（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 選考部分 坐標系與參數(shù)方程 高考達標檢測（五十八）參數(shù)方程 理

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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 選考部分 坐標系與參數(shù)方程 高考達標檢測（五十八）參數(shù)方程 理 1．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 解：直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離 d＝＝. 當s＝時，dmin＝. 因此當點P的坐標為(4,4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值. 2．已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普

2、通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值． 解：(1)曲線C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲線C2：＋＝1， 曲線C1是以(－4,3)為圓心，1為半徑的圓； 曲線C2是以坐標原點為中心，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當t＝時，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)， 故M－2＋4cos θ，2＋sin θ. 曲線C3為直線x－2y－7＝0， M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13|， 從而當cos θ＝，sin θ＝－

3、時，d取最小值. 3．在平面直角坐標系xOy中，C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，C2的極坐標方程ρ2－2ρcos θ－3＝0. (1)說明C2是哪種曲線，并將C2的方程化為普通方程； (2)C1與C2有兩個公共點A，B，點P的極坐標，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積． 解：(1)C2是圓，C2的極坐標方程ρ2－2ρcos θ－3＝0， 化為普通方程為x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4. (2)點P的直角坐標為(1,1)，且在直線C1上， 將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2＋y2－2x－3＝0， 得2＋

4、2－2－3＝0，化簡得t2＋t－3＝0. 設A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－，t1·t2＝－3， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝， 定點P到A，B兩點的距離之積|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3. 4．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，定點P(1,1)． (1)以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，單位長度與平面直角坐標系下的單位長度相同建立極坐標系，求圓C的極坐標方程； (2)已知直線l與圓C相交于A，B兩點，求||PA|－|PB||的值． 解：(1)依題意得圓C的一般方程為(x－1)2＋y2

5、＝4， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2－2ρcos θ－3＝0， 所以圓C的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－3＝0. (2)因為定點P(1,1)在直線l上， 所以直線l的參數(shù)方程可表示為(t為參數(shù))． 代入(x－1)2＋y2＝4，得t2－t－3＝0. 設點A，B分別對應的參數(shù)為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－3. 所以t1，t2異號，不妨設t1>0，t2<0， 所以|PA|＝t1，|PB|＝－t2， 所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝. 5．已知直線l：(t為參數(shù))，曲線C1：(θ為參數(shù))． (1)設l與C1相交于A，B兩點，求

6、|AB|； (2)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l距離的最小值． 解：(1)由已知得l的普通方程為y＝(x－1)，C1的普通方程為x2＋y2＝1， 聯(lián)立方程解得l與C1的交點為A(1,0)，B，則|AB|＝1. (2)由題意，得C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 故點P的坐標為， 從而點P到直線l的距離是 d＝＝sin＋2， 當sin＝－1時，d取得最小值，且最小值為. 6．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，

7、曲線C的極坐標方程為ρ＝. (1)直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標方程； (2)設曲線C上的點到直線l的距離為d，求d的取值范圍． 解：(1)直線l的普通方程為x－y＋3＝0， 曲線C的直角坐標方程為3x2＋y2＝3. (2)∵曲線C的直角坐標方程為3x2＋y2＝3， 即x2＋＝1， ∴曲線C上的點的坐標可表示為(cos α，sin α)， ∴d＝ ＝＝. ∴d的最小值為＝，d的最大值為＝. ∴≤d≤， 即d的取值范圍為. 7．平面直角坐標系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經(jīng)過點P(m,0)，且傾斜角為，以O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐

8、標系． (1)寫出曲線C的極坐標方程與直線l的參數(shù)方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝1，求實數(shù)m的值． 解：(1)曲線C的直角坐標方程為：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ， 所以曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝2x中， 得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0， 所以t1t2＝m2－2m， 由題意得|m2－2m|＝1， 解得m＝1或m＝1＋或m＝1－. 8．已知直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos. (1)求圓心C的直角坐標； (2)由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值． 解：(1)∵ρ＝4cos＝2cos θ－2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， ∴圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－)2＋(y＋)2＝4， ∴圓心的直角坐標為(，－)． (2)直線l上的點向圓C引切線，則切線長為 ＝＝≥4， ∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值為4.