（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式及推理與證明 題組層級快練46 直接證明與間接證明 文（含解析）

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1、（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式及推理與證明 題組層級快練46 直接證明與間接證明 文（含解析） 1．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：0　　　　　　　　 B．a(chǎn)－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 答案　C 解析　0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0. 2．要證a2＋b2－1－

2、a2b2≤0只要證明(　　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 答案　D 3．下列不等式不成立的是(　　) A.2 C．233<322 D．sin1>cos1 答案　B 4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P

3、的大小， 只要比較0與12的大小，∵0<12，∴P0，b>0，a＋b＝1，則下列不等式不成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2≥ B．a(chǎn)b≤ C.＋≥4 D.＋≤1 答案　D 解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝1－2ab≥1－2·()2＝，∴A成立； ab≤()2＝，∴B成立； ＋＝＝

4、≥＝4，∴C成立； (＋)2＝a＋b＋2＝1＋2>1， ∴＋>1，故D不成立． 7．(2019·東北四校聯(lián)考)設(shè)x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個(gè)數(shù)(　　) A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2 答案　C 解析　假設(shè)a，b，c三個(gè)數(shù)都小于2. 則6>a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6， 即6>6，矛盾． 所以a，b，c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2. 8．設(shè)a>0，b>0，求證： lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 答案　略 證明　要證lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋l

5、g(1＋b)]， 只需證1＋≤， 即證(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， 即證2≤a＋b， 而2≤a＋b成立， ∴l(xiāng)g(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 9．(2019·江蘇鹽城一模)已知x1，x2，x3為正實(shí)數(shù)，若x1＋x2＋x3＝1，求證：＋＋≥1. 答案　略 解析　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴＋＋≥1. 10．(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3. (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個(gè)使它不成立的x的

6、值． 答案　(1)略　(2)成立，證明略 解析　(1)證明：x是正實(shí)數(shù)，由均值不等式，得 x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2. 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號成立)． (2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立． 由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，不等式成立； 當(dāng)x≤0時(shí)，8x3≤0， 而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0， 此時(shí)不等式仍然成立． 11．(2019·湖北武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

7、為Sn，a3＝5，S8＝64. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：＋>(n≥2，n∈N*)． 答案　(1)an＝2n－1　(2)略 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則解得 故所求的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)證明：由(1)可知Sn＝n2， 要證原不等式成立，只需證＋>， 只需證[(n＋1)2＋(n－1)2]n2>2(n2－1)2. 只需證(n2＋1)n2>(n2－1)2. 只需證3n2>1. 而3n2>1在n≥1時(shí)恒成立， 從而不等式＋>(n≥2，n∈N*)恒成立． 12．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0且－＝1. (1)求{an}的通項(xiàng)公

8、式； (2)設(shè)bn＝，記Sn＝bk，證明：Sn<1. 答案　(1)an＝1－　(2)略 解析　(1)由題設(shè)－＝1， 得{}是公差為1的等差數(shù)列． 又＝1，故＝n.所以an＝1－. (2)由(1)得 bn＝＝＝－， ∴Sn＝bk＝ (－)＝1－<1. 13．(2015·湖南，理)設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． 答案　(1)略　(2)略 解析　(1)由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. 由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)

9、成立，則由a2＋a<2及a>0得00. 答案　(1)－2　(2)略 解析　(1)在f(x)＋f()＝0中，取x＝1，得f(1)＝0， 又f(1)＝ln1－a＋b＝－a＋b，所以b＝a. 從而f(x)＝lnx－ax＋， f′(x)＝－a(1＋)，f′(1)＝1－2a. 又f′(1)＝＝5，所以1－2a＝5，a＝－2. (2)證明：f()＝ln－＋＝2lna＋－－ln2. 令g(x)＝2lnx＋－－ln2， 則g′(x)＝－－＝. 所以，x∈(0，1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減， 故x∈(0，1)時(shí)，g(x)>g(1)＝2－－ln2>1－lne＝0. 所以，00.