2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 第二章 《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》學(xué)習(xí)過程

2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 第二章 《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》學(xué)習(xí)過程 學(xué)習(xí)過程 知識點(diǎn)1：線面垂直的判定定理：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視； b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 知識點(diǎn)2：面面垂直的判定定理：（1）在表示二面角的平面角時，要求“OA⊥L” ，OB⊥L； （2）∠AOB的大小與點(diǎn)O在L上位置無關(guān)； （3）當(dāng)二面角的平面角是直角時，這兩個平 面的位置關(guān)系怎樣？ 承上啟下，引導(dǎo)學(xué)生觀察，類比、自主探究， β B 獲得兩個平面互相垂直的判定定理： 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。 C O A 知識點(diǎn)3：線面垂直的性質(zhì)定理： 1、操作確認(rèn) 觀察長方體模型中四條側(cè)棱與同一個底面的位置關(guān)系。如圖2.3—4，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間是有什么位置關(guān)系？（顯然互相平行）然后進(jìn)一步遷移活動：已知直線a⊥α 、b⊥α、那么直線a、b一定平行嗎？（一定）我們能否證明這一事實(shí)的正確性呢？ C1 D1 a b A1 B1 α D C A B 圖2.3-4 圖2.3-5 2、推理證明 引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)定理成立的條件，介紹證明性質(zhì)定理成立的特殊方法——反證法， 然后師生互動共同完成該推理過程 ，最后歸納得出： 垂直于同一個平面的兩條直線平行。 知識點(diǎn)4：面面垂直的性質(zhì)定理：如圖，設(shè)α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，且AB∩CD＝B，我們看直線AB與平面β的位置關(guān)系。 在β內(nèi)作直線BE⊥CD，垂足為B，則∠ABE是二面角 α－CD－β的二面角，由α⊥β知，AB⊥BE，又AB⊥CD， BE與CD是β內(nèi)的兩條相交直線，所以AB⊥β。 一般地，我們得到平面與平面垂直的性質(zhì)定理。 定理　兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 學(xué)習(xí)結(jié)論 1．線面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 2．面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。 3．線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 4．面面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 典型例題 例1、已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一點(diǎn)，且PA=PB=PC，α是經(jīng)過PO的任意一個平面，則（　?。? A.α⊥平面ABC B.α與平面ABC不垂直 C.α與平面ABC可能垂直也可能不垂直 D.以上都不對 答案：A 解析：由O是△ABC的外心，PA=PB=PC可得，PO⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC. 例2、如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC。 　　證明：設(shè)⊙O所在平面為α，由已知條件，有 PA⊥α，BC在α內(nèi)， 所以，PA⊥BC， 因?yàn)椋c(diǎn)C是不同于A，B的任意一點(diǎn)，AB為⊙O的直徑， 所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因?yàn)镻A與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線， 所以，BC⊥平面PAC， 又因?yàn)锽C在平面PBC內(nèi)， 所以，平面PAC⊥平面PBC。 例3、如圖，已知平面α，β滿足α⊥β，直線a滿足a⊥β，aα，試判斷直線a與平面α的位置關(guān)系。 解：在α內(nèi)作垂直于α與β交線的直線b， 因?yàn)棣痢挺?，所以b⊥β， 因?yàn)閍⊥β，所以a∥b， 又因?yàn)閍α，所以a∥α， 即直線a與平面α平行。 例4、設(shè)直線a，b分別在正方體ABCD－A’B’C’D”中兩個不同的平面內(nèi)，欲使 a∥b，則a，b應(yīng)滿足什么條件？ 　解析：a，b滿足下面條件中的任何一個，都能使a∥b， （1）a，b同垂直于正方體一個面； （2）a，b分別在正方體兩個相對的面內(nèi)且共面； （3）a，b平行于同一條棱； （4）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為B’C’，CC’，AA’，AD的中點(diǎn)，EF所在的直線為a，GH所在直線為b，等等