【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八篇 立體幾何 第2講　空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教版

第2講　空間幾何體的表面積與體積 【2020年高考會這樣考】 考查柱、錐、臺、球的體積和表面積，由原來的簡單公式套用漸漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐與球的接切問題相結(jié)合，難度有所增大． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時，熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的表面積和體積公式，運用這些公式解決一些簡單的問題． 基礎(chǔ)梳理 1．柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積 面　積 體　積 圓柱 S側(cè)＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圓錐 S側(cè)＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圓臺 S側(cè)＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S側(cè)＝Ch V＝Sh 正棱錐 S側(cè)＝Ch′ V＝Sh 正棱臺 S側(cè)＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2.幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和． (2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和． 兩種方法 　(1)解與球有關(guān)的組合體問題的方法，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點”、“接點”作出截面圖． (2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高．這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是(　　)． A．4πS B．2πS C．πS D.πS 解析　設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，高為h，則r＝ ， 又h＝2πr＝2，∴S圓柱側(cè)＝(2)2＝4πS. 答案　A 2．(2020·東北三校聯(lián)考)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(　　)． A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析　由于長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，則長方體的體對角線長為＝a.又長方體外接球的直徑2R等于長方體的體對角線，∴2R＝a.∴S球＝4πR2＝6πa2. 答案　B 3．(2020·北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是 (　　)． A．8 B．6 C．10 D．8 解析　由三視圖可知，該幾何體的四個面都是直角三角形，面積分別為6,6，8,10，所以面積最大的是10，故選擇C. 答案　C 4．(2020·湖南)設(shè) 右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　)． A.π＋12 B.π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18 解析　該幾何體是由一個球與一個長方體組成的組合體，球的直徑為3，長方體的底面是邊長為3的正方形，高為2，故所求體積為2×32＋π3＝π＋18. 答案　B 5．若一個球的體積為4π，則它的表面積為________． 解析　V＝R3＝4π，∴R＝，S＝4πR2＝4π·3＝12π. 答案　12π　　 考向一　幾何體的表面積 【例1】?(2020·安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 (　　)． 　 A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 [審題視點] 由三視圖還原幾何體，把圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何體的尺寸計算表面積． 解析　換個視角看問題，該幾何體可以看成是底面為等腰梯形，高為4的直棱柱，且等腰梯形的兩底分別為2,4，高為4，故腰長為，所以該幾何體的表面積為48＋8. 答案　C 以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． 【訓(xùn)練1】 若一 個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于(　　)． A. B．2 C．2 D．6 解析　由正視圖可知此三棱柱是一個底面邊長為2的正三角形、側(cè)棱為1的直三棱柱，則此三棱柱的側(cè)面積為2×1×3＝6. 答案　D 考向二　幾何體的體積 【例2】?(2020·廣東)如圖，某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為(　　)． A．18 B．12 C．9 D．6 [審題視點] 根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和幾何體的體積公式求解． 解析　該幾何體為一個斜棱柱，其直觀圖如圖所示，由題知該幾何體的底面是邊長為3的正方形，高為，故V＝3×3×＝9. 答案　C 以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解． 【訓(xùn)練2】 (2020·東莞模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于(　　)． A.π B.π C.π＋8 D．12 π 解析　由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為2，高為2的圓柱和半徑為1的球的組合體，則該幾何體的體積為π×22×2＋π＝π. 答案　A 考向三　幾何體的展開與折疊 【例3】?(2020·廣州模擬)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體DABC的體積． [審題視點] (1)利用線面垂直的判定定理，證明BC垂直于平面ACD內(nèi)的兩條相交線即可；(2)利用體積公式及等體積法證明． (1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 取AC的中點O，連接DO， 則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO?平面ADC，從而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC， 又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐BACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VBACD＝ S△ACD·BC＝×2×2＝， 由等體積性可知，幾何體DABC的體積為. (1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變． (2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離問題． 【訓(xùn)練3】 已知 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，如圖所示，則CP＋PA1的最小值為________． 解析　PA1在平面A1BC1內(nèi)，PC在平面BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題解決．計算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示． CP＋PA1≥A1C. 在△AC1C中，由余弦定理得 A1C＝＝＝5，故(CP＋PA1)min＝5. 答案　5 　　 難點突破17——空間幾何體的表面積和體積的求解 空間幾何體的表面積和體積計算是高考的一個常見考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧、把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧、對旋轉(zhuǎn)體作其軸截面的技巧、通過方程或方程組求解的技巧等，這是化解空間幾何體面積和體積計算難點的關(guān)鍵． 【示例1】? (2020·安徽)一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為 (　　)． A．280 B．292 C．360 D．372 【示例2】? (2020·全國新課標(biāo))已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________．