（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級(jí)快練58 橢圓（二）文（含解析）

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1、（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 題組層級(jí)快練58 橢圓（二）文（含解析） 1．已知對(duì)任意k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，1)　　　　　　　　 B．(0，5) C．[1，5)∪(5，＋∞) D．[1，5) 思路　該題有兩種解題思路，一是根據(jù)直線和圓錐曲線位置關(guān)系的討論方法，由直線方程和橢圓方程聯(lián)立組成的方程組必有解，通過消元，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程恒有解的問題，利用判別式Δ≥0求解參數(shù)的取值范圍；二是由直線系方程得到直線所過的定點(diǎn)，由直線和橢圓恒有公共點(diǎn)可得，定點(diǎn)在橢圓上或在橢圓內(nèi)，這樣便可得到關(guān)于參數(shù)m的

2、不等式，解之即可． 答案　C 解析　方法一：由橢圓的方程，可知m>0，且m≠5. 將直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組，得 由①，得y＝kx＋1. 代入②，得＋＝1. 整理，得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0. 因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，故Δ＝(10k)2－4×(5k2＋m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0. 因?yàn)閙>0，所以不等式等價(jià)于5k2－1＋m≥0，即k2≥，由題意，可知不等式恒成立，則≤0，解得m≥1. 綜上m的取值范圍為m≥1且m≠5. 方法二：因?yàn)橹本€y－kx－1＝0過定點(diǎn)P(0，1)， 要使直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，則該點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，

3、即＋≤1，整理，得≤1，解得m≥1. 又方程＋＝1表示橢圓，所以m>0且m≠5. 綜上m的取值范圍為m≥1且m≠5. 2．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，橢圓E的方程為＋＝1. 3．(2019·南昌二模)已知橢圓C：＋x2＝1，過點(diǎn)P(，)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的

4、方程為(　　) A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0 答案　B 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B在橢圓＋x2＝1上，所以兩式相減得＋x12－x22＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被點(diǎn)P(，)平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，將其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直線AB的斜率為－9，所以直線AB的方程為y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0. 4．橢圓＋＝1上的點(diǎn)到直線x＋2y－＝0的最大距離是(　　) A．3 B. C．2 D. 答案　D 解析　設(shè)橢圓＋＝

5、1上的點(diǎn)P(4cosθ，2sinθ)，則點(diǎn)P到直線x＋2y－＝0的距離為d＝＝， ∴dmax＝＝. 5．(2019·廣東梅州階段測(cè)評(píng))已知橢圓E：＋＝1的一個(gè)頂點(diǎn)C(0，－2)，直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若E的左焦點(diǎn)F1為△ABC的重心，則直線l的方程為(　　) A．6x－5y－14＝0 B．6x－5y＋14＝0 C．6x＋5y＋14＝0 D．6x＋5y－14＝0 答案　B 解析　由題意知F1(－1，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則∴① 設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則M(－，1)． 由作差得 ＋＝0， 將①代入上式得＝. 即k＝，由點(diǎn)斜式，得 直線方

6、程為y－1＝(x＋)， 即6x－5y＋14＝0. 6．(2019·江西南昌一模)橢圓ax2＋by2＝1(a>0，b>0)與直線y＝1－x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則ax12＋by12＝1，ax22＋by22＝1， 即ax12－ax22＝－(by12－by22)， 則＝－1，＝－1， ∴×(－1)×＝－1， ∴＝，故選B. 方法二：由消去y， 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， 可得AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)， ∴kOP＝＝，

7、∴＝. 7．(2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵點(diǎn)A1，A2是橢圓的左、右頂點(diǎn)，∴|A1A2|＝2a，∴以線段A1A2為直徑的圓可表示為x2＋y2＝a2，該圓的圓心為(0，0)，半徑為a.又∵該圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切， ∴圓心(0，0)到直線bx－ay＋2ab＝0的距離等于半徑， 即＝a，整理得a2＝3b2. 又∵在橢圓中，a2＝b2＋c2，∴e＝＝＝，故選A. 8．(2019·山西

8、八校聯(lián)考)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，弦AB過F1，若△ABF2的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則|y1－y2|的值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在橢圓＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3. 故橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)． 由△ABF2的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π，可得內(nèi)切圓的半徑為r＝. △ABF2的面積＝△AF1F2的面積＋△BF1F2的面積＝×|y1|×|F1F2|＋×|y2|×|F1F2|＝×(|y1|＋|y2|)×|F1F2|＝3|y1－y2|(A，B在x軸的上下兩側(cè))，

9、又△ABF2的面積＝×r(|AB|＋|BF2|＋|F2A|)＝×(2a＋2a)＝a＝5，所以3|y1－y2|＝5，即|y1－y2|＝. 9．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，則橢圓在其上一點(diǎn)A(x0，y0)處的切線方程為＋＝1.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題，橢圓C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距為2，且過點(diǎn)(1，)，點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，則△OCD面積的最小值為(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　由題意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，將點(diǎn)(1，)代入橢圓方程，

10、可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即橢圓的方程為＋y2＝1，設(shè)B(x2，y2)，則橢圓C1在點(diǎn)B處的切線方程為x＋y2y＝1，令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xC＝，所以S△OCD＝··＝，又點(diǎn)B為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，所以x2>0，y2>0，＋y22＝1，即有＝＝＋≥2＝，即S△OCD≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)22＝，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)時(shí)，△OCD面積取得最小值，故選B. 10．直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為________． 答案?。? 解析　由點(diǎn)差法可求出k1＝－·， ∴k1·＝－，

11、即k1k2＝－. 11．(2019·河北唐山期末)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為________． 答案　＋＝1 解析　由△F2AB是面積為4的等邊三角形知AB垂直x軸，得＝×2c，×2c×＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所以橢圓的方程為＋＝1. 12．橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 答案?。?

12、 解析　由直線y＝(x＋c)知其傾斜角為60°， 由題意知∠MF1F2＝60°，則∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°. 故|MF1|＝c，|MF2|＝c. 又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a. 即e＝＝－1. 13．已知橢圓＋＝1(0

13、18·浙江)已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓＋y2＝m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足＝2，則當(dāng)m＝________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大． 答案　5 解析　由題意知A，B，P三點(diǎn)共線．①當(dāng)AB所在直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為0，顯然此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值不是最大值．②當(dāng)AB所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程y＝kx＋1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立消去y，得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.① 又＝2，即x1＝－2x2.② 將②代入①得，x2＝，x22＝， 兩式相除，整理得kx2＝.由x22＝得

14、2m－2＝x22＋4(kx2)2＝x22＋，∴x22＝2m－2－＝－(m2－10m＋9)＝－(m－5)2＋4. 即當(dāng)m＝5時(shí)，x22有最大值4，此時(shí)點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大． 15．已知橢圓C：＋＝1，過橢圓C上一點(diǎn)P(1，)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA，PB，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求直線AB的斜率． 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，同時(shí)設(shè)PA的方程為y－＝k(x－1)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，顯然1和x1是這個(gè)方程的兩解．因此x1＝，y1＝，由－k代替x1，y1中的k，得x2＝，y2＝，所以＝. 16．(2019·

15、陜西西安模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3，0)，離心率為e. (1)若e＝，求橢圓的方程； (2)設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線段AF2，BF2的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，且

16、邊形，所以AF2⊥BF2.因?yàn)椋?x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)， 所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0. 即＋9＝0， 將其整理為k2＝＝－1－. 因?yàn)?e≤，所以2≤a<3，12≤a2<18. 所以k2≥，即k∈(－∞，－]∪[，＋∞)． 17．(2019·云南曲靖模擬)已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，且橢圓C過點(diǎn)P(1，)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若與直線OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))平行的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求△AOB的面積． 答案　(1)＋y2＝1　(2) 解析　(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意可得解得 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)直線OP的方程為y＝x，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．將直線AB的方程代入橢圓C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m) ＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝. 又|AB|＝＝·， O到直線AB的距離d＝＝.所以S△AOB＝|AB|·d＝×××＝.