高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2講 兩直線的位置關(guān)系及交點(diǎn)、距離

第2講 兩直線的位置關(guān)系及交點(diǎn)、距離 隨堂演練鞏固 1.已知直線ax+y+5=0與x-2y+7=0垂直,則a為( ) A.2 B. C.-2 D. 【答案】A 【解析】由得a=2. 2.P點(diǎn)在直線3x+y-5=0上,且點(diǎn)P到直線x-y-1=0的距離為則P點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 【答案】C 【解析】設(shè)P(a,5-3a),則.∴|2a-3|=1.∴a=2或a=1. ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)或(1,2). 3.若點(diǎn)A(3,-4)與點(diǎn)A′(5,8)關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為( ) A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0 C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0 【答案】D 【解析】∵點(diǎn)A與A′關(guān)于直線l對稱,∴A與A′的中點(diǎn)在直線l上,且.由A與A′的中點(diǎn)為(4,2),∴.∴直線l的方程為即x+6y-16=0. 4.已知過點(diǎn)A(-2,m)和B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0平行,則m的值為 . 【答案】-8 【解析】即4-m=-2(m+2),∴m=-8. 5.與直線7x+24y-5=0平行,并且距離等于3的直線方程是 . 【答案】7x+24y-80=0或7x+24y+70=0 【解析】設(shè)所求的直線方程為7x+24y+b=0,由兩條平行線間的距離為3,得則b=-80或b=70,故所求的直線方程為7x+24y-80=0或7x+24y+70=0. 課后作業(yè)夯基 基礎(chǔ)鞏固 1.經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線方程是( ) A.15x+5y+16=0 B.5x+15y+16=0 C.15x+5y+6=0 D.5x+15y+6=0 【答案】A 【解析】由方程組 得 設(shè)所求直線為l, ∵直線l和直線3x+y-1=0平行, ∴直線l的斜率k=-3. ∴根據(jù)直線點(diǎn)斜式有 即所求直線方程為15x+5y+16=0. 2.過點(diǎn)A(4,a)和B(5,b)的直線與直線y=x+m平行,則|AB|的值為( ) A.6 B. C.2 D.不能確定 【答案】B 【解析】∵直線AB與直線y=x+m平行,∴即b-a=1. ∴|AB|. 3.點(diǎn)(4,t)到直線4x-3y=1的距離不大于3,則t的取值范圍是( ) A. B.0<t<10 C. D.t<0或t>10 【答案】C 【解析】由題意,得即|15-3t|∴10. 4.夾在兩平行直線:3x-4y=0與:3x-4y-20=0之間的圓的最大面積等于( ) A.2 B.4 C.8 D.12 【答案】B 【解析】圓的最大直徑即為兩條平行直線間的距離所以r=2.故所求圓的最大面積為. 5.直線x-2y+1=0關(guān)于直線y-x=1對稱的直線方程是( ) A.2x-y+2=0 B.3x-y+3=0 C.2x+y-2=0 D.x-2y-1=0 【答案】A 【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則它關(guān)于y-x=1對稱的點(diǎn)為(y-1,x+1),且在直線x-2y+1=0上,∴y-1-2(x+1)+1=0,化簡得2x-y+2=0. 6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】表示點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離,根據(jù)數(shù)形結(jié)合得的最小值為原點(diǎn)到直線2x+y+5=0的距離,即. 7.(2020山東濰坊階段檢測)已知b>0,直線2=0與直線互相垂直,則ab的最小值等于( ) A.1 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】由兩條直線垂直的充要條件可得:解得 所以.又因?yàn)閎>0,故當(dāng)且僅當(dāng)即b=1時(shí)取”=“. 8.與直線x-y-2=0平行,且它們的距離為的直線方程是 . 【答案】x-y+2=0或x-y-6=0 【解析】設(shè)所求直線l:x-y+m=0, 由∴m=2或-6. 9.若點(diǎn)(1,1)到直線xcossin的距離為d,則d的最大值是 . 【答案】 【解析】依題意有d=|cossin|=|sin|, 于是當(dāng)sin時(shí),d取得最大值. 10.與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對稱的直線方程是 . 【答案】2x+3y+8=0 【解析】設(shè)是直線2x+3y-6=0上任一點(diǎn),其關(guān)于點(diǎn)(1,-1)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y), 則 (*) 又由對稱性知 ∴ 代入(*)式,得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0. 11.已知兩直線:x+ysin和:2xsin試求的值,使得:∥;. 【解】(1)法一:當(dāng)sin時(shí),直線的斜率不存在的斜率為零顯然不平行于. 當(dāng)sin時(shí)sin 欲使∥只要sin即sin ∴Z,此時(shí)兩直線截距不相等. ∴當(dāng)Z時(shí)∥. 法二:由 即2sin得sin ∴sin.由 即1+sin即sin 得Z, ∴當(dāng)Z時(shí)∥. (2)∵是的充要條件, ∴2sinsin 即sin∴Z). ∴當(dāng)Z時(shí). 12.已知直線l:3x-y+3=0,求: (1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn); (2)直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程. 【解】設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點(diǎn)為P′(x′,y′). ∵即. ① 又PP′的中點(diǎn)在直線3x-y+3=0上, ∴. ② 由①②得 (1)把x=4,y=5代入③及④得x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(-2,7). (2)用③④分別代換x-y-2=0中的x,y,得關(guān)于直線l對稱的直線方程為 2=0,化簡得7x+y+22=0. 13.已知直線:2x-y+a=0(a>0),直線:-4x+2y+1=0和直線:x+y-1=0,且與的距離是. (1)求a的值; (2)能否找到一點(diǎn)P,使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:①P是第一象限的點(diǎn);②P點(diǎn)到的距離是P點(diǎn)到的距離的;③P點(diǎn)到的距離與P點(diǎn)到的距離之比是∶;若能,求P點(diǎn)坐標(biāo);若不能,說明理由. 【解】(1)直線方程可化為. 所以與的距離. 所以. 所以||. 因?yàn)閍>0,所以a=3. (2)假設(shè)存在點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)若P點(diǎn)滿足條件②,則P點(diǎn)在與、平行的直線l′:2x-y+C=0上, 且即或 所以或; 若P點(diǎn)滿足條件③,由點(diǎn)到直線的距離公式, 有 即||=||, 所以或; 由于P在第一象限,所以不可能. 聯(lián)立方程和 解得 應(yīng)舍去. 由 解得 ∴存在點(diǎn)同時(shí)滿足題中所述三個(gè)條件. 拓展延伸 14.在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小. 【解】(1)如圖所示,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a,b), 則即. ∴a+3b-12=0. ① 又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為 且在直線l上, ∴即3a-b-6=0. ② 解①②得a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是AB′的方程為即2x+y-9=0. 解 得 即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5). ∴點(diǎn)P(2,5)即為所求. (2)如圖所示,設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C′, 求出C′的坐標(biāo)為. ∴AC′所在直線的方程為19x+17y-93=0, AC′和l交點(diǎn)坐標(biāo)為 故所求P點(diǎn)坐標(biāo)為.