（浙江專(zhuān)用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式學(xué)案

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1、（浙江專(zhuān)用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式學(xué)案 [考情考向分析]　1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、線(xiàn)性規(guī)劃、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主.2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)的取值范圍.3.在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問(wèn)題或在解決導(dǎo)數(shù)或數(shù)列問(wèn)題時(shí)常利用不等式進(jìn)行求解，難度較大． 熱點(diǎn)一　基本不等式 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值)；(

2、2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值s2(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)． 例1　(1)(2018·浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)設(shè)a>b>0，當(dāng)＋取得最小值c時(shí)，函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值為(　　) A．3 B．2 C．5 D．4 答案　A 解析　＋＝＋ ≥2b(a－b)＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝2時(shí)，上面不等式中兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立， 所以＋的最小值為4，此時(shí)a＝2，b＝1，c＝4， 則f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－4| ＝ 所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(2)＝5－2＝3，故選A. (2

3、)(2018·諸暨市高考適應(yīng)性考試)已知a，b為正實(shí)數(shù)，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，則3a＋4b的最小值為_(kāi)_______． 答案　6－1 解析　由(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，得a＋b＝，則3a＋4b＝2(a＋b)＋a＋2b＝＋(a＋2b＋1)－1≥2－1＝6－1，當(dāng)且僅當(dāng)＝a＋2b＋1>0時(shí)，等號(hào)成立，所以3a＋4b的最小值為6－1. 思維升華　在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)成立的條件)的條件，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 跟蹤演練1　(1)設(shè)x>0

4、，y>0，若xlg 2，lg，ylg 2成等差數(shù)列，則＋的最小值為(　　) A．8 B．9 C．12 D．16 答案　D 解析　∵xlg 2，lg，ylg 2成等差數(shù)列， ∴2lg＝lg 2， ∴x＋y＝1， ∴＋＝＝10＋＋ ≥10＋2＝10＋6＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)取等號(hào)， 故＋的最小值為16，故選D. (2) 已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上運(yùn)動(dòng)，且＝(，)，設(shè)|CE|＝x，|CF|＝y(tǒng)，若|－|＝||，則x＋y的最大值為(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　C 解析　∵||＝＝2，|－|＝||， 又|－|＝||

5、＝＝2, ∴x2＋y2＝4， ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)， ∴x＋y≤2，即x＋y的最大值為2，故選C. 熱點(diǎn)二　簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決． 例2　(1)(2018·浙江)若x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________． 答案?。?　8 解析　由，畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)． 由解得A(4，－2)，

6、 由解得B(2,2)， 將目標(biāo)函數(shù)y＝－x平移可知， 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(4，－2)時(shí)，zmin＝4＋3×(－2)＝－2； 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)B(2,2)時(shí)，zmax＝2＋3×2＝8. (2)(2018·浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則x2＋y2的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出滿(mǎn)足約束條件的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部分，其中不含邊界線(xiàn)段NP，設(shè)z＝x2＋y2，求z＝x2＋y2的取值范圍，即求圖中陰影部分內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的取值范圍． 由圖可知，作OH⊥MN于點(diǎn)H， 由N(0,1)，M，

7、得OH＝＝， ∴zmin＝. 又∵OP2＝22＋32＝13，但點(diǎn)P不在圖中陰影部分內(nèi)， ∴z＝x2＋y2取不到13， ∴x2＋y2的取值范圍是，故選D. 思維升華　(1)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍． (2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得． 跟蹤演練2　(1)(2018·浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)若不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．[－1,1] C．[－1,2) D．(1，＋∞) 答案　D 解析　在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)

8、出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示． 直線(xiàn)λx－y＋2λ－2＝0恒過(guò)定點(diǎn)(－2，－2)，由圖易得不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠衷谥本€(xiàn)λx－y＋2λ－2＝0下方的部分，當(dāng)λ>1時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過(guò)四個(gè)象限；當(dāng)<λ≤1時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過(guò)第二象限；當(dāng)0≤λ≤時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過(guò)第一和第二象限；當(dāng)λ<0時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過(guò)第一象限，所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(1，＋∞)，故選D. (2)(2018·浙江省稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組(m>0)表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，P(x，y)為Ω上的點(diǎn)，當(dāng)2x＋y的最大值為8時(shí)，Ω

9、的面積為(　　) A．12 B．8 C．4 D．6 答案　D 解析　在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，其是以(0,0)，(m，－m)，(m,2m)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)，由圖(圖略)易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y經(jīng)過(guò)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(m,2m)時(shí)，z＝2x＋y取得最大值，所以2m＋2m＝8，解得m＝2，則此時(shí)平面區(qū)域Ω的面積為×2×(4＋2)＝6，故選D. 熱點(diǎn)三　絕對(duì)值不等式及其應(yīng)用 1．絕對(duì)值不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c(c>0)?－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c(c>0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (2)含絕對(duì)值的不等式的幾種

10、解法：公式法；零點(diǎn)分區(qū)間法；幾何意義法；圖象法． 2．絕對(duì)值三角不等式 (1)|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)等號(hào)成立． (2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立． 例3　(1)(2018·寧波期末)若函數(shù)f(x)＝在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值為M，最小值為m，則M－m等于(　　) A. B．2 C. D. 答案　C 解析　因?yàn)閒(x)＝≥0，當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以m＝0.又因?yàn)閒(x)＝≤||＋＝＋，當(dāng)x<0時(shí)等號(hào)成立．設(shè)t＝|x|，g(t)＝＋(1≤t≤4)，則g′(t)＝－＝令g′(t)＝＝

11、0，得t＝，所以函數(shù)g(x)在[1，]上單調(diào)遞減，在(，4]上單調(diào)遞增，且g(1)＝2，g(4)＝，所以g(t)在[1,4]上的最大值為，所以當(dāng)x＝－4時(shí)，f(x)＝取得最大值M＝，所以M－m＝，故選C. (2)已知m∈R，要使函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋9－2m|＋2m在區(qū)間[0,4]上的最大值是9，則m的取值范圍是__________． 答案　 解析　不等式即為|x2－4x＋9－2m|＋2m≤9，x∈[0,4]， 等價(jià)于|x2－4x＋9－2m|≤9－2m，x∈[0,4]， 2m－9≤x2－4x＋9－2m≤9－2m，x∈[0,4]， 4m－18≤x2－4x≤0，x∈[0,4]，

12、 結(jié)合函數(shù)的定義域可得(x2－4x)min＝－4， 據(jù)此可得4m－18≤－4，m≤， 即m的取值范圍是. 思維升華　(1)利用絕對(duì)值三角不等式求最值要注意等號(hào)成立的條件． (2)絕對(duì)值不等式在某一區(qū)間上的最值可以進(jìn)行分類(lèi)討論，也可以直接分析區(qū)間端點(diǎn)的取值，結(jié)合最值取到的條件靈活確定． 跟蹤演練3　(1)對(duì)任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| ≥|(x－1)－x|＋|(y－1)－(y＋1)|＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)0

13、． (2)(2018·杭州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，則f(1)＝________. 答案　 解析　由題意得|f(1)－12|≤，① |f(1)＋1－12|≤，② 由①得≤f(1)≤，由②得－≤f(1)≤， 所以f(1)＝. 真題體驗(yàn) 1．(2016·上海)設(shè)x∈R，則不等式|x－3|<1的解集為_(kāi)_________． 答案　(2,4) 解析　由－1

14、) 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示． 由題意可知，當(dāng)直線(xiàn)y＝－x＋過(guò)點(diǎn)A(2,1)時(shí)，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4. 所以z＝x＋2y的取值范圍是[4，＋∞)． 3．(2016·浙江改編)已知實(shí)數(shù)a，b，c，則下列正確的是________．(填序號(hào)) ①若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2<100； ②若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100； ③若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，則a2＋b2＋c2<100； ④若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，則a2＋b2＋c2

15、<100. 答案　④ 解析　對(duì)①，當(dāng)a＝b＝10，c＝－110時(shí)，此式不成立； 對(duì)②，當(dāng)a＝10，b＝－100，c＝0時(shí)，此式不成立； 對(duì)③，當(dāng)a＝10，b＝－10，c＝0時(shí)，此式不成立． 故填④. 4．(2017·天津)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為_(kāi)_______． 答案　4 解析　∵a，b∈R，ab>0， ∴≥＝4ab＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)． 故的最小值為4. 押題預(yù)測(cè) 1．已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋y＋＋＝5，則x＋y的最大值是(　　) A．3 B. C．4 D. 押題依據(jù)　基本不等式在歷年高考中的地位都很重要，已成為高考的重點(diǎn)

16、和熱點(diǎn)，用基本不等式求函數(shù)(和式或積式)的最值問(wèn)題，有時(shí)與解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合． 答案　C 解析　由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋， ∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋＝x＋y＋， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)． ∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0， 解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4. 2．在R上定義運(yùn)算：＝ad－bc，若不等式≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為(　　) A．－ B．－ C. D. 押題依據(jù)　不等式的解法作為數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本工具，在高考中是必考內(nèi)容．往往與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，最后轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元二次不等式． 答案　D 解析

17、　由定義知，不等式≥1等價(jià)于x2－x－(a2－a－2)≥1， ∴x2－x＋1≥a2－a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立． ∵x2－x＋1＝2＋≥， ∴a2－a≤，解得－≤a≤， 則實(shí)數(shù)a的最大值為. 3．設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝4x＋y的最小值為(　　) A．－6 B．6 C．7 D．8 押題依據(jù)　線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，利用線(xiàn)性規(guī)劃的方法求一些線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)． 答案　C 解析　由x，y滿(mǎn)足的約束條件畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)， 當(dāng)直線(xiàn)z＝4x＋y過(guò)點(diǎn)C(1,3)時(shí)，z取得最小值且最小值為4＋3＝7，故選C. 4．

18、若不等式x2＋2x<＋對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－4,2) B．(－∞，－4)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－2,0) 押題依據(jù)　“恒成立”問(wèn)題是函數(shù)和不等式交匯處的重要題型，可綜合考查不等式的性質(zhì)，函數(shù)的值域等知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)． 答案　A 解析　不等式x2＋2x<＋對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等價(jià)于不等式x2＋2x0時(shí)取等號(hào))， 所以x2＋2x<8， 解得－4b>

19、0，且ab＝1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＋<b>0，ab＝1， ∴l(xiāng)og2(a＋b)>log2(2)＝1. ∵＝＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a， 又∵b＝，a>b>0， ∴a>，解得a>1. ∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2 ＝－a－2·2－a(1＋aln 2)<0， ∴f(a)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減． ∴f(a)a＋b>

20、log2(a＋b)， ∴b>0，ab＝1， ∴取a＝2，b＝， 此時(shí)a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3， ∴0的解集為，q：a<，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　由不等式(ax－1)(x－1)>0的解集為，得a<0且<1，解得a<0，所以“不等式(ax－1)(x－1)>0的解集為”是“a<”的充

21、分不必要條件，故選A. 3．(2018·紹興市柯橋區(qū)質(zhì)檢)若x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝－2x＋y的取值范圍是(　　) A．[－4,0] B．[－4，－1] C．[－1,0] D．[0,1] 答案　A 解析　作出約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，平移直線(xiàn)y＝2x＋z，當(dāng)其過(guò)點(diǎn)B(1,2)，C(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z分別取到最大值0和最小值－4，故選A. 4．(2018·諸暨模擬)已知a，b∈R，|a－sin2θ |≤1，|b＋cos2θ|≤1，則(　　) A．a(chǎn)＋b的取值范圍是[－1,3] B．a(chǎn)＋b的取值范圍是[－3,1] C．a(chǎn)－b的取值范圍是

22、[－1,3] D．a(chǎn)－b的取值范圍是[－3,1] 答案　C 解析　由|a－sin2θ|≤1，|b＋cos2θ|≤1，得－1≤a－sin2θ≤1，－1≤b＋cos2θ≤1，則－1≤－b－cos2θ≤1，所以－2≤a－sin2θ＋(－b－cos2θ)≤2，即－2≤a－b－1≤2，所以－1≤a－b≤3，故選C. 5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為3，若aman＝9a，則＋的最小值等于(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為3，且aman＝9a， ∴a2·3m－2·a2·3n－2＝a·3m＋n－4＝9a， ∴m＋n＝6， ∴×(m＋

23、n)＝×≥×＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2n＝4時(shí)取等號(hào)．故選C. 6．(2018·浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式|x＋t2－2|＋|x＋t2＋2t－1|<3t無(wú)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A．－≤t≤1 B．0≤t≤1 C．t≤1 D．1≤t≤5 答案　C 解析　|x＋t2－2|＋|x＋t2＋2t－1|≥|(x＋t2－2)－(x＋t2＋2t－1)|＝|2t＋1|，則由關(guān)于x的不等式|x＋t2－2|＋|x＋t2＋2t－1|<3t無(wú)解，得|2t＋1|≥3t，解得t≤1，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≤1，故選C. 7．(2018·嘉興市、麗水市測(cè)試)已知x＋y＝＋＋8(x，

24、y>0)，則x＋y的最小值為(　　) A．5 B．9 C．4＋ D．10 答案　B 解析　由x＋y＝＋＋8，得x＋y－8＝＋， 則(x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y＝2x>0時(shí)，等號(hào)成立， 令t＝x＋y，所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9， 因?yàn)閤＋y>0，所以x＋y≥9， 所以x＋y的最小值為9，故選B. 8．若實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，則(　　) A．a(chǎn)＋b－c的最小值為2 B．a(chǎn)－b＋c的最小值為－4 C．a(chǎn)＋b－c的最大值為4 D．a(chǎn)－b＋c

25、的最大值為6 答案　A 解析　由題意可得－5≤(a－3)x＋(b－4)y＋c≤5恒成立，所以a＝3，b＝4，－5≤c≤5，則2≤a＋b－c≤12，即a＋b－c的最小值是2，最大值是12，A正確，C錯(cuò)誤；－6≤a－b＋c≤4，則a－b＋c的最小值是－6，最大值是4，B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤，故選A. 9．若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[－2,4] 解析　|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，則只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4. 10．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，則x2＋y2的取值范圍是________． 答案　 解析　

26、方法一　由x＋y＝1，得y＝1－x. 又x≥0，y≥0，所以0≤x≤1，x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝22＋. 由0≤x≤1，得0≤2≤， 即≤x2＋y2≤1.所以x2＋y2∈. 方法二　x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 已知x≥0，y≥0，x＋y＝1，所以x2＋y2＝1－2xy. 因?yàn)?＝x＋y≥2， 所以0≤xy≤， 所以≤1－2xy≤1， 即x2＋y2∈. 方法三　依題意，x2＋y2可視為原點(diǎn)與線(xiàn)段x＋y－1＝0(x≥0，y≥0)上的點(diǎn)的距離的平方，如圖所示，故(x2＋y2)min＝2＝，(x2＋y2)max＝OA2＝OB2＝1， 故x2＋

27、y2∈. 11．(2018·臺(tái)州市聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2＋4y2＋4xy＋4x2y2＝32，則x＋2y的最小值為_(kāi)_______，(x＋2y)＋2xy的最大值為_(kāi)_________． 答案?。?　16 解析　因?yàn)閤2＋4y2＋4xy＋4x2y2＝32，所以(x＋2y)2＋4x2y2＝32，則(x＋2y)2≤32，－4≤x＋2y≤4，即x＋2y的最小值為－4.由(x＋2y)2＋4x2y2＝32，不妨設(shè)則(x＋2y)＋2xy＝4(sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中tan φ＝，所以當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時(shí)，(x＋2y)＋2xy取得最大值16. 12．(2018·浙江省

28、衢州二中模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x>1，y>0，且x＋4y＋＋＝11，則＋的最大值為_(kāi)_______． 答案　9 解析　由x＋4y＋＋＝11得 ＋＝10－[(x－1)＋4y]， 則2＝{10－[(x－1)＋4y]} ＝10－ ≤10－ ＝10－9， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即2y＝x－1>0時(shí)，等號(hào)成立， 令t＝＋，則有t2≤10t－9， 解得1≤t≤9，所以＋的最大值為9. B組　能力提高 13．(2018·臺(tái)州市聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足條件若z＝2x2－y－2，則(　　) A．z的最小值為－ B．z的最小值為－3 C．z的最大值為33 D．z的最大值為6 答案　A

29、 解析　在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x2－y－2與平面區(qū)域內(nèi)的邊界x－y＋1＝0(x≥0)相切時(shí)，z＝2x2－y－2取得最小值，聯(lián)立消去y化簡(jiǎn)得2x2－x－3－z＝0，因?yàn)榍€(xiàn)z＝2x2－y－2與x－y＋1＝0(x≥0)相切，所以關(guān)于x的一元二次方程2x2－x－3－z＝0有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，則(－1)2－4×2×(－3－z)＝0，解得z＝－，滿(mǎn)足題意，即目標(biāo)函數(shù)z＝2x2－y－2的最小值為－，由于不等式組所表示的平面區(qū)域右側(cè)為開(kāi)放區(qū)域，所以目標(biāo)函數(shù)無(wú)最大值，故選A. 14．(2018·浙江省杭州第二中學(xué)等五校

30、聯(lián)考)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，有以下四個(gè)命題： ①以，，為邊長(zhǎng)的三角形一定存在； ②以2a,2b,2c為邊長(zhǎng)的三角形一定存在； ③以a3，b3，c3為邊長(zhǎng)的三角形一定存在； ④以|a－b|＋c，|b－c|＋a，|c－a|＋b為邊長(zhǎng)的三角形一定存在． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由題意不妨設(shè)a≥b≥c，則b＋c>a.對(duì)于①，(＋)2－()2＝b＋c＋2－a>0，所以以，，為邊長(zhǎng)的三角形一定存在，①正確；對(duì)于②，令a＝5，b＝c＝3，此時(shí)a，b，c可以構(gòu)成三角形，而2a＝32,2b＝2c＝8，則2a,2b,2c不

31、能構(gòu)成三角形，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，取a＝3，b＝c＝2，此時(shí)a，b，c可以構(gòu)成三角形，而a3＝27，b3＝c3＝8，則a3，b3，c3不能構(gòu)成三角形，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)閨a－b|＋c＝a＋c－b，|b－c|＋a＝|c－a|＋b＝a＋b－c，且a＋b－c≥a＋c－b，所以|b－c|＋a＋|c－a|＋b>|a－b|＋c，所以以|a－b|＋c，|b－c|＋a，|c－a|＋b為邊長(zhǎng)的三角形一定存在，④正確．綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為2，故選B. 15．(2018·浙江省臺(tái)州中學(xué)統(tǒng)練)設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2－kx＋2＝0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則當(dāng)m＋k取到最小值時(shí)，m＝________，k＝

32、________. 答案　6　7 解析　設(shè)f(x)＝mx2－kx＋2，則方程mx2－kx＋2＝0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)f(x)＝mx2－kx＋2在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，又因?yàn)閒(0)＝2>0， 所以有化簡(jiǎn)得 以m為橫坐標(biāo)，k為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(不包括邊界)所示，又因?yàn)閙，k為整數(shù)，則由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝m＋k經(jīng)過(guò)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(6,7)時(shí)，z＝m＋k取得最小值z(mì)min＝6＋7＝13，此時(shí)m＝6，k＝7. 16．已知a>b，二次三項(xiàng)式ax2＋2x＋b≥0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，則的最小值為_(kāi)_______． 答案　2 解析　由題意，得a>b，二次三項(xiàng)式ax2＋2x＋b≥0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以a>0，且Δ＝4－4ab≤0，所以ab≥1.由存在x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，可得Δ＝0，所以ab＝1，所以a>1， 所以＝＝>0， 所以2＝＝ ＝＝， 令a2＋＝t>2， 則2＝＝(t－2)＋＋4 ≥2＋4＝4＋4＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時(shí)取等號(hào)，所以2的最小值為8， 所以的最小值為2.