（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第4講 不等式學案 文 蘇教版

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1、第4講　不等式 [2019考向導航] 考點掃描 三年考情 考向預測 2019 2018 2017 1．不等式的解法 第4題 不等式在江蘇高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題．基本不等式是考查重點．試題多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以填空題的形式呈現(xiàn)，屬中高檔題．不等式成立問題會在壓軸題中出現(xiàn)，難度較大，不等式的實際應用有時也會在實際應用題中出現(xiàn)，主要利用基本不等式求最值． 2．基本不等式 第10題 第13題 第10題 3．不等式成立問題 4．線性規(guī)劃 5．不等式的實際應用 1．必記的概

2、念與定理 已知x>0，y>0，則： (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2．(簡記：積定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是．(簡記：和定積最大) 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點定域”的方法． ①直線定界，即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線；②特殊點定域，即在直線Ax＋By＋C＝0的某一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側，否則就表示直線的另一側．特別地，當C ≠0時，常把原點作為測試點；當

3、C＝0時，常選點(1，0)或者(0，1)作為測試點． 2．記住幾個常用的公式與結論 (1)幾個重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同號)． ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R)． (2)一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集． (3)簡單分式不等式的解法 ①變形?>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)且g(x)≠0； ②變形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． (4)兩

4、個常用結論 ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 ②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 3．需要關注的易錯易混點 (1)利用不等式性質可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍． (2)在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 不等式的解法 [典型例題

5、] (1)(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(八))已知函數(shù)f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域為(－∞，0]，若關于x的不等式f(x)≥m的解集為[c，c＋8]，則實數(shù)m的值為________．　 (2)(2019·蘇州第一次質量預測)已知函數(shù)f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】　(1)因為函數(shù)f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域為(－∞，0]，所以函數(shù)的最大值為0．令f(x)＝0，可得Δ＝4a2－4×(－4)×(－b)＝4a2－16b＝0，即b＝．關于x的不等式f(x)≥m可化簡為4x2－2ax＋b＋m

6、≤0，即4x2－2ax＋＋m≤0．又關于x的不等式f(x)≥m的解集為[c，c＋8]，所以方程4x2－2ax＋＋m＝0的兩個根為x1＝c，x2＝c＋8，則，又|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝64，即()2－4(＋)＝64，解得m＝－64． (2)作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，令g(x)＝5－mx，則g(x)恒過點(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并數(shù)形結合得－≤－m≤0，解得0≤m≤． 【答案】　(1)－64　(2) 二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學的重要基礎知識，也是高考的熱點．本題(1)考查了二次函數(shù)的性質及一元二次不等式的解法．突出考查將二次函數(shù)、

7、二次方程、二次不等式三者進行相互轉化的能力和轉化與化歸的數(shù)學思想方法． [對點訓練] 1．(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(六))已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(f(－2))，則實數(shù)a的取值范圍為________． [解析] 由題意知，f(－2)＝()－2－3＝1，f(1)＝1，所以不等式化為f(a)>1．當a≤0時，f(a)＝()a－3>1，解得a<－2；當a>0時，f(a)＝>1，解得a>1．因而a的取值范圍為(－∞，－2)∪(1，＋∞)． [答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞) 2．已知函數(shù)f(x)＝的定義域為A，2?A，則a的取值范圍是________． [解析]

8、 因為2?A，所以4－4a＋a2－1<0，即a2－4a＋3<0，解得10)上的一個動點，則點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是________． 【解析】　(1)因為正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，當且僅當＝，即x＝，y＝時，取“＝”，所以＋的最小值是8． (2)設P，x>0，則點P到直線x＋y＝0的距離d＝＝≥＝

9、4，當且僅當2x＝，即x＝時取等號，故點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是4． 【答案】　(1)8　(2)4 用基本不等式求函數(shù)的最值，關鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值．在求條件最值時，一種方法是消元，轉化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件． [對點訓練] 3．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)若正數(shù)x，y滿足15x－y＝22，則x3＋y3－x2－y2的最小值為________． [解析] x3＋y3－x2－y2＝x3＋x＋y3＋

10、y－x2－y2－x－y≥3x2＋y2－x2－y2－x－y＝2x2－x－y＝2x2＋－x－y－≥6x－x－y－＝－＝－＝1，當且僅當x＝，y＝時取等號，故x3＋y3－x2－y2的最小值為1． [答案] 1 4．(2018·高考江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________． [解析] 因為∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面積公式可得acsin 120°＝asin 60°＋csin 60°，化簡得ac＝a＋c，又a>0，c

11、>0，所以＋＝1，則4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當c＝2a時取等號，故4a＋c的最小值為9． [答案] 9 線性規(guī)劃 [典型例題] (1)已知實數(shù)x，y滿足則x2＋y2的取值范圍是________． (2)設z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝________． 【解析】　(1)不等式組所表示的平面區(qū)域是以點(0，2)，(1，0)，(2，3)為頂點的三角形及其內(nèi)部，如圖所示．因為原點到直線2x＋y－2＝0的距離為，所以(x2＋y2)min＝，又當(x，y)取點(2，3)時，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范圍是．

12、 (2)作出可行域，如圖中陰影部分所示， 由圖可知當0≤－k<時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點M(4，4)時z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；當－k≥時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點(0，2)時z最大，此時z的最大值為2，不合題意；當－k<0時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點M(4，4)時z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合題意．綜上可知k＝2． 【答案】　(1)　(2)2 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式組．若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那部分區(qū)域；否

13、則就對應與特殊點異側的平面區(qū)域． (2)當不等式中帶等號時，邊界畫為實線，不帶等號時，邊界應畫為虛線，特殊點常取原點． [對點訓練] 5．(2019·江蘇名校高三入學摸底)若變量x，y滿足不等式組，則的最小值為________． [解析] 作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中△OAB(含邊界)所示，作直線l：x＋y＝0，若向上平移直線l，則x＋y的值增大，當平移至過點B(2，4)時，x＋y取得最大值6，此時取得最小值． [答案] 6．(2019·江蘇省名校高三入學摸底卷)設x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為M，且M的取值范圍是[1，2]，

14、則點P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積是________． [解析] 作出約束條件 表示的平面區(qū)域如圖1中陰影部分所示(三角形OAB及其內(nèi)部)． 將目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)化為直線方程的形式為y＝－x＋， 若－≤－2，當直線y＝－x＋經(jīng)過點A(1，0)時，z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值M＝a∈[1，2]， 由得點P(a，b)所組成的平面區(qū)域如圖2中陰影部分所示， 此時點P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積為． 若－>－2，當直線y＝－x＋經(jīng)過點B(0，2)時，z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值M＝2b∈[1，2]， 由得點P(a，b)所組成

15、的平面區(qū)域如圖3中陰影部分所示， 此時點P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積為． 綜上，點P(a，b)所組成的平面區(qū)域的面積為． [答案] 不等式的實際應用 [典型例題] “第五屆上海智能家居展覽會”于2017年7月5日－7月7日在上海新國際博覽中心舉行，全面展示當前最新的智能家居．某智能家居企業(yè)可以向社會提供智能家居套餐的生產(chǎn)和銷售一條龍服務，由于2016年沒有進行促銷活動，該企業(yè)的某品牌套餐全年的銷量只有1．25萬套，如果延續(xù)2016年的經(jīng)營策略，預計2017年的銷量只有2016年的80%．為了不斷拓展市場，提高經(jīng)營效益，擬在2017年借“第五屆上海智能家居展覽會”的

16、東風對該品牌套餐進行促銷活動．經(jīng)過市場調(diào)研，該品牌套餐的年銷量x萬套與年促銷費用t萬元之間滿足關系：x＝(t≥0)．預計2017年生產(chǎn)設備的固定成本為4萬元，每生產(chǎn)1萬套該品牌套餐需再投入27萬元的可變成本，若將每套該品牌套餐的售價定為其生產(chǎn)成本的160%與平均每套促銷費用的40%的和，則當年生產(chǎn)的該品牌套餐正好能銷售完． (1)將該企業(yè)2017年的利潤y萬元表示為關于年促銷費用t萬元的函數(shù)； (2)該企業(yè)2017年的促銷費用為多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？ (注：利潤＝銷售收入－生產(chǎn)成本－促銷費用，生產(chǎn)成本＝固定成本＋可變成本) 【解】　(1)由題意可知在x＝(t≥0)中， 當t＝

17、0時，x＝1．25×0．8＝1，代入上式得m＝1， 所以x＝(t≥0)． 當年生產(chǎn)x萬套時，年生產(chǎn)成本為 27x＋4＝27×＋4． 當年銷售x萬套時，年銷售收入為160%×＋40%×t． 由題意，生產(chǎn)x萬套該品牌套餐正好銷售完，由利潤＝銷售收入－生產(chǎn)成本－促銷費用， 得y＝160%×＋40%×t－－t． 所以y＝(t≥0)． (2)y＝＝≤×(113－18)＝57， 當且僅當t＋1＝，即t＝8時等號成立，即當該企業(yè)2017年的促銷費用為8萬元時，企業(yè)的年利潤最大，且最大值為57萬元． 利用基本不等式求解實際應用題的方法 (1)此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從

18、中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題求解． (2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調(diào)性求解． [對點訓練] 7．(2019·蘇州調(diào)研)如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建一倉庫，設AB＝y(tǒng) km，并在公路同側建造邊長為x km的正方形無頂中轉站CDEF(其中邊EF在GH上)，現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°． (1)求y關于x的函數(shù)解析式； (2)如果中轉站四周圍墻造價為1萬元/k

19、m，兩條道路造價為3萬元/km，問：x取何值時，該公司建中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低？ [解] (1)因為AB＝y(tǒng)，AB＝AC＋1，所以AC＝y(tǒng)－1． 在直角三角形BCF中，因為CF＝x，∠ABC＝60°， 所以∠CBF＝30°，BC＝2x． 由于2x＋y－1 >y，得x>． 在△ABC中，因為AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 60°， 所以(y－1)2＝y(tǒng)2＋4x2－2xy． 則y＝．由y ＞ 0，及x>，得x ＞ 1． 即y關于x的函數(shù)解析式為y＝(x ＞ 1)． (2)M＝3(2y－1)＋4x＝－3＋4x． 令x－1＝t，則M＝－3＋4(t＋1) ＝1

20、6t＋＋25≥49， 在t＝，即x＝，y＝時，總造價M最低． 所以x＝時，該公司建中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低． 1．函數(shù)f(x)＝lg(2＋x－x2)的定義域為__________． [解析] ?－10，則函數(shù)y＝的最小值為________． [解析] 因為t>0，所以y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1時取等號． [答案] －2 3．(2019·高三第一次調(diào)研測試)若實數(shù)x，y滿足x≤y≤2x＋3，則x＋y的最小值為______． [解析

21、] 作出可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x＋y，數(shù)形結合易知當直線z＝x＋y過點A(－3，－3)時，z取得最小值，zmin＝－6． [答案] －6 4．(2019·蘇北四市高三質量檢測)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝2x－3，則不等式f(x)≤－5 的解集為________． [解析] 因為當x＞0時，f(x)＝2x－3， 所以當x＜0，即－x＞0時，f(－x)＝2－x－3，因為函數(shù)f(x) 是定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(－x)＝2－x－3＝－f(x)， 所以f(x)＝－2－x＋3． 當x＞0時，不等式f(x)≤－5等價為2x－3≤－5， 即2x≤

22、－2，無解，故x＞0時，不等式不成立； 當x＜0時，不等式f(x)≤－5等價為－2－x＋3≤－5， 即2－x≥8， 得x≤－3； 當x＝0時，f(0)＝0，不等式f(x)≤－5不成立． 綜上，不等式f(x)≤－5的解集為(－∞，－3]． [答案] (－∞，－3] 5．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________． [解析] 一年購買次，則總運費與總存儲費用之和為×6＋4x＝4≥8＝240，當且僅當x＝30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30． [答案

23、] 30 6．(2019·蘇北三市高三模擬)已知對于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析] 記f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，令f(x)＝0，由題意得，Δ＝4(a－2)2－4a＜0或所以1＜a＜4或4≤a≤5， 即實數(shù)a的取值范圍是(1，5]． [答案] (1，5] 7．(2019·揚州市第一學期期末檢測)已知正實數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為______． [解析] x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，等式兩邊同時除以xy，得＋＝1，由基本不等式可得x

24、＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝2y＝6時，等號成立，所以x＋y的最小值為9，因為m≤9． [答案] m≤9 8．在R上定義運算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析] 由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，則不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝－≥－，則a2－a－1≤－，解得－≤a≤． [答案] 9．記min{a，b}為a，b兩數(shù)的最小值．當正數(shù)x，y變化時，令

25、t＝min，則t的最大值為______． [解析] 因為x＞0，y＞0，所以問題轉化為t2≤(2x＋y)·＝≤＝＝2，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，所以0＜t≤，所以t的最大值為． [答案] 10．(2019·寧波統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝loga(x2－a|x|＋3)(a>0，a≠1)．若對于－1≤x10，a≠1) 設g(x)＝x2－ax＋3， 由題意得：或 則2≤a<4

26、或00． (1)當a＝2時，求此不等式的解集； (2)當a>－2時，求此不等式的解集． [解] (1)當a＝2時，不等式可化為>0， 所以不等式的解集為{x|－2

27、>2}． (2)當a>－2時，不等式可化為>0， 當－21}； 當a＝1時，解集為{x|x>－2且x≠1}； 當a>1時，解集為{x|－2a}． 13．(2019·鹽城市高三第三次模擬考試)如圖，某人承包了一塊矩形土地ABCD用來種植草莓，其中AB＝99 m，AD＝49．5 m．現(xiàn)計劃建造如圖所示的半圓柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)個，每個半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側面都需蒙上塑料薄膜(接頭處忽略不計)，塑料薄膜的價格為每平方米10元；另外，還需在每兩個大棚之間留下1 m寬的空地用于建造排水溝與行走小路(如圖中EF＝1 m)，

28、這部分的建設造價為每平方米31．4元． (1)當n＝20時，求蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積；(結果保留π) (2)試確定大棚的個數(shù)，使得上述兩項費用的和最低．(計算中π取3．14) [解] (1)設每個半圓柱型大棚的底面半徑為r． 當n＝20時，共有19塊空地，所以r＝＝2(m)， 所以每個大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為 πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×49．5＝103π(m2)， 即蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積為103π m2． (2)設兩項費用的和為f(n)． 因為r＝＝， 所以每個大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為 S＝πr2＋πr×AD

29、＝π×＋π×49．5×， 則f(n)＝10nS＋31．4×1×49．5(n－1) ＝10n[π×＋π×49．5×]＋31．4×1×49．5(n－1) ＝31．4×[＋49．5×＋49．5(n－1)] ＝×[＋99(100－n)＋198(n－1)] ＝×(＋100n＋9 502) ＝×[100×＋9 502]， 因為＋n≥2＝20，當且僅當n＝10時等號成立， 所以，當且僅當n＝10時，f(n)取得最小值， 即當大棚的個數(shù)為10個時，上述兩項費用的和最低． 14．設m是常數(shù)，集合M＝{m|m>1}，f(x)＝log3(x2－4mx＋4m2＋m＋)． (1)證明：當m∈M時，

30、f(x)對所有的實數(shù)x都有意義； (2)當m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值； (3)求證：對每個m∈M，函數(shù)f(x)的最小值都不小于1． [解] (1)證明：f(x)＝log3， 當m∈M，即m>1時，(x－2m)2＋m＋>0恒成立，故f(x)的定義域為R． (2)令g(x)＝x2－4mx＋4m2＋m＋，因為y＝log3g(x)是增函數(shù)，所以當g(x)最小時f(x)最小， 而g(x)＝(x－2m)2＋m＋， 顯然當x＝2m時，g(x)的最小值為m＋． 此時f(x)min＝log3． (3)證明：m∈M時，m＋＝m－1＋＋1 ≥2＋1＝3， 所以log3≥log33＝1，結論成立． - 15 -