2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.2 橢圓、雙曲線、拋物線 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.2 橢圓、雙曲線、拋物線 文 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.拋物線y=x2的焦點(diǎn)到雙曲線y2-=1的漸近線的距離為 (　　) A. B. C.1 D. 【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€y=x2的焦點(diǎn)為(0,1),雙曲線y2-=1的漸近線的方程為y=±x,即±x-y=0,所以拋物線y=x2的焦點(diǎn)到雙曲線y2-=1的漸近線的距離為d==. 2.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m等于 (　　) A.2 B.2或 C.2或6 D.2或8 【解析】選D.焦點(diǎn)

2、在x軸時(shí),a2=,b2=,根據(jù)e==?=?=?=,即=?m=2,焦點(diǎn)在y軸時(shí),a2=,b2=,即=?m=8,所以m等于2或8. 3.設(shè)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),B為虛軸的上端點(diǎn),若直線FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,則C的離心率為 (　　) A. B. C.-1 D. 【解析】選B.因?yàn)橹本€FB的斜率為-,雙曲線C的一條漸近線的斜率為,又因?yàn)橹本€FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,所以·=-1,所以c2-a2=b2=ac,兩邊都除以a2,得e2-e-1=0,因?yàn)閑>1,所以e=. 4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線的漸

3、近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【解析】選D.由已知可得c=2,雙曲線漸近線方程為y=±x,即ay±bx=0, a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圓心為(2,0),半徑r=, 若雙曲線漸近線與圓方程相切,則 d====,所以b=, 所以b2=6,c2=8,a2=2, 所以雙曲線方程為-=1. 5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P是拋物線C上一點(diǎn),過點(diǎn)P作l的垂線,垂足為A,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)設(shè)為B,若∠BAF=30°,且△APF的面積為

4、12,則以PF為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　) A.(x-2)2+(y+3)2=12或(x-2)2+(y-3)2=12 B.(x-3)2+(y+2)2=12或(x-3)2+(y-2)2=12 C.(x-2)2+(y+3)2=8或(x-2)2+(y-3)2=8 D.(x-3)2+(y+2)2=8或(x-3)2+(y-2)2=8 【解析】選A.作出輔助圖形如圖所示, 因?yàn)椤螧AF=30°,故∠AFB=60°=∠PAF,由拋物線的定義可知|PA|=|PF|,故 △APF為等邊三角形,因?yàn)椤鰽PF的面積為12,故|PF|=|PA|=|AF|=4,而|BF|=|AF|=2=p,故點(diǎn)P的

5、橫坐標(biāo)為|PA|-=3,代入y2=4x中,解得y=±6,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y±3)2=12. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知點(diǎn)F是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),若橢圓C上存在兩點(diǎn)P,Q滿足=2,則橢圓C的離心率的取值范圍是____________.? 【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直線PF:y=k(x+c). 因?yàn)镻,Q滿足=2,所以y1=-2y2. ① 由得 (b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0, y1+y2=, ② y1y2=, ③ 由①②得y1=,y2=, 代入③得b2+a2k2=8

6、c2?8c2≥b2=a2-c2?9c2≥a2?≥, 所以橢圓C的離心率的取值范圍是. 答案: 7.設(shè)F1,F2為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若△F2AB是面積為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為____________.? 【解析】由題意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|?、? 又由橢圓的定義知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a?、? 聯(lián)立①②,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=a,|AF1|=|BF1|=a, 所以=|AB||AF2|sin 60°=4, 所以a=3,|F1F2|

7、=|AB|=2, 所以c=,所以b2=a2-c2=6, 所以橢圓C的方程為+=1. 答案:+=1 8.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=8,則線段MN的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為____________.? 【解析】分別過點(diǎn)M,N作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P,Q,由拋物線的定義知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,則|MP|+|NQ|=|MN|=8. 線段MN的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為梯形MNQP的中位線的長(zhǎng)度,即×(|MP|+|NQ|)=4. 答案:4 三、解答題(每小題10分,共30分)

8、 9.如圖,已知橢圓+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,B,|AB|=,離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)過點(diǎn)A作斜率為k(k>0)的直線l與橢圓交于另外一點(diǎn)C,求△ABC面積的最大值,并求此時(shí)直線l的方程. 【解析】(1)由題意得 解得 所以,橢圓方程為+y2=1. (2)kAB=-, 設(shè)與AB平行的橢圓的切線方程為y=-x+m, 聯(lián)立方程組得 消去y得x2-2mx+2m2-2=0, ① Δ=4m2-4(2m2-2)=0, 解得m=±. 因?yàn)閗>0,所以m=-. 代入到①中得x=-,代入到y(tǒng)=-x-得 y=-, 所以當(dāng)取C的坐標(biāo)是時(shí),△

9、ABC的面積最大. 此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離為d=,S△ABC=××=+1. 此時(shí),直線l的方程是y=x-+1. 10.已知點(diǎn)M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為. (1)求m的值. (2)若直線y=kx+2與x軸交于點(diǎn)N,與拋物線C交于A,B,且=2,求k的值. 【解析】(1)由已知:1+=,所以p=3. 所以拋物線方程:y2=6x, 把M(1,m)代入,得:m=±. (2)由已知k≠0,N,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立消去x,得:ky2-6y+12=0, 由Δ=36-48k>0,得k<且k≠0, 且y1+y2=

10、?、?y1·y2=?、? 因?yàn)?2, 所以=. 即y1=2y2?、? 由①②③聯(lián)立可得:k=,滿足k<且k≠0, 所以,k=. 11.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A(-2,0),且過點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率. (2)若直線l:x=ty-1交橢圓C于P(x1,y1),Q(x2,y2). ①求證:y1y2=-; ②若△APQ的面積為,求t的值. 【解析】(1)由題意得:a=2, 又因?yàn)闄E圓過點(diǎn), 所以+=1,所以b=1. 因?yàn)閏2=a2-b2, 所以c=,所以離心率e==, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)①由題意,聯(lián)立整理得:

11、(t2+4)y-2ty-3=0, 所以y1+y2=,y1y2=-, 所以y1y2=-成立. ②由題意得,直線l:x=ty-1恒過(-1,0).設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)M,則M(-1,0), 所以|AM|=1. 因?yàn)閨y1-y2|= =, 所以S△APQ=|AM|·|y1-y2| ==, 所以4t4+7t2-11=0, 所以t2=1,或t2=-(舍), 所以t=±1. (20分鐘　20分) 1.(10分)雙曲線x2-=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點(diǎn) (1)若l的傾斜角為,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程. (2

12、)設(shè)b=,若l的斜率存在,且(+)·=0,求l的斜率. 【解析】(1)方法一:設(shè)A(xA,yA).由題意,F2(c,0),c=,=b2(c2-1)=b4, 因?yàn)椤鱂1AB是等邊三角形, 所以2c=|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2, 故雙曲線的漸近線方程為y=±x. 方法二:由題可知A(c,b2),因?yàn)椤鱂1AB是等邊三角形, 所以tan 30°==. 即4(1+b2)=3b4,解得b2=2, 故雙曲線的漸近線方程為y=±x. (2)由已知,b=,所以c2=1+b2=4, 所以F1(-2,0),F2(2,0). 由題意可得,直線l的方程為y=k(x-2),顯

13、然k≠0. 由得 (k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0. 因?yàn)閘與雙曲線交于兩點(diǎn),所以k2-3≠0,且Δ=36(1+k2)>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=. 方法一:設(shè)AB的中點(diǎn)為M(xM,yM). 由(+)·=0,即·=0,知F1M⊥AB,故·k=-1. 而xM==, yM=k(xM-2)=,=, 所以·k=-1,得k2=,顯然符合題意,故l的斜率為±. 方法二:因?yàn)?(x1+2,y1), =(x2+2,y2),=(x2-x1,y2-y1) 由(+)·=0得 (x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=

14、0 整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0, 即20k2=12 所以k2=,顯然符合題意, 故l的斜率為±. 2.(10分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2. (1)求橢圓C的方程. (2)過動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B. ①設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k′,證明為定值. ②求直線AB的斜率的最小值. 【解題指南】(1)由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,可得a=2,c=,方程易得. (2)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),易得點(diǎn)Q坐標(biāo),表示出

15、直線PM,QM的斜率分別為k與k′,它們之比易得;借助上述關(guān)系可以方便計(jì)算直線AB的斜率,此外理清直線截距與斜率k之間的關(guān)系是解決問題的又一關(guān)鍵. 【解析】(1)由題意a=2,c=,所以b2=2,所以橢圓方程為+=1. (2)①由題意,設(shè)P, 則Q(p,-2m), ②直線PA的斜率 k===,其中00. 將直線y=Kx+m與橢圓方程聯(lián)立,可得,x2+4Kmx+2m2-4=0. 設(shè)A,B,直線PA:y=kx+m,直線QB:y=-3kx+m,分別令K=k,K=-3k可得:x1p=,x2p=, 所以,kAB== == =≥(當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào)). 所以,直線AB的斜率的最小值為.