（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第1講 直線與圓練習(xí)

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1、（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第1講 直線與圓練習(xí) A組 1．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為( B ) A．　　 B．　　　 C．　　 D． [解析]　由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)， 2a2≠18，求得a＝－1， ∴l(xiāng)1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，兩條平行直線l1與l2間的距離為 d＝＝.故選B． 2．(文)直線x＋y＋＝0截圓x2＋y2＝4所得劣弧所對圓心角為( D ) A． B． C． D． [解析]　弦心距d＝＝

2、1，半徑r＝2， ∴劣弧所對的圓心角為. (理)⊙C1：(x－1)2＋y2＝4與⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直線為l，則l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦長為( D ) A． B．4 C． D． [解析]　由⊙C1與⊙C2的方程相減得l：2x－3y＋2＝0. 圓心O(0,0)到l的距離d＝，⊙O的半徑R＝2， ∴截得弦長為2＝2＝. 3．已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，過A(－1,0)的直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝2，則直線l的方程為( B ) A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或

3、4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 [解析]　當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－1符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，則圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得k＝，此時(shí)直線l的方程為y＝(x＋1)，故所求直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0. 4．過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝( C ) A．2 B．8 C．4 D．10 [解析]　由已知得kAB＝＝－，kCB＝＝3，所以kAB·kCB＝－1，所以AB⊥CB，即△ABC為直角三角形，其外接圓圓心為(1，－

4、2)，半徑為5，所以外接圓方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0，得y＝±2－2，所以|MN|＝4，故選C． 5．直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為(－2,3)，則直線l的方程為( A ) A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0 [解析]　設(shè)圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圓心為C，弦AB的中點(diǎn)為D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)， 故直線CD的斜率kCD＝＝－1， 則由CD⊥l知直線l的斜率kl＝－＝1， 故直線l的方程為y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0

5、. 6．一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為( D ) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ [解析]　由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)(2，－3)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則其直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵光線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴＝1，解得k＝－或k＝－.故選D． 7．若直線3x－4y＋5＝0與圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB＝120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r＝2. [解析]　直線3x－4y＋5＝0

6、與圓x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠AOB＝120°，則圓心(0,0)到直線3x－4y＋5＝0的距離為r，即＝r，∴r＝2. 8．一個(gè)圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝. [解析]　設(shè)圓心為(a,0)，則圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，依題意得＝，解得a＝， r2＝，所以圓的方程為2＋y2＝. 9．已知定點(diǎn)M(0,2)，N(－2,0)，直線l：kx－y－2k＋2＝0(k為常數(shù))． (1)若點(diǎn)M，N到直線l的距離相等，求實(shí)數(shù)k的值； (2)對于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． [解析]

7、　(1)∵點(diǎn)M，N到直線l的距離相等， ∴l(xiāng)∥MN或l過MN的中點(diǎn)． ∵M(jìn)(0,2)，N(－2,0)， ∴直線MN的斜率kMN＝1， MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(－1,1)． 又∵直線l：kx－y－2k＋2＝0過定點(diǎn)D(2,2)， ∴當(dāng)l∥MN時(shí)，k＝kMN＝1； 當(dāng)l過MN的中點(diǎn)時(shí)，k＝kCD＝. 綜上可知，k的值為1或. (2)∵對于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角， ∴l(xiāng)與以MN為直徑的圓相離，即圓心到直線l的距離大于半徑， ∴d＝>，解得k<－或k>1. 10．已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段為4，

8、求l的方程； (2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程． [解析]　(1)如圖所示，|AB|＝4，將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝16， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(－2,6)，半徑r＝4，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB， 所以|AD|＝2，|AC|＝4. C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,6)． 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：＝2， 得k＝. 故直線l的方程為3x－4y＋20＝0. 直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0. 所以所求直線l的

9、方程為x＝0或3x－4y＋20＝0. B組 1．(2018·南寧一模)直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2，則直線的傾斜角為( A ) A．或 B．－或 C．－或 D． [解析]　圓(x－2)2＋(y－3)2＝4的圓心為(2,3)，半徑r＝2，圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離d＝，因?yàn)橹本€y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2，所以由勾股定理得r2＝d2＋()2，即4＝＋3，解得k＝±，故直線的傾斜角為或. 2．設(shè)直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為

10、( B ) A．± B．± C．±3 D．±9 [解析]　由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±. 3．已知點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，若點(diǎn)C是圓x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC面積的最小值為3－，則a的值為( C ) A．1 B．－5 C．1或－5 D．5 [解析]　解法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝1，圓心M(a,0)到直線AB：x－y＋2＝0的距離為d＝， 可知圓上的點(diǎn)到直線AB的最短距離為d－1＝－1，(S△ABC)min

11、＝×2×＝3－， 解得a＝1或－5. 解法二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝1， 設(shè)C的坐標(biāo)為(a＋cosθ，sinθ)，C點(diǎn)到直線AB：x－y＋2＝0的距離為d＝ ＝. △ABC的面積為S△ABC＝×2× ＝|sin(θ－)＋a＋2|， 當(dāng)a≥0時(shí)，a＋2－＝3－，解得a＝1； 當(dāng)－2≤a<0時(shí)，|a＋2－|＝3－，無解； 當(dāng)a<－2時(shí)，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5. 解法三：設(shè)與AB平行且與圓相切的直線l′的方程為x－y＋m＝0(m≠2)，圓心M(a,0)到直線l′的距離d＝1，即＝1，解得m＝±－a， 兩平行線l，l′之間的距離就是圓上的點(diǎn)到直線AB的最短距

12、離， 即＝， (S△ABC)min＝×2×＝|±－a－2|. 當(dāng)a≥0時(shí)，|±－a－2|＝3－，解得a＝1. 當(dāng)a<0時(shí)，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5. 故a＝1或－5. 4．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是原點(diǎn)，且有|＋|≥||，則k的取值范圍是( C ) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2] [解析]　本題考查直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算．設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則OD⊥AB，因?yàn)閨＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因?yàn)閨|2＋||2＝4，所以||≥1.因?yàn)橹本€x＋y－k＝0(k>

13、0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2， 故選C． 5．兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為：若兩條平行直線和圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩平行直線和圓沒有公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩平行直線和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相切”．已知直線l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圓：x2＋y2＋2x－4＝0相切，則a的取值范圍是( C ) A．a(chǎn)>7或a<－3 B．a(chǎn)>或a<－ C．－3≤a≤－或≤a≤7 D．a(chǎn)≥7或a≤－3 [解析]　本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系

14、、補(bǔ)集思想及分析、理解、解決問題的能力．兩條平行線與圓都相交時(shí)， 由得－7，所以兩條直線和圓“相切”時(shí)a的取值范圍－3≤a≤－或≤a≤7，故選C． 6．過點(diǎn)P(－1,1)作圓C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則·的最小值為. [解析]　圓C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1的圓心坐標(biāo)為(t，t－2)，半徑為1， 所以PC＝ ＝≥， PA＝PB＝，cos∠APC＝， 所以cos∠APB＝22－1＝1－， 所以·＝(PC2－1)(1－)＝－3＋PC2＋≥－3＋8＋＝， 所以·的最小

15、值為. 7．過點(diǎn)C(3,4)作圓x2＋y2＝5的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)C到直線AB的距離為4. [解析]　以O(shè)C為直徑的圓的方程為(x－)2＋(y－2)2＝()2，AB為圓C與圓O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程為x2＋y2－[(x－)2＋(y－2)2]＝5－，化為3x＋4y－5＝0，C到AB的距離為d＝＝4. 8．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若sin2A＋sin2B＝sin2C，則直線ax－by＋c＝0被圓x2＋y2＝9所截得弦長為2. [解析]　由正弦定理得a2＋b2＝c2， ∴圓心到直線距離d＝＝＝， ∴弦長l＝2＝2＝2. 9．(2

16、018·全國卷Ⅱ，19)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程． (2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． [解析]　(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1. 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，

17、 所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 10．(2017·全國卷Ⅲ，20)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由． (2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值． [解析]　(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．理由如下： 設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)， 則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－， 所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，可得BC的中垂線方程為y－＝x2(x2－)． 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯(lián)立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(－，－)，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長為2＝3， 即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值．