機和5臺乙型裝載機中任意取出3臺，在取出的3臺中至少有甲型和乙型裝載機各一臺，則不同的取法共有(　　) A．84種 　　　　　　　　 B．80種 C．70種 D．35種 解析：C　[根據(jù)題意可分為以下2種情況進行考慮：(1)甲型裝載機2臺和乙型裝載機1臺，取法有CC＝30種；(2)甲型裝載機1臺和乙型裝載機2臺，取法有CC＝40種．所以不同的取法共有30＋40＝70種．] 2．(2019·唐山二模)用兩個1，一個2，一個0可組成不同四位數(shù)的個數(shù)是(　　) A．18 B．16 C．12 D．9 解析：D

18、　[若把兩個1看作不同的數(shù)，先安排0有3種情況，安排第2個數(shù)有3種情況，安排第3個數(shù)有2種情況，安排第4個數(shù)有1種情況，一共有3×3×2×1＝18種情況，由于有兩個1，所以其中一半重復，故有9個四位數(shù)．] 3．(全國卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 解析：C　[由(2x－y)5展開式的通項公式：Tr＋1＝C(2x)5－r(－y)r可得： 當r＝3時，x(2x－y)5展開式中x3y3的系數(shù)為C×22×(－1)3＝－40 當r＝2時，y(2x－y)5展開式中x3y3的系數(shù)為C×23×(－1)2＝80， 則

19、x3y3的系數(shù)為80－40＝40. 本題選擇C選項．] 4．(2020·合肥調(diào)研)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有(　　) A．250個 B．249個 C．48個 D．24個 解析：C　[①當千位上的數(shù)字為4時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)；②當千位上的數(shù)字為3時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個)，故選C.] 5．(2020·龍巖模擬)若n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是(　　) A．－462 B．462 C．792 D

20、．－792 解析：D　[∵n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大， ∴n為偶數(shù)，展開式共有13項，則n＝12. 12的展開式的通項公式為Tk＋1＝(－1)kC·x12－2k，令12－2k＝2，即k＝5. ∴展開式中含x2項的系數(shù)是(－1)5C＝－792.] 6．(2019·渭南二模)已知n(n∈N*)展開式中所有項的系數(shù)的和為243，則該展開式中含項的系數(shù)為(　　) A．20 B．－20 C．640 D．－640 解析：A　[∵n(n∈N*)展開式中所有項的系數(shù)的和為3n＝243，∴n＝5，故n＝5，它的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－1)r·45－r·x－.令－＝－2

21、，得r＝4，∴展開式中含項的系數(shù)為C×4＝20.] 7．現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各3張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同的取法種數(shù)是(　　) A．135 B．172 C．189 D．162 解析：C　[由題意，不考慮特殊情況有C種取法，其中每一種卡片各取3張有4種取法，兩張紅色卡片共有CC種取法，故所求的取法種數(shù)為C－4－CC＝189，選C.] 8．(2020·惠州二調(diào))某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學生甲要想報考某高校的法學專業(yè)，就

22、必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數(shù)為(　　) A．6 B．12 C．18 D．19 解析：D　[在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種．所以學生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)，故選D.] 9．(2020·成都診斷)已知x5(x＋3)3＝a8(x＋1)8＋a7(x＋1)7＋…＋a1(x＋1)＋a0，則7a7＋5a5＋3a3＋a1＝(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 解析：B　[對x5(x＋3)3＝a8(x＋1)8＋a7(x＋

23、1)7＋…＋a1(x＋1)＋a0兩邊求導，得5x4(x＋3)3＋3x5(x＋3)2＝8a8(x＋1)7＋7a7(x＋1)6＋…＋a1，令x＝0，得0＝8a8＋7a7＋…＋a1，令x＝－2，得5×(－2)4×(－2＋3)3＋3×(－2)5×(－2＋3)2＝－8a8＋7a7＋…－2a2＋a1，兩式左右分別相加，得－16＝2(7a7＋5a5＋3a3＋a1)，即7a7＋5a5＋3a3＋a1＝－8，選B.] 10．(2020·鄭州模擬)5位大學畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，則不同的分配方法共有(　　) A．25種 B．60種 C．90種 D．150種 解析：D　[因為5位大學畢

24、業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，所以共有兩種方法：一，一個單位1名，其他兩個單位各2名，有×A＝90(種)分配方法；二，一個單位3名，其他兩個單位各1名，有C×A＝60(種)分配方法，共有90＋60＝150(種)分法，故選D.] 11．(2019·江西上饒三模)已知m＝3cosdx，則(x－2y＋3z)m的展開式中含xm－2yz項的系數(shù)等于(　　) A．180 B．－180 C．－90 D．15 解析：B　[由于m＝3cosdx＝3sin xdx ＝(－3cos x) ＝6， 所以(x－2y＋3z)m＝(x－2y＋3z)6＝[(x－2y)＋3z]6， 其展開式的通項

25、為C(x－2y)6－k(3z)k， 當k＝1時，展開式中才能含有x4yz項，這時(x－2y)5的展開式的通項為C·x5－S(－2y)S， 當S＝1時，含有x4y項，系數(shù)為－10， 故(x－2y＋3z)6的展開式中含x4yz項的系數(shù)為 C·(－10)×3＝－180.] 12．(2019·濰坊三模)為迎接建國七十周年，某校舉辦了“祖國，你好”的詩歌朗誦比賽．該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學生中選派4名學生參加，要求甲、乙、丙這3名同學中至少有1人參加，且當這3名同學都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學生中不同的朗誦順序的種數(shù)為(　　) A．720 B．76

26、8 C．810 D．816 解析：B　[由題意知結(jié)果有三種情況．(1)甲、乙、丙三名同學全參加，有CA＝96(種)情況，其中甲、乙相鄰的有CAA＝48(種)情況，所有當甲、乙、丙三名同學全參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰的有96－48＝48(種)情況；(2)甲、乙、丙三名同學恰有一人參加，不同的朗誦順序有CCA＝288(種)情況；(3)甲、乙、丙三名同學恰有二人參加時，不同的朗誦順序有CCA＝432(種)情況．則選派的4名學生不同的朗誦順序有288＋432＋48＝768(種)情況，故選B.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．從1,3,5,8,9中任取3個數(shù)字

27、，從0,2,7,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)．(用數(shù)字作答) 解析：CCA＋CCCA＝3 600＋2 160＝5 760. 答案：5 760 14．(2019·天水二模)(1＋x)(1－x)6的展開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答) 解析：由題意可知，(1－x)6展開式的通項為 Tr＋1＝C·16－r·(－x)r＝(－1)rC·xr， 則(1＋x)(1－x)6的展開式中，含x3的項為(－1)3Cx3＋x·(－1)2Cx2＝－20x3＋15x3＝－5x3，所以x3的系數(shù)是－5. 答案：－5 15．(2019·浙江卷)在二項式

28、(＋x)9的展開式中，常數(shù)項是________，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________． 解析：此類問題解法比較明確，首要的是要準確記憶通項公式，特別是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計算要細心，確保結(jié)果正確． (＋x)9的通項為Tr＋1＝C()9－rxr(r＝0,1,2…9) 可得常數(shù)項為T1＝C()9＝16， 因系數(shù)為有理數(shù)，r＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5個項． 答案：16　5 16．(2020·甘肅模擬)根據(jù)黨中央關(guān)于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門決定派出五位相關(guān)專家對三個貧困地區(qū)進行調(diào)研，每個地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為________(用數(shù)字作答)． 解析：由題意可知，可分為兩類： 一類：甲乙在一個地區(qū)時，剩余的三位分為兩組，再三組派遣到三個地區(qū)，共有CA＝18種不同的派遣方式； 另一類：甲乙和剩余的三人中的一個人同在一個地區(qū)，另外兩人分別在兩個地區(qū)，共有CA＝18種不同的派遣方式；由分類加法計數(shù)原理可得，不用的派遣方式共有18＋18＝36種不同的派遣方式． 答案：36 - 11 -