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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 高考大題專(zhuān)項(xiàng)練 六 導(dǎo)數(shù)（A）理
1.(2018·湖南懷化模擬)設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:“①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0
2、域中任意的x2,x3,當(dāng)|x2-x1|<1且|x3-x1|<1時(shí),|f(x3)-f(x2)|<2.
2.(2018·安慶質(zhì)檢)已知x=是函數(shù)f(x)=(x+1)eax(a≠0)的一個(gè)極 值點(diǎn).
(1)求a的值;
(2)求f(x)在[t,t+1]上的最大值;
(3)設(shè)g(x)=f(x)+x+xln x,證明:對(duì)任意x1,x2∈(0,1),有|g(x1)- g(x2)|<+.
3.(2018·桃城區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-a2ln x+x2-ax(a∈R).
(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)如果a>0且關(guān)于x的方程f(x)=m有兩解x1,
3、x2(x12a.
4.(2018·德陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=ln (x+1).
(1)當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),求證:f(x)0.
1.(1)解:函數(shù)f(x)=+是集合M中的元素.
理由如下:
因?yàn)閒′(x)=+cos x,
所以f′(x)∈[,]滿足條件0
4、.
所以函數(shù)f(x)=+是集合M中的元素.
(2)證明:假設(shè)方程f(x)-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根a,b(a≠b),
則f(a)-a=0,f(b)-b=0,
不妨設(shè)a0,
所以f(x)為增函數(shù),所以f(x2)
5、以f(x2)-x2>f(x3)-x3,
所以0
6、(x)與f′(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-)
-
(-,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
極大值e
↘
當(dāng)t+1≤-,即t≤-時(shí),
f(x)max=f(t+1)=(t+2)e-2(t+1);
當(dāng)t<-
7、x+1)e-2x+1,
令h(x)=m′1(x),
則h′(x)=-2e-2x+2(2x+1)e-2x=4xe-2x>0,x∈(0,1),
所以m′1(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),m′1(x)>m′1(0)=0,
所以m1(x)在(0,1)上也為增函數(shù),
所以x∈(0,1)時(shí),
1=m1(0)0,m2(x)為增函數(shù),
且m2()=-,m2(1)=0,
所以-≤m2
8、(x)<0,②
由①②可得1-0,則當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
②若a=0,則當(dāng)f′(x)=2x>0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
③若a<0,則當(dāng)x∈(0,-)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減
9、,
當(dāng)x∈(-,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
(2)證明:要證x1+x2>2a,只需證>a.
設(shè)g(x)=f′(x)=-+2x-a,
因?yàn)間′(x)=+2>0,
所以g(x)=f′(x)為單調(diào)遞增函數(shù).
所以只需證f′()>f′(a)=0,
即證-+x1+x2-a>0,
只需證-+(x1+x2-a)>0.(*)
又-a2ln x1+-ax1=m,-a2ln x2+-ax2=m,
所以兩式相減,并整理,得
-+(x1+x2-a)=0.
把(x1+x2-a)=代入(*)式,
得只需證-+>0,
可化為-+ln <0.
令=t,得只需證-+ln t<
10、0.
令(t)=-+ln t(00,
所以(t)在其定義域上為增函數(shù),
所以(t)<(1)=0.
綜上得原不等式成立.
4.(1)證明:記q(x)=x-ln (x+1),
則q′(x)=1-=,
在(-1,0)上,q′(x)<0,
即q(x)在(-1,0)上遞減,
所以q(x)>q(0)=0,即x>ln (x+1)=f(x)恒成立.
記m(x)=x+ln (-x+1),則m′(x)=1+=,
在(-1,0)上,m′(x)>0,即m(x)在(-1,0)上遞增,
所以m(x)
11、n (-x+1)=-f(-x).
綜上得,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)
12、,
h′(x)=g′(x)-g′(-x)=ex-+e-x-,
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),由①知x<-ln (-x+1),
則exln (x+1)得,e-xh(0)=0,
即g(x)>g(-x),而-1g(-x1),g(x1)=g(x2)=0,
所以g(x2)>g(-x1),
由題知,-x1,x2∈(0,+∞),g(x)在[0,+∞)上遞增,
所以x2>-x1,即x1+x2>0.
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