《（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)（十九）正、余弦定理的3個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)——邊角、形狀和面積 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)（十九）正、余弦定理的3個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)——邊角、形狀和面積 文（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)（十九）正、余弦定理的3個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)——邊角、形狀和面積 文
一、選擇題
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，若B為銳角，則A∶B∶C＝( )
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3
C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
解析：選B 因?yàn)閍＝1，b＝，A＝30°，B為銳角，
所以由正弦定理可得sin B＝＝，則B＝60°，
所以C＝90°，則A∶B∶C＝1∶2∶3.
2．如果將直角三角形三邊增加相同的長(zhǎng)度，則新三角形一定是( )
A．銳角三角形
B．鈍角三角形
C．直角
2、三角形
D．根據(jù)增加的長(zhǎng)度確定三角形的形狀
解析：選A 設(shè)原來直角三角形的三邊長(zhǎng)是a，b，c且a2＝b2＋c2，在原來的三角形三條邊長(zhǎng)的基礎(chǔ)上都加上相同的長(zhǎng)度，設(shè)為d，原來的斜邊仍然是最長(zhǎng)的邊，故cos A＝＝>0，所以新三角形中最大的角是一個(gè)銳角，故選A.
3．(2018·太原模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，則下列關(guān)系一定不成立的是( )
A．a(chǎn)＝c B．b＝c
C．2a＝c D．a(chǎn)2＋b2＝c2
解析：選B 由余弦定理，得cos A＝＝＝，則A＝30°.
又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin
3、30°＝，
所以B＝60°或120°.
當(dāng)B＝60°時(shí)，△ABC為直角三角形，且2a＝c，可知C、D成立；
當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立，故選B.
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B 如圖所示，設(shè)CD＝a，則易知AC＝a，AD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.
5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a
4、，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選C 因?yàn)?S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
則由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，
即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
即＝4，
所以＝4，
解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b2＋c2－a2＝bc，·>0，a＝，則b＋c的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選B 在△A
5、BC中，b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得cos A＝＝＝，
∵A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝60°.
∵a＝，
∴由正弦定理得＝＝＝＝1，
∴b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝sin B＋cos B
＝sin(B＋30°)．
∵·＝||·||·cos(π－B)>0，
∴cos B<0，B為鈍角，
∴90°
6、_____．
解析：將2ccos B＝2a＋b中的邊化為角可得
2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin Ccos B＋2sin Bcos C＋sin B．
則2sin Bcos C＋sin B＝0，
因?yàn)閟in B≠0，所以cos C＝－，則C＝120°，
所以S＝absin 120°＝c，則c＝ab.
由余弦定理可得2＝a2＋b2－2abcos C≥3ab，則ab≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，所以ab的最小值為12.
答案：12
8．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則△BD
7、C的面積是________，cos∠BDC＝________.
解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，
由余弦定理得cos∠ABC＝
＝＝，
則sin∠ABC＝sin∠CBD＝，
所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.
因?yàn)锽D＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，
則cos∠CDB＝ ＝.
答案：
9．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________．
解析：因?yàn)閍＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
8、
所以(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C.
由正弦定理得b2＋c2－bc＝4，
又因?yàn)閎2＋c2≥2bc，所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形為等邊三角形，
所以S＝bcsin 60°≤×4×＝，
故△ABC的面積的最大值為.
答案：
三、解答題
10．(2017·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．
(1)求cos A的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
解：(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b.
由ac＝(a2－b2
9、－c2)及余弦定理，
得cos A＝＝＝－.
(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝＝.
由(1)知，A為鈍角，所以cos B＝＝.
于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，
故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A
＝×－×＝－.
11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin B＝bcos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積．
解：(1)因?yàn)閍sin B＝bcos A，由正弦定理得sin Asin B
10、＝sin Bcos A.
又sin B≠0，從而tan A＝.
由于00，所以c＝3.
故△ABC的面積S＝bcsin A＝.
法二：由正弦定理，得＝，從而sin B＝，
又由a>b，知A>B，所以cos B＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面積S＝absin C＝.
12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin B·(aco
11、s B＋bcos A)＝ccos B.
(1)求B；
(2)若b＝2，△ABC的面積為2，求△ABC的周長(zhǎng)．
解：(1)由正弦定理得，
sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin Ccos B，
∴sin Bsin(A＋B)＝sin Ccos B，
∴sin Bsin C＝sin Ccos B.
∵sin C≠0，∴sin B＝cos B，即tan B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝ac＝2，∴ac＝8.
根據(jù)余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B，
∴12＝a2＋c2－8，即a2＋c2＝20，
∴a＋
12、c＝＝＝6，
∴△ABC的周長(zhǎng)為6＋2.
1．在平面五邊形ABCDE中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB＝3，AE＝3，當(dāng)五邊形ABCDE的面積S∈時(shí)，則BC的取值范圍為________．
解析：因?yàn)锳B＝3，AE＝3，且∠A＝120°，
由余弦定理可得BE＝＝3，且∠ABE＝∠AEB＝30°.
又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°.
又∠C＝120°，所以四邊形BCDE是等腰梯形．
易得三角形ABE的面積為，
所以四邊形BCDE的面積的取值范圍是.
在等腰梯形BCDE中，令BC＝x，則CD＝3－x，且梯形的高為
13、，
故梯形BCDE的面積為·(3＋3－x)·，
即15≤(6－x)x<24，
解得≤x<2或4
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