（新課標(biāo)）2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第5章 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法課時(shí)作業(yè) 理

課時(shí)作業(yè)(三十)　數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列，，，，…中，有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)可以是(　　) A．(21，－5) B．(16，－1) C. D． 答案：D 解析：由數(shù)列中的項(xiàng)可觀(guān)察規(guī)律，得 5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2， 則解得 故應(yīng)選D. 2．(2020·山西長(zhǎng)治4月)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝則其前6項(xiàng)之和為(　　) A．16 B．20 C．33 D．120 答案：C 解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6項(xiàng)和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故應(yīng)C. 3．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝若a1＝，則a2 015等于(　　) A. B． C． D． 答案：B 解析：∵ a1＝<，∴ a2＝>， ∴ a3＝，a4＝，a5＝， ∴ 數(shù)列具有周期性，且周期為4， ∴ a2 015＝a3＝， 故應(yīng)選C. 4．(2020·北京東城一模)已知函數(shù)f(n)＝n2cos nπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　) A．0 B．－100 C．100 D．10 200 答案：B 解析：f(n)＝n2cos nπ＝＝(－1)n·n2， 由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故應(yīng)B. 5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于(　　) A. B． C. D． 答案：B 解析：∵S2＝22·a2，∴1＋a2＝4a2， ∴a2＝. ∵S3＝32·a3， ∴1＋＋a3＝9a3， ∴a3＝. ∵S4＝42·a4， ∴1＋＋＋a4＝16a4， ∴a4＝＝. 可見(jiàn)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝. 實(shí)際上，此題用a1＝1代入各選項(xiàng)驗(yàn)證最簡(jiǎn)單． 故應(yīng)選B. 6．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝an2＋n，若滿(mǎn)足a1<a2<a3<a4<a5，且an>an＋1對(duì)n≥8恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.　　 B． C. D． 答案：D 解析：可以把a(bǔ)n看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)其對(duì)稱(chēng)軸為n＝－，易知對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)滿(mǎn)足<－<，解得－<a<－. 故應(yīng)選D. 二、填空題 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________. 答案： 解析：由題意知，a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝. 8．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，a2＝2，且an＝(n≥3)，則a2 013＝________. 答案：2 解析：將a1＝1，a2＝2代入an＝，得 a3＝＝2， 同理可得a4＝1，a5＝，a6＝， a7＝1，a8＝2， 故數(shù)列{an}是周期數(shù)列，周期為6， 故a2 013＝a335×6＋3＝a3＝2. 9．已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________. 答案： 解析：由已知條件，可得Sn＋1＝2n＋1. 則Sn＝2n＋1－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1時(shí)不適合上式， 故an＝ 10．對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列{an}，定義Hn＝為{an}的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 答案：an＝，n∈N* 解析：由Hn＝，可得 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，① 當(dāng)n≥2時(shí)， a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝，② ①－②，得nan＝－＝， 所以an＝. 又n＝1時(shí)，由①可得a1＝，也適合上式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，n∈N*. 三、解答題 11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)∵Sn＝an，且a1＝1， ∴S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3. 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6. (2)由題設(shè)知a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理，得an＝an－1，即＝， 于是＝3，＝，＝，…，＝， 以上n－1個(gè)式子的兩端分別相乘，得＝， ∴an＝，n≥2. 又a1＝1適合上式，故an＝，n∈N*. 12．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝，且前n項(xiàng)和為T(mén)n，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)判斷數(shù)列{cn}的增減性． 解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． ∴ bn＝ (2)∵ cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝＋＋…＋， ∴ cn＋1－cn＝＋－ ＝<0， ∴ {cn}是遞減數(shù)列． 13．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，an＋1－an＝6n＋2，點(diǎn)在y＝x3＋mx的圖象上，{bn}的最小項(xiàng)為b3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求m的取值范圍． 解：(1)∵an＋1－an＝6n＋2， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝6n－4. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(6n－4)＋(6n－10)＋…＋8＋2 ＝＋2 ＝3n2－3n＋2n－2＋2 ＝3n2－n， 顯然a1也滿(mǎn)足an＝3n2－n， ∴an＝3n2－n. (2)∵點(diǎn)在y＝x3＋mx的圖象上， ∴bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)． ∴b1＝8＋2m，b2＝125＋5m，b3＝512＋8m，b4＝1 331＋11m. ∵{bn}的最小項(xiàng)是b3， ∴ ∴－273≤m≤－129. ∵bn＋1＝(3n＋2)3＋m(3n＋2)，bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)， ∴bn＋1－bn＝3[(3n＋2)2＋(3n－1)2＋(3n＋2)(3n－1)]＋3m＝3(27n2＋9n＋3＋m)， 當(dāng)n≥4時(shí)，27n2＋9n＋3＞273， ∴27n2＋9n＋3＋m＞0， ∴bn＋1－bn＞0，∴n≥4時(shí)，bn＋1＞bn. 綜上可知，－273≤m≤－129， ∴m的取值范圍為[－273，－129]．