（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率 第2講 古典概型學(xué)案

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1、 第2講　古典概型 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　基本事件的特點(diǎn) 1．任何兩個(gè)基本事件是互斥的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 考點(diǎn)2　古典概型 1．古典概型的定義 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型． 2．古典概型的概率公式 P(A)＝. [必會(huì)結(jié)論] 一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型．正確的判斷試驗(yàn)的類型是解決概率問(wèn)題的關(guān)鍵． [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“

2、×”) (1)某袋中裝有大小均勻的三個(gè)紅球、兩個(gè)黑球、一個(gè)白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同．(　　) (2)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(　　) (3)利用古典概型的概率公式求“在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，這點(diǎn)到正方形中心距離小于或等于1”的概率．(　　) (4)“從長(zhǎng)為1的線段AB上任取一點(diǎn)C，求滿足AC≤的概率是多少”是古典概型. (　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．[2018·武漢調(diào)研]同時(shí)拋擲兩顆均勻的骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4的概率為(　　) A. B. C. D.

3、 答案　C 解析　同時(shí)拋擲兩顆骰子，基本事件總數(shù)為36，記“向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4”為事件A，則事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4種，故P(A)＝＝. 3.某天下課以后，教室里還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué)．如果他們依次走出教室，則第2位走出的是男同學(xué)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　已知2位女同學(xué)和2位男同學(xué)走出的所有可能順序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同學(xué)的概率是P＝＝. 4．[2016·全國(guó)

4、卷Ⅰ]為美化環(huán)境，從紅，黃，白，紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　從紅，黃，白，紫4種顏色的花中任選2種有以下選法：(紅，黃)，(紅，白)，(紅，紫)，(黃，白)，(黃，紫)，(白，紫)，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種，所以所求事件的概率P＝＝.故選C. 5．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　甲、乙兩名

5、運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍(lán))，(藍(lán)，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共9種，他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種．故所求概率為P＝＝. 6．[2018·蘭州診斷]從2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和2本不同的語(yǔ)文書(shū)中任意抽出2本書(shū)(每本書(shū)被抽中的機(jī)會(huì)相等)，則抽出的書(shū)是同一學(xué)科的概率等于________． 答案　 解析　數(shù)學(xué)書(shū)為a1，a2，語(yǔ)文書(shū)為b1，b2，從中任取兩本，基本事件為a1a2，a1b1，a1b2，a2b2，a2b1，b1b2，其中抽出

6、的書(shū)是同一學(xué)科的取法共有a1a2，b1b22種，因此所求的概率等于＝. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　簡(jiǎn)單的古典概型 例　1　(1)[2017·全國(guó)卷Ⅱ]從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝＝.故選D. (2)[2017·山東高考]從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽

7、取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機(jī)抽取， ∴P(第一次抽到奇數(shù)，第二次抽到偶數(shù))＝×＝， P(第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù))＝×＝. ∴P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝＋＝.故選C. 觸類旁通 求古典概型概率的步驟 (1)讀題，理解題意； (2)判斷試驗(yàn)結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A； (3)分別求出基本事件總數(shù)n與所求事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m； (4)利用公式P(A)＝求出事件A的概率． 【變式訓(xùn)練1】　(

8、1)[2017·天津高考]有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝＝.故選C. (2)[2018·海淀一模]現(xiàn)有7名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B1，B2的物理成績(jī)

9、優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽，則A1和B1不全被選中的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，所有可能的結(jié)果組成的12個(gè)基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． 設(shè)“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對(duì)立事件表示“A1和B1全被選中”

10、，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. 考向　較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題 命題角度1　古典概型與平面幾何相結(jié)合 例　2　[2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考]將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿足≤，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有

11、(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于＝. 命題角度2　古典概型與函數(shù)相結(jié)合 例　3　已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”．因?yàn)閒(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.當(dāng)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)時(shí)，f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R

12、上恒成立，即a≥. 當(dāng)b＝1時(shí)，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個(gè)數(shù)； 當(dāng)b＝2時(shí)，有a≥，故a可取2,3,4，共3個(gè)數(shù)； 當(dāng)b＝3時(shí)，有a≥3，故a可取3,4，共2個(gè)數(shù)； 當(dāng)b＝4時(shí)，有a≥，故a無(wú)可取值． 綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9種． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16種． 故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A. 命題角度3　古典概型與平面向量相結(jié)合 例　4　[2018·宿遷模擬]已知k∈Z，＝(k,1)，＝(2,4)，若||≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________． 答案　 解析　因?yàn)閨|＝≤4，所以

13、－≤k≤， 因?yàn)閗∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3， 當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，應(yīng)有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由·＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因?yàn)椋剑?2－k,3)，由·＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3， 由·＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC為直角三角形的k值為－2，－1或3，所以所求概率P＝. 觸類旁通 較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題的求解方法 解決與古典概型交匯命題的問(wèn)題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算． 核心規(guī)律

14、古典概型的兩種破題技巧 (1)樹(shù)狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問(wèn)題及較復(fù)雜問(wèn)題中基本事件數(shù)的探求．另外在確定基本事件時(shí)，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時(shí)也可以看成是無(wú)序的，如(1,2)與(2,1)相同． (2)含有“至多”“至少”等類型的概率問(wèn)題，從正面突破比較困難或者比較繁瑣時(shí)，考慮其反面，即對(duì)立事件，應(yīng)用P(A)＝1－P()求解較好． 滿分策略 古典概型求解中的注意事項(xiàng) (1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，他們是否是等可能的． (2)用列舉法求古典概型，是一個(gè)形象、直觀

15、的好方法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)、不遺漏． (3)注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無(wú)順序的問(wèn)題，逐次抽取是有順序的問(wèn)題. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新交匯系列8——古典概型與統(tǒng)計(jì)的精彩交匯 [2018·長(zhǎng)春模擬]某教師為了了解高三一模所教兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，將兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)繪制成如圖所示的莖葉圖． (1)分別求出甲、乙兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)、眾數(shù)； (2)若規(guī)定成績(jī)大于等于115分為優(yōu)秀，分別求出兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率； (3)從甲班中130分以上的5名同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的概率． 解題視

16、點(diǎn)　(1)利用中位數(shù)、眾數(shù)的概念求解；(2)由頻率的定義求解優(yōu)秀率即可；(3)分別求出總的基本事件和滿足條件的基本事件，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解． 解　(1)由所給的莖葉圖知，甲班50名同學(xué)的成績(jī)由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，數(shù)量最多的是103，故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是108.5，眾數(shù)是103； 乙班48名同學(xué)的成績(jī)由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，數(shù)量最多的是92和101，故乙班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是106.5，眾數(shù)為92和101. (2)由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，甲班中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為20，優(yōu)秀率為＝；乙班中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為18，優(yōu)秀

17、率為＝. (3)將分?jǐn)?shù)為131,132,136的3人分別記為a，b，c，分?jǐn)?shù)為141,146的2人分別記為m，n，則從5人中抽取3人的不同情況有abc，abm，abn，acm，acn，amn，bcm，bcn，bmn，cmn，共10種情況．記“至多有1人的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上”為事件M，則事件M包含的情況有abc，abm，abn，acm，acn，bcm，bcn，共7種情況，所以從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，至多有1人的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的概率為P(M)＝. 答題啟示　求解古典概型與統(tǒng)計(jì)交匯問(wèn)題的思路,(1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計(jì)圖表給出的信息，提煉出

18、需要的信息.,(2)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與古典概型概率的正確計(jì)算. 跟蹤訓(xùn)練 某學(xué)校高一年級(jí)共有20個(gè)班，為參加全市鋼琴比賽，調(diào)查了各班中會(huì)彈鋼琴的人數(shù)，并以組距5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，作出頻率分布直方圖如圖所示． (1)由頻率分布直方圖估計(jì)各班中會(huì)彈鋼琴的人數(shù)的平均值； (2)若會(huì)彈鋼琴的人數(shù)為[35,40]的班級(jí)作為第一類備選班級(jí)，會(huì)彈鋼琴的人數(shù)為[30,35)的班級(jí)作為第二類備選班級(jí)，現(xiàn)要從這兩類備選班級(jí)中選出兩個(gè)班參加市里的鋼琴比賽，求這兩類備選班級(jí)中均有班級(jí)被選中的概率． 解　(1)設(shè)各班中會(huì)彈鋼琴的人數(shù)的平均值為，由頻率分布直方

19、圖知， ＝2.5×0.01×5＋7.5×0.01×5＋12.5×0.04×5＋17.5×0.02×5＋22.5×0.04×5＋27.5×0.03×5＋32.5×0.03×5＋37.5×0.02×5＝22， 所以各班中會(huì)彈鋼琴的人數(shù)的平均值為22. (2)由頻率分布直方圖知，第一備選班級(jí)為2個(gè)，第二備選班級(jí)為3個(gè)，用ai(i＝1,2)表示第一備選班級(jí)，bj(j＝1,2,3)表示第二備選班級(jí)．則從兩類備選班級(jí)中選出兩個(gè)班參加比賽，有{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，共

20、10種情況． 其中第一備選班級(jí)和第二備選班級(jí)中均有班級(jí)被選中的情況有{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，共6種情況． 所以兩類備選班級(jí)中均有班級(jí)被選中的概率為. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，若從中任意摸出2個(gè)，則至少摸出1個(gè)黑球的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　該試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6種等可能的結(jié)果，事件“至少摸出1個(gè)黑球”所含有的基本事件為(白1，黑

21、1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5種，據(jù)古典概型概率公式，得事件“至少摸出1個(gè)黑球”的概率是. 2．從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在正六邊形中，6個(gè)頂點(diǎn)選取4個(gè)，種數(shù)為15.選取的4點(diǎn)能構(gòu)成矩形的，只有對(duì)邊的4個(gè)頂點(diǎn)(例如AB與DE)，共有3種，∴所求概率為＝. 3．從2男3女共5名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)均等)，這2名都是男生或都是女生的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)2名男生為A，B

22、,3名女生為a，b，c，則從5名同學(xué)中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，而這2名同學(xué)剛好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6種，故所求的概率P＝1－＝. 4．為了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利70周年，從甲、乙、丙、丁、戊5名候選民警中選2名作為閱兵安保人員，為閱兵提供安保服務(wù)，則甲、乙、丙中有2名被選中的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　從甲、乙、丙、丁、戊5人中選2人的所有情況為：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、

23、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共10種，其中有甲、乙、丙中2人的有甲乙、甲丙、乙丙3種，所以P＝. 5．[2018·梅州質(zhì)檢]如圖所示方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)．則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　只考慮A，B兩個(gè)方格的排法．不考慮大小，A，B兩個(gè)方格有4×4＝16(種)排法．要使填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則從1,2,3,4中選2個(gè)數(shù)字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6種，故填入A

24、方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為＝.選D. 6．[2018·湖北模擬]隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的概率記為p1，點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則(　　) A．p1

25、之和為偶數(shù)與向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的個(gè)數(shù)相等，故向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率p3＝.即p1

26、,4)，(5,6)，共7種．故所求概率為. 8．[2018·四川模擬]從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________． 答案　 解析　從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，(a，b)的所有可能結(jié)果有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12種，其中l(wèi)og28＝3，log39＝2為整數(shù)，所以logab為整數(shù)的概率為. 9．[2018·合肥模擬]從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六安排一

27、名男生、星期日安排一名女生的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1,12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2,4種情況，則發(fā)生的概率為P＝＝. 10．[2018·河南省八市聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，則該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為_(kāi)_______． 答案　 解

28、析　要使函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x2－2ax＋b2＝0要有兩個(gè)實(shí)根，則Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，a，b的取法共有3×3＝9種，其中滿足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6種，所以所求的概率為＝. [B級(jí)　知能提升] 1．[2018·南京模擬]一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，b

29、B. C. D. 答案　C 解析　由1,2,3組成的三位數(shù)有123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；由1,2,4組成的三位數(shù)有124,142,214,241,412,421，共6個(gè)；由1,3,4組成的三位數(shù)有134,143,314,341,413,431，共6個(gè)；由2,3,4組成的三位數(shù)有234,243,324,342,423,432，共6個(gè)．所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)三位數(shù)．當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,314,412,312,413，共6個(gè)“凹數(shù)”；當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”．故這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 2．[2018·安徽六校聯(lián)考

30、]連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角記為α，則α∈的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　cos〈a，b〉＝， ∵α∈， ∴<<1，∴n的概率是________． 答案　 解析　由e＝>，得b>2a.當(dāng)a＝1時(shí)，b＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5,6兩種

31、情況，總共有6種情況．又同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果．∴所求事件的概率P＝＝. 4．按照國(guó)家環(huán)保部發(fā)布的新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，規(guī)定：PM2.5的年平均濃度不得超過(guò)35微克/立方米．國(guó)家環(huán)保部門在2017年10月1日到2018年1月30日這120天對(duì)全國(guó)的PM2.5平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下： 組別 PM2.5濃度(微克/立方米) 頻數(shù)/天 第一組 (0,35] 32 第二組 (35,75] 64 第三組 (75,115] 16 第四組 115以上 8 (1)在這120天中抽取30天的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步分析，第一組應(yīng)抽取多少天？ (2)

32、在(1)中所抽取的樣本PM2.5的平均濃度超過(guò)75微克/立方米的若干天中，隨機(jī)抽取2天，求恰好有一天平均濃度超過(guò)115微克/立方米的概率． 解　(1)在這120天中抽取30天，應(yīng)采取分層抽樣， 第一組應(yīng)抽取32×＝8天；第二組應(yīng)抽取64×＝16天；第三組應(yīng)抽取16×＝4天；第四組應(yīng)抽取8×＝2天． (2)設(shè)PM2.5的平均濃度在(75,115]內(nèi)的4天記為A1，A2，A3，A4，PM2.5的平均濃度在115以上的2天記為B1，B2. 所以從這6天中任取2天的情況有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4

33、B1，A4B2，B1B2，共15種． 記“恰好有一天平均濃度超過(guò)115微克/立方米”為事件A，其中符合條件的情況有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共8種，故所求事件A的概率P(A)＝. 5．[2018·蘭州雙基測(cè)試]一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率． 解　(1)由題意，(a，b，c)所有可能的結(jié)果為：

34、(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種， 所以P(A)＝＝，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種，所以P(B)＝1－P()＝1－＝，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. 13