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1、2022高考數(shù)學二輪復習 第一部分 保分專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列及運算練習 文
一、選擇題
1．已知數(shù)列{an}，若點(n，an)(n∈N*)在經(jīng)過點(8,4)的定直線l上，則數(shù)列{an}的前15項和S15＝( )
A．12 B．32
C．60 D．120
解析：∵點(n，an)在定直線上，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a8＝4，∴S15＝＝＝15a8＝60.
答案：C
2．已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4－2a＋3a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11等于( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析
2、：∵a4－2a＋3a8＝0，∴2a＝a4＋3a8，
∴2a＝a5＋a7＋2a8＝a5＋a7＋a7＋a9，即2a＝4a7，
∴a7＝2，∴b7＝2，又∵b2b8b11＝b6b8b7＝bb7＝(b7)3＝8，故選D.
答案：D
3．在等差數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，則a5·a6的最大值等于( )
A．3 B．6
C．9 D．36
解析：∵a1＋a2＋…＋a10＝30，得a5＋a6＝＝6，又an>0，∴a5·a6≤2＝2＝9.
答案：C
4．設等差數(shù)列{an}滿足a2＝7，a4＝3，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn＞0的最大的自然數(shù)n是(
3、 )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：∵{an}的公差d＝＝－2，∴{an}的通項為an＝7－2(n－2)＝－2n＋11，∴{an}是遞減數(shù)列，且a5＞0＞a6，a5＋a6＝0，于是S9＝9a5＞0，S10＝·10＝0，S11＝11a6＜0，故選A.
答案：A
5．在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n項和Sn＝62，則項數(shù)n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.當a1＝2，an＝32
4、時，Sn＝＝＝＝62，解得q＝2.又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理，當a1＝32，an＝2時，由Sn＝62，解得q＝.由an＝a1qn－1＝32×n－1＝2，得n－1＝＝4，即n－1＝4，n＝5.綜上，項數(shù)n等于5，故選B.
答案：B
6．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 015，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 016的值等于( )
A．－2 015 B．2015
C．2016 D．0
解析：設數(shù)列{an}的公差為d，
S12＝12a1＋d，S10＝10a1＋d，
所以＝＝a1＋d.
＝a1＋d，所以－＝d＝2，
所以S2 016
5、＝2 016×a1＋d＝0.
答案：D
7．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S17＞0，S18＜0，則，，…，中最大的項為( )
A. B.
C. D.
解析：因為{an}是等差數(shù)列，所以S17＝＝17a9＞0，a9＞0，S18＝＝9(a9＋a10)＜0，a10＜0，即該等差數(shù)列前9項均是正數(shù)項，從第10項開始是負數(shù)項，則最大，故選C.
答案：C
8．正項等比數(shù)列{an}中，a2＝8,16a＝a1a5，則數(shù)列{an}的前n項積Tn中的最大值為( )
A．T3 B．T4
C．T5 D．T6
解析：設正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，則16a＝
6、a1a5＝a2a4＝8a4，a4＝，q2＝＝，又q＞0，則q＝，an＝a2qn－2＝8×n－2＝27－2n，則Tn＝a1a2…an＝25＋3＋…＋(7－2n)＝2n(6－n)，當n＝3時，n(6－n)取得最大值9，此時Tn最大，即(Tn)max＝T3，故選A.
答案：A
9．(2018·銅仁質檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為( )
A. B.
C．1 D．－
解析：因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log
7、3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.
答案：B
10．(2018·江西紅色七校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}滿足an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則公比q為( )
A. B.
C．2 D．4
解析：由已知可得，解得或(舍去)，故＝＝4＝q2，故q＝2，選C.
答案：C
11．(2017·高考全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為( )
A．－24 B．－3
C．3 D．8
解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，
8、所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，則d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6項的和S6＝×6＝－24，故選A.
答案：A
12．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值是( )
A．1 B.
C．－ D．－
解析：{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，∴a6＝，b6＝，
∴tan＝tan＝tan
＝tan(－)＝tan(－2π－)
9、＝－tan＝－.
答案：D
二、填空題
13．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________.
解析：因為{an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.
答案：64
14．設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.
解析：由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，則3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n
10、－1.
答案：3n－1
15．(2018·江西師大附中檢測)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S1，S3，S4成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為________．
解析：設{an}的公比為q，由題意易知q>0且q≠1，因為S1，S3，S4成等差數(shù)列，所以2S3＝S1＋S4，即＝a1＋，解得q＝.
答案：
16．(2018·開封模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，則a2 016的值為________．
解析：根據(jù)
11、題意，不妨設f(x)＝()x，則a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴數(shù)列{an}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，∴an＝2n－1，∴a2 016＝4 031.
答案：4 031
B組 大題規(guī)范練
1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)設bn＝an＋3，證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求an.
解析：(1)因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
所以n＝1時，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3，
n＝2時，由S2＝2a2－3×2，得a2＝
12、9，
n＝3時，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21.
(2)證明：因為Sn＝2an－3×n，所以Sn＋1＝2an＋1－3×(n＋1)，
兩式相減，得an＋1＝2an＋3，*
把bn＝an＋3及bn＋1＝an＋1＋3，代入*式，
得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6，
所以數(shù)列{bn}是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以bn＝6×2n－1，
所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．
2．已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*，又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}
13、的通項公式；
(2)記bn＝2an－λ(log2an＋1)2，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．
解析：(1)由Sn＋1＝qSn＋1?、倏傻茫攏≥2時，Sn＝qSn－1＋1 ②
①－②得：an＋1＝qan.
又S2＝qS1＋1且a1＝1，
所以a2＝q＝q·a1，
所以數(shù)列{an}是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列．
又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，
所以2a3＝2a2＋a2＋2＝3a2＋2，
即：2q2＝3q＋2，
所以2q2－3q－2＝0，
解得：q＝2或q＝－(舍)，
所以數(shù)列{an}的通項公式為：an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由題意得：bn＝
14、2·2n－1－λ(log22n)2＝2n－λn2，
若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，則有
bn＋1－bn＝2n＋1－λ(n＋1)2－2n＋λn2＝2n－2nλ－λ>0，即λ<.
因為＝>1，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列．
所以≥，所以λ<.
3．設Sn，Tn分別是數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，已知對于任意n∈N*，都有3an＝2Sn＋3，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且T5＝25，b10＝19.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Rn，并求Rn的最小值．
解析：(1)由3an＝2Sn＋3，得
當n＝1時，有a1＝3；
當n≥2時，3an－
15、1＝2Sn－1＋3，
從而3an－3an－1＝2an，即an＝3an－1，
所以an≠0，＝3，
所以數(shù)列{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，因此an＝3n.
設數(shù)列{bn}的公差為d，由T5＝25，b10＝19，
得
解得b1＝1，d＝2，因此bn＝2n－1.
(2)由(1)可得cn＝
＝＝－，
Rn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝－3，
因為cn＝>0，所以數(shù)列{Rn}單調遞增．
所以n＝1時，Rn取最小值，故最小值為.
4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足an＋Sn＝2n.
(1)證明：數(shù)列{an－2}為等比數(shù)列，并求出an；
(2)設bn＝(2－n)(an－2)，求{bn}的最大項．
解析：(1)證明：由a1＋S1＝2a1＝2，得a1＝1.
由an＋Sn＝2n可得an＋1＋Sn＋1＝2(n＋1)，兩式相減得，
2an＋1－an＝2，
∴an＋1－2＝(an－2)，
∴{an－2}是首項為a1－2＝－1，公比為的等比數(shù)列，
an－2＝(－1)×n－1，故an＝2－n－1.
(2)由(1)知bn＝(2－n)×(－1)×n－1＝(n－2)×n－1，
由bn＋1－bn＝－＝＝≥0，得n≤3，
由bn＋1－bn<0得n>3，∴b1b5>…>bn>…，故{bn}的最大項為b3＝b4＝.
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