2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-7 拋物線《教案》 【教學目標】 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)． 2.理解數(shù)形結合的思想． 　3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用。 【重點難點】 1.教學重點：掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質; 2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學策略與方法】 自主學習、小組討論法、師生互動法 【教學過程】 教學流程 教師活動 學生活動 設計意圖

2、 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)． 2.理解數(shù)形結合的思想． 3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用。 真題再現(xiàn); 1.(xx·全國Ⅰ)以拋物線

3、C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　不妨設拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，又可設A(x0，2)， D，點A(x0，2)在拋物線y2＝2px上， ∴8＝2px0，①點A(x0，2)在圓x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②點D在圓x2＋y2＝r2上， ∴5＋＝r2，③聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點到準線的距離為p＝4，故選B.答案　B 2.(xx·陜西，14)若拋物線y2＝2px(p＞0)的準

4、線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝________. 解析　由于雙曲線x2－y2＝1的焦點為(±，0)，故應有＝，p＝2.答案　2 3.(xx·全國Ⅱ，11)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則C的方程為(　　) A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x 解析　設點M的坐標為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|＝x0＋＝5，則x0＝5－.又點F的坐標為，所以以MF為直徑的圓的方程為(x－x0)＋(y－y0)y＝0

5、.將x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由y＝2px0，得16＝2p，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C. 答案　C 知識梳理： 知識點1　拋物線的定義 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線． 知識點2　拋物線的標準方程與幾何性質 標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點

6、O(0,0) 對稱軸 x軸 y軸 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ 1．必會結論；設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓與準線相切． (4

7、)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p.通徑是過焦點最短的弦． 2．必知聯(lián)系；(1)若拋物線的開口方向不能確定，可設拋物線的標準方程為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． (2)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線相切，或直線平行于對稱軸，即由得ay2＋by＋c＝0或ax2＋bx＋c＝0.當時，直線與拋物線相切，當a＝0時，此時直線就是與對稱軸平行的直線． 考點分項突破 考點一：拋物線的準線方程及幾何性質 1.已知拋物線的焦點在x軸上，其上一點P(－3，m)到焦點的距離為5，則拋物線的標準方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2

8、＝－4x 【解析】　依題意得，－(－3)＝5，∴p＝4.∴拋物線方程為y2＝－8x.故選B.【答案】　B 2．設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 【解析】　由已知得拋物線的焦點F，設點A(0,2)，點M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8.故C的方程為y2＝4x或y2＝16x

9、.故選C.【答案】　C 3．(xx·湖南高考)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則＝________. 【解析】　∵正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b，O為AD的中點，∴C，F(xiàn). 又∵點C，F(xiàn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，∴解得＝＋1. 【答案】?。? 歸納；1．拋物線幾何性質的確定 由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程． 2．求拋物線的標準方程的方法及流程 (1)方法：求拋物線的標準方

10、程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可． (2)流程：因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量． 考點二: 拋物線的定義及應用 ●命題角度1　到焦點的距離與到準線的距離的轉化 1．(xx·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．8 【解析】　如圖，F(xiàn)，過A作AA′⊥準線l， ∴|AF|＝|AA′|，∴x0＝x0＋＝x0＋，∴x0＝1. 【答案】　C ●命題角度2　到焦點與定點距離之和最小問題 2．已知拋物線的方程

11、為x2＝8y，F(xiàn)是焦點，點A(－2,4)，在此拋物線上求一點P，使|PF|＋|PA|的值最小． 【解】　∵(－2)2<8×4，∴點A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內部． 如圖，設拋物線的準線為l，過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連接AQ.由拋物線的定義可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，當且僅當P，Q，A三點共線時，|PF|＋|PA|取得最小值，即為|AB|. ∵A(－2,4)，∴不妨設|PF|＋|PA|的值最小時，點P的坐標為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.故使|PF|＋|PA|的值最小的拋物線上的點P的坐標為. ●命題角度

12、3　到點(線)與準線的距離之和最小問題 3．已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值是(　　) A.＋2 B.＋1 C.－2 D.－1 【解析】　設拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，則d1＝|PF|－1，d1＋d2＝d2＋|PF|－1，點F到直線l的距離d＝＝.則d1＋d2≥－1，故選D. 【答案】　D 歸納：與拋物線有關的最值問題的求解策略 與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的

13、難度．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑． 考點三: 直線與拋物線的綜合問題 (1)(xx·遼寧高考)已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. (2)(xx·福建高考)已知點F為拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|＝3. ①求拋物線E的方程； ②已知點G(－1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切． 【解析】　(

14、1)拋物線y2＝2px的準線為直線x＝－，而點A(－2,3)在準線上，所以－＝－2，即p＝4，從而C：y2＝8x，焦點為F(2,0)．設切線方程為y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因為切點在第一象限，所以k＝.將k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以點B的坐標為(8,8)，所以直線BF的斜率為＝.【答案】　D (2)法一?、儆蓲佄锞€的定義得|AF|＝2＋.因為|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以拋物線E的方程為y2＝4x.②因為點A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上， 所以

15、m＝±2.由拋物線的對稱性，不妨設A(2,2)． 由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝，從而B. 又G(－1,0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，從而∠AGF＝∠BGF，這表明點F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 法二?、偻ㄒ唬谠O以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上，所以m＝±2.由拋物線的對稱性，不妨設A(2,2)．由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為 y＝2(x－1)．由得

16、2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，從而B. 又G(－1,0)，故直線GA的方程為2x－3y＋2＝0，從而r＝＝.又直線GB的方程為2x＋3y＋2＝0，所以點F到直線GB的距離d＝＝＝r.這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切． 跟蹤訓練1.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． 【解】　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)，∴(－8)2

17、＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M. 由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)． 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24. 歸納：解決直線與拋物線位置關系問題的常用方法 1．直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的

18、位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系． 2．有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． 3．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解決．提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解． 。 學生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決

19、，感受高考題的考察視角。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生通過對基礎知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎. 在解題中注意

20、引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢

21、 由常見問題的解決和總結，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生對所學的知識進行小結，由利于學生對已有的知識結構進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結： 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)． 2.理解數(shù)形結合的思想．　 3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用。 學生回顧，總結. 引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調控打下良好的基礎。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學生版練與測 學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。