（全國版）2019版高考數學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第1講 直線的傾斜角與斜率學案

第1講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　直線的傾斜角與斜率 1.直線的傾斜角 (1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角．當直線與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°. (2)傾斜角的范圍為0°≤α<180°. 2.直線的斜率 (1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα，傾斜角是90°的直線斜率不存在． (2)過兩點的直線的斜率公式 經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝. 考點2　直線方程的幾種形式 [必會結論] 直線的斜率k與傾斜角θ之間的關系 牢記口訣： “斜率變化分兩段，90°是分界線； 遇到斜率要謹記，存在與否要討論”． [考點自測] 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線的傾斜角越大，其斜率越大．(　　) (2)斜率公式k＝，不適用于垂直于x軸和平行于x軸的直線．(　　) (3)當直線的斜率不存在時，其傾斜角存在．(　　) (4)過點P(x1，y1)的直線方程一定可設為y－y1＝k(x－x1)．(　　) (5)直線方程的截距式＋＝1中，a，b均應大于0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2.[課本改編]過點M(－1，m)，N(m＋1,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　) A.1 B. C．2 D. 答案　A 解析　由＝1，得m＝1.故選A. 3.[課本改編]傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是(　　) A.x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 答案　D 解析　直線的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4.[課本改編]過兩點(0,3)，(2,1)的直線方程為(　　) A.x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0 C.x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 答案　B 解析　所求直線的斜率k＝＝－1，又過點(0,3)，所以直線方程為y－3＝－x，即x＋y－3＝0. 5.已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是(　　) A.1 B．－1 C.－2或－1 D．－2或1 答案　D 解析　由題意可知a≠0.當x＝0時，y＝a＋2；當y＝0時，x＝，∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1. 6.[2018·長春模擬]直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，則直線l恒過定點________． 答案　(2，－2) 解析　直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由解得x＝2，y＝－2， 所以直線l恒過定點(2，－2). 板塊二　典例探究·考向突破 考向　直線的傾斜角與斜率　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________． 答案　(－∞，－]∪[1，＋∞) 解析　如圖， ∵kAP＝＝1, kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞). 　若將題中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍． 解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，∴kAP＝＝，kBP＝＝. 如圖可知，直線l斜率的取值范圍為. 　若將題中條件改為“經過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點”，求直線l的傾斜角α的范圍． 解　如圖所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，由圖可觀察出：直線l傾斜角α的范圍是∪. 觸類旁通 直線的斜率與傾斜角的區(qū)別與聯(lián)系 【變式訓練1】　(1)[2018·重慶巴蜀中學診斷]直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　B 解析　依題意，直線的斜率k＝－∈[－1,0)，因此其傾斜角的取值范圍是. (2)若經過兩點A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角為，則y等于(　　) A.－1 B．－3 C．0 D．2 答案　B 解析　由k＝＝tan＝－1，得－4－2y＝2，所以y＝－3. 考向　求直線的方程 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　根據所給條件求直線的方程： (1)直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為； (2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12； (3)與直線3x－4y－5＝0關于y軸對稱． 解　(1)由題設知該直線的斜率存在，故可采用點斜式．設傾斜角為α，則sinα＝(0<α<π)， 從而cosα＝±，則k＝tanα＝±， 故所求直線方程為y＝±(x＋4)， 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由題設知截距不為0，設直線方程為＋＝1，又直線過點(－3,4)，從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)直線3x－4y－5＝0與y軸的交點為A，所求直線過A，且斜率k＝－，所求直線方程為y＝－x－，即3x＋4y＋5＝0. 觸類旁通 求直線方程的兩種方法 (1)直接法：根據已知條件，選擇適當的直線方程形式，直接寫出直線方程，選擇時，應注意各種形式的方程的適用范圍，必要時要分類討論． (2)待定系數法，即設定含有參數的直線方程，由條件列出方程(組)，再求出參數，最后將其代入直線方程. 【變式訓練2】　已知△ABC的三個頂點分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC邊所在直線的方程； (2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE的方程． 解　(1)因為直線BC經過B(2,1)和C(－2,3)兩點，由兩點式得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0. (2)設BC邊的中點D的坐標為(x，y)， 則x＝＝0，y＝＝2. BC邊的中線AD過點A(－3,0)，D(0,2)兩點，由截距式得AD所在直線方程為＋＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知直線BC的斜率k1＝－， 則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2. 由(2)知點D的坐標為(0,2)． 可求出直線的點斜式方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 考向　直線方程的應用 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　[2018·無錫檢測]已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點； (2)若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程． 解　(1)證明：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，故無論k取何值，直線l總過定點(－2,1)． (2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經過第四象限，則解得k的取值范圍是[0，＋∞)． (3)依題意，直線l在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k， ∴A，B(0,1＋2k)． 又－<0且1＋2k>0， ∴k>0.故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4， 當且僅當4k＝，即k＝時，取等號．故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0. 觸類旁通 直線方程綜合問題的兩大類型及解法 (1)與函數相結合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數，借助函數的性質解決． (2)與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識(如方程解的個數、根的存在問題，不等式的性質、基本不等式等)來解決. 【變式訓練3】　已知直線l過點M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標原點．求： (1)當|OA|＋|OB|取得最小值時，直線l的方程； (2)當|MA|2＋|MB|2取得最小值時，直線l的方程． 解　(1)設A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 設直線l的方程為＋＝1，則＋＝1， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當“a＝b＝2”時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0. (2)設直線l的斜率為k，則k<0， 直線l的方程為y－1＝k(x－1)， 則A，B(0,1－k)， 所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4. 當且僅當k2＝，即k＝－1時取等號，此時直線l的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 核心規(guī)律 1.明確直線方程各種形式的適用條件 點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線． 2.求直線方程中一種重要的方法就是先設直線方程，再求直線方程中的系數，這種方法叫待定系數法． 滿分策略 1.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率． 2.根據斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數的單調性． 3.截距為一個實數，既可以為正數，也可以為負數，還可以為0，這是解題時容易忽略的一點． 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯警示系列 10——都是漏掉“過原點”情況惹的禍 [2018·濟南檢測]求經過點P(2,3)，并且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程． 錯因分析　利用截距式方程求解時，忘記過原點的情況，而漏掉直線方程3x－2y＝0. 解　解法一：(1)當截距為0時，直線l過點(0,0)，(2,3)，則直線l的斜率為k＝＝， 因此，直線l的方程為y＝x，即3x－2y＝0. (2)當截距不為0時，可設直線l的方程為＋＝1. ∵直線l過點P(2,3)，∴＋＝1，∴a＝5， ∴直線l的方程為x＋y－5＝0. 綜上可知，直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 解法二：由題意可知所求直線斜率存在， 則可設y－3＝k(x－2)，且k≠0. 令x＝0，得y＝－2k＋3. 令y＝0，得x＝－＋2. 于是－2k＋3＝－＋2，解得k＝或－1. 則直線l的方程為y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)， 即直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 跟蹤訓練 過點(5,2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是(　　) A.2x＋y－12＝0 B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 答案　D 解析　當直線經過坐標原點時，直線方程為y＝x，即2x－5y＝0；當直線不經過坐標原點時，設直線方程為＋＝1，則＋＝1，解得b＝，故所求的直線方程是＋＝1，即x＋2y－9＝0. 板塊四　模擬演練·提能增分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [A級　基礎達標] 1.直線x＋y＋1＝0的傾斜角是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由直線的方程得直線的斜率k＝－，設傾斜角為α，則tanα＝－，所以α＝. 2.[2018·沈陽模擬]直線ax＋by＋c＝0同時要經過第一、第二、第四象限，則a，b，c應滿足(　　) A.ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0 C.ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0 答案　A 解析　由于直線ax＋by＋c＝0經過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0. 3.[2018·邯鄲模擬]過點(2,1)，且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小的直線方程是(　　) A.x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2 答案　A 解析　∵直線y＝－x－1的斜率為－1，則傾斜角為.依題意，所求直線的傾斜角為－＝，斜率不存在，∴過點(2,1)的直線方程為x＝2. 4.已知三點A(2，－3)，B(4,3)，C在同一條直線上，則k的值為(　　) A.12 B．9 C．－12 D．9或12 答案　A 解析　由kAB＝kAC，得＝， 解得k＝12.故選A. 5.[2018·荊州模擬]兩直線－＝a與－＝a(其中a是不為零的常數)的圖象可能是(　　) 答案　B 解析　直線方程－＝a可化為y＝x－na，直線－＝a可化為y＝x－ma，由此可知兩條直線的斜率同號．故選B. 6.[2018·安徽模擬]直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　設直線l的斜率為k，則k＝－＝. 7.直線xcosα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________． 答案　∪ 解析　設直線的傾斜角為θ，依題意知，θ≠，k＝－cosα，∵cosα∈[－1,1]，∴k∈，即tanθ∈.又θ∈[0，π)，∴θ∈∪ 8.已知實數x，y滿足方程x＋2y＝6，當1≤x≤3時，的取值范圍為________． 答案　∪ 解析　的幾何意義是過M(x，y)，N(2,1)兩點的直線的斜率，因為點M在x＋2y＝6的圖象上，且1≤x≤3，所以可設該線段為AB，且A，B，由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范圍是∪. 9.過點M(－3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為________． 答案　y＝－x或x－y＋8＝0 解析　(1)當直線過原點時，直線方程為y＝－x； (2)當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1，即x－y＝a，代入點(－3,5)，得a＝－8，即直線方程為x－y＋8＝0. 10.[2018·衡陽模擬]一條直線經過點A(2，－)，并且它的傾斜角等于直線y＝x的傾斜角的2倍，則這條直線的一般式方程是________． 答案　x－y－3＝0 解析　解法一：∵直線y＝x的傾斜角為30°， 所以所求直線的傾斜角為60°， 即斜率k＝tan60°＝. 又該直線過點A(2，－)， 故所求直線為y－(－)＝(x－2)， 即x－y－3＝0. 解法二：設直線y＝x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角θ＝2α. tanθ＝tan2α＝＝＝. 所求直線為x－y－3＝0. [B級　知能提升] 1.[2018·海南模擬]直線(1－a2)x＋y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　直線的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由傾斜角和斜率的關系(如圖所示)，該直線傾斜角的取值范圍為∪. 2.已知點A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝，則直線AB的方程為(　　) A.y＝x＋或y＝－x－ B.y＝x＋或y＝－x－ C.y＝x＋1或y＝－x－1 D.y＝x＋或y＝－x－ 答案　B 解析　由|AB|＝＝＝，得cosα＝，所以sinα＝±，所以直線AB的斜率kAB＝＝＝或kAB＝＝＝－，所以直線AB的方程為y＝±(x＋1)，即直線AB的方程為y＝x＋或y＝－x－.選B. 3.[2018·寧夏調研]若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點共線，則ab的最小值為________． 答案　16 解析　根據A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為＋＝1，又C(－2，－2)在該直線上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0. 根據基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，從而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，當且僅當a＝b＝－4時取等號，即ab的最小值為16. 4.在△ABC中，已知A(1,1)，AC邊上的高線所在直線方程為x－2y＝0，AB邊上的高線所在直線方程為3x＋2y－3＝0.求BC邊所在直線方程． 解　kAC＝－2，kAB＝. ∴AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0， AB：y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0. 由得C(3，－3)． 由得B(－2，－1)． ∴BC：2x＋5y＋9＝0. 5.過點P(2,1)作直線l，與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求： (1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程； (2)求直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程； (3)求|PA|·|PB|的最小值及此直線l的方程． 解　(1)解法一：設直線l的方程為y－1＝k(x－2)，則可得A，B(0,1－2k)． ∵與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點， ∴?k<0. 于是S△AOB＝·|OA|·|OB| ＝··(1－2k)＝ ≥＝4. 當且僅當－＝－4k，即k＝－時，△AOB面積有最小值為4，此時，直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 解法二：設所求直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，則＋＝1. 又∵＋≥2?ab≥4，當且僅當＝＝，即a＝4，b＝2時，△AOB面積S＝ab有最小值為4. 此時，直線l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. (2)解法一：∵A，B(0,1－2k)(k<0)， ∴截距之和為＋1－2k＝3－2k－≥3＋2＝3＋2. 當且僅當－2k＝－，即k＝－時，等號成立． 故截距之和最小值為3＋2，此時l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－2－2＝0. 解法二：∵＋＝1， ∴截距之和a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2. 此時＝，求得b＝＋1，a＝2＋. 此時，直線l的方程為＋＝1， 即x＋2y－2－2＝0. (3)解法一：∵A，B(0,1－2k)(k<0)， ∴|PA|·|PB|＝·＝ ≥ ＝4. 當且僅當＝4k2，即k＝－1時上式等號成立，故|PA|·|PB|最小值為4，此時，直線l的方程為x＋y－3＝0. 解法二：設∠OAB＝θ， 則|PA|＝，|PB|＝＝， ∴|PA|·|PB|＝＝，當sin2θ＝1，θ＝時，|PA|·|PB|取得最小值4，此時直線l的斜率為－1，又過定點(2,1)，∴其方程為x＋y－3＝0. 15