第17講 時變電磁場

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1、第 17 講 時變電磁場（1） 本節(jié)內(nèi)容： 1, 法拉第電磁感應(yīng)定律 2, 位移電流 3, 麥克斯韋方程組 4, 邊界條件 1）電荷產(chǎn)生電場 2）運動電荷或者恒定電流產(chǎn)生磁場 3）靜電場和靜磁場獨立存在，所以可以分開研究 本章將講述時變電場和時變磁場，兩個場將不在獨立， 而是相互激發(fā)相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)成統(tǒng)一的時變電磁場。 當(dāng)做為場源的電荷和電流隨時間變化時，它們產(chǎn)生的電場 和磁場不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也隨時間變化。而且變化 的磁場要產(chǎn)生電場，時變的電場也要產(chǎn)生磁場。此時電場和磁 場互為因果，成為統(tǒng)一的電磁場的不可分割的部分。 一，法拉第電磁感應(yīng)定律 1831年，英國

2、物理學(xué)家法拉第（Faraday）總結(jié)大量的實 驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與一個由導(dǎo)線組成的閉合回路相交鏈的磁通量 發(fā)生變化時，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，進(jìn)而引起感應(yīng)電流。 而且感應(yīng)電動勢等于磁通量變化率的負(fù)值。 接通線圈1的開關(guān)K時，在線圈2中的感應(yīng)電動勢 ㈡ 由第2章知道，在導(dǎo)體內(nèi)維持電流必須在導(dǎo)體內(nèi)存在非保 守場，我們可以用導(dǎo)體內(nèi)的感應(yīng)電場（非庫侖電場）來定義感 應(yīng)電動勢： ￡ =『E - dl °C in 如果空間中同時存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場 E ， 則 總電場E = E + E in C E - dl = J E - dl °c in 因此電場沿

3、閉合路徑的積分為 .(E + E ) - dl = C in c E - dl = -d J B - dS dt S 上式為電磁場表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。 穿過線圈回路磁通的變化可能是由于： 隨時間變化的 磁場穿過（交鏈）靜止的線圈， 或線圈在均勻磁場中連續(xù)改 變它的形狀或位置， 或上述兩種情況的綜合， 因此，上式是 普遍適用的公式。如果線圈是靜止的， 則穿過線圈回路的磁 通變化只可能是由于磁場隨時間變化而引起， 此時上式可表 示為： E - dl = -J dB ?dS 在此之后，英國物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家麥克斯韋（ Ma

4、xwell） 對電磁感應(yīng)定律進(jìn)行了深入的分析，揭示了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本 質(zhì)，并得出了電場和交變的磁場之間的關(guān)系。 他認(rèn)為回路中感應(yīng)電動勢是由于交變的磁場激發(fā)了一種 非保守的電場的結(jié)果。這個電場稱為感應(yīng)電場。感應(yīng)電動勢與 感應(yīng)電場的關(guān)系為： 故電磁感應(yīng)定律可表示為： E - dl =_J 8 B -dS 以上討論是導(dǎo)體回路的情況。但感應(yīng)電場是由變化的磁場 激發(fā)的，不論導(dǎo)體是否存在，只要磁場變化，就要激發(fā)感應(yīng)電 場，所以上式不只適合于導(dǎo)體回路，對任一閉合回路都是成立 的。 由斯托克斯公式，上式可改寫為： E-d = J VxE? dS = -J aB s ~ar -dS S

5、 即： 由于 S 任意，所以： aB [ dS = 0 ~dr丿 V x E 二一 aB a 這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律的微分形式，它清楚地表明了 交變磁場和感應(yīng)電場間的關(guān)系。 電場的源有兩種：靜止電荷，時變磁場 二， 位移電流 變化的磁場會產(chǎn)生電場， 那么變化的電場能否產(chǎn)生磁場 呢？回答是肯定的。 麥克斯韋把恒定磁場中的安培定律用于時變場時出現(xiàn)了 矛盾， 為此提出位移電流的假說， 對安培定律做了修正。 位移電流的假說就是變化的電場

6、產(chǎn)生磁場的結(jié)果。 考察安培環(huán)路定律在時變場情況下是否成立。 S 2 電容器的位移電流 先看一個例子。一個中間填理想介質(zhì)的電容器接在交流電 源的兩端，1為一個與導(dǎo)線交鏈的閉合回路，若取一個以1為邊 界的曲面S與導(dǎo)線;閭交，則由安培環(huán)路定律: .H ? dl = J J ? dS = i 0 l S 1 i —導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流 若取一個曲面 S 不與導(dǎo)線相交而通過兩極板之間，則 / H ? dl = 0 0 l 這樣磁場強(qiáng)度沿同一閉合路徑的線積分出現(xiàn)了兩種結(jié)果， 這說明安培環(huán)路定律用于時變場要產(chǎn)生矛盾。 麥克斯韋首先注意到并從理論上解決了這一矛盾。他首先 分

7、析了這一矛盾的實質(zhì)，這實際上反應(yīng)了恒定電流條件下的安 培環(huán)路定律與時變條件下的電流連續(xù)性方程之間的矛盾。 安培環(huán)路定律： Vx H = J 要求 而在時變場中， 電流連續(xù)性方程是： a ~dr 二者是矛盾的。我們知道，電荷守恒定律是普通正確的 而安培環(huán)路定律在時變場情況下必須加以修正。 Maxwell 認(rèn)為，在時變情況下，高斯定理和磁通連續(xù)性原 理仍然適用。即： V - D G t)=p 6, t) J。D 6, t). dS = Q (t) S V - B(r,t)= 0 B (r,t)? dS 二 0 S 這樣電流連續(xù)性方程可寫為： V. J + °

8、=V? J +%? D )= 0 ~dt ~dt 即： V- J + dD、 ~dt丿 V? J 主 o J+aD ■? 此式表明，在時變場中， ,但矢量 方的 散度等于o,若用此矢量代替安培環(huán)路定律中的J,即得: Vx H = J + dD ~dt 這樣， 它與電流連續(xù)性方程就是相容的了 式中~dl稱為位移 電流密度， 其單位為（A/m ）。 引入位移電流之后，一開始的例中的矛盾也就不復(fù)存在， 因為： ■ ? H - dl 二. ■ 〉嚴(yán)］ l S 〔 擊丿

9、 -dS 二 J S2 在兩極板之間，電流以位移電流的形式存在，從而保持了 電流的連續(xù)性。 上式還表明，變化的電場也將激發(fā)磁場。麥克斯韋根據(jù)電 場和磁場相互激發(fā)，預(yù)言了電磁波的存在，這一預(yù)言在后來得 到了實驗的證實。 磁場可以由電流來產(chǎn)生，也可以由變化的電場產(chǎn)生。 例 計算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。 設(shè)銅中的電場為 E sin o t 銅的電導(dǎo)率 c = 5.8 x 107 s / m, 8^8. 00 解： 銅中的傳導(dǎo)電流大小為 J = cE = cE sin ot c0 T 8D 8E 廠 J = ^ = 8 ^ = 8E COS Ot d

10、~dr ~dr 0 1 7 2 時 x 10 - 9 Jd =O8= 換 =9.6 x 10-19 f J c 5.8 x 107 例：證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為 零。 解： 根據(jù)麥克斯韋方程 Vx H = J + dD ~dt 可知，通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為 dD、 ~dt丿 -dS = J (VxH)-dS S ((Vx H) -dS =J V ? (Vx H)dV 0 S V 三，麥克斯韋方程組 麥克斯韋推廣了法拉第電磁感應(yīng)定律，得出交變的磁場產(chǎn) 生電場的結(jié)論；又于 1862 年提出了位移電流的假說

11、，說明交 變的電場也能產(chǎn)生磁場。這表明了電場與磁場之間的緊密聯(lián) 系，二者相互依存，又相互制約，成為統(tǒng)一的電磁場的兩個方 面。 上述兩個方程構(gòu)成了 Maxwell 方程組的核心，同時麥克斯 韋認(rèn)為除了高斯定理在時變情況下成立外，磁通連續(xù)性原理也 是成立的，它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組： Vx H = J + dD ~dt

12、P dV = Q V 在各向同性的線性媒質(zhì)中，各場量之間的關(guān)系是 D = 8 E < B =卩 H J =Q E ——媒質(zhì)的本構(gòu)方程或稱電磁場的輔助方程 從以上方程不難看出，前面討論過的靜電場，恒定電場和 d 0 恒定磁場的基本方程都不過是Maxwell方程組在dt 時的 特例。 Maxwell 方程組的正確性已為實驗所證實，它適用于描述 所有的宏觀電磁現(xiàn)象，包括運動系統(tǒng)中的電磁現(xiàn)象。它構(gòu)成了 宏觀電磁理論的框架，電磁問題的求解最終都可歸結(jié)為求 Maxwell 方程組的解。 麥克斯韋方程的物理意義： 1， 第一方程是修正后的安培環(huán)路定律，表明電流和時變電場 可以激發(fā)

13、磁場。第二方程是法拉第電磁感應(yīng)定律，表明時 變磁場產(chǎn)生電場之一重要事實。 這兩個方程是麥克斯韋方程的核心，表明時變磁場和時變 磁場互相激發(fā)，時變電磁場可以脫離場源而獨立存在，在 空間形成電磁波。 2， 第三方程表示磁通的連續(xù)性，即空間的磁力線既沒有起點 也沒有終點，從物理意義上講是空間不存在自由磁核的結(jié) 果。第四方程是電場的高斯定理，它對時變電荷和靜止電 荷都成立。表明電場是有通量源的場。 3， 時變場中的電場的散度和旋度都不為零，所以電力線起始 于正電荷終止于負(fù)電荷。而磁場的散度恒為零，旋度不為 零，所以磁力線是于電流交鏈的閉合曲線，并且磁力線與 電力線相互交鏈。 在遠(yuǎn)離場源

14、的無源區(qū)域，電場和磁場的散度都為零，這時， 電力線和磁力線自行閉合，相互交鏈，在空間形成電磁波。 4， 一般情況下，時變電磁場的場矢量和場源既是空間坐標(biāo)的 函數(shù)，又是時間的函數(shù)，若場矢量不隨時間變化，上述方 程退化為靜態(tài)場方程。 5， 在線性介質(zhì)中，麥克斯韋方程組是線性方程組，可以應(yīng)用 疊加原理。 交變電磁場的邊界條件 1,磁場強(qiáng)度H的邊界條件 H 2 由麥克斯韋第一方程： J H ?dl =\ J ?dS + J ?dS l S S岔 H Al — H Al = J -bhAl + 2t 1t ? b h Al VD' 蘆丿 -- dD - =J ?bAl

15、+ ?bhAl s H - H 2t 1t =J ? b + aD ? b h s ~8r 號有限，所以第二項為0 o t H - H = J ? b 2t 1t s 或?qū)懗墒噶啃问剑? H - b x n 一 H - b x n = J 2 1 s 即: xH -fixH丿?方 i 而石任蘆 ? nx w -H )=7 * ? 2 1 s 若無傳導(dǎo)電流，則Hit = =J ?方 s H it 或恥 1 2,電場強(qiáng)度E的

16、邊界條件 E 2 由麥克斯韋第二方程: E M-E A/ =- it it dB ?bh\l dB 有限，而 20 ? E -E … it it it 即: 或:  it nx 電場強(qiáng)度切向分量連續(xù) E 1 3，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件 2 n h i 1,冒1 由麥克斯韋第三方程（磁通連續(xù)性原理）： j B - dS = 0 0 S 與恒定磁場類似的討論可得： B - B In （2n 應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù) n ? 5 — B 丿-0

17、 或： 2 1 3， 電感應(yīng)強(qiáng)度D的邊界條件 D 2 由麥克斯韋第四方程（高斯定理） j D - dS = Q 0 X S 與靜電場類似討論可得： D — D — P 或： 2n In、 S n ?^D — D 丿—。 2 1 S )=J )=0 S )= —D)= 21 n x(H - H n x G — e n-B n Sb 綜上所述，交變電磁場中的邊界條件可歸納為: H - H = J 2t 1

18、t E 二 E 1t 2t B 二 B 1n 2 n D -D 2 n 1n 下面討論一特例——理想導(dǎo)體表面上交變場的邊界條件。 所謂理想導(dǎo)體是指° =g的導(dǎo)體。對于于很大的良導(dǎo)體， 當(dāng)頻率很高時，電磁場只能存在于導(dǎo)體表面很小的薄層內(nèi)，這 種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)（以后在均勻平面波部分詳細(xì)講）， ° 越 大，集膚效應(yīng)越顯著，透入深度越?。ㄈ缭?0GHz,透入銅的 深度為6.6 x 10 -5 cm）, ° =3時，透入深度為0,即在理想導(dǎo)體 內(nèi)部電磁場處處為 0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知，電荷 和電流只能存在于理想導(dǎo)體的表面上。 根據(jù)上述邊界條件，在理想導(dǎo)體表面上： Sb

19、或矢量形式 可見，在理想導(dǎo)體表面上，電場只有法向分量，磁場只有 切向分量。 ［例］已知兩無限大理想導(dǎo)體板相距為a，如圖，其間電場 強(qiáng)度為E = a E0 sin 竺xcos61-az （ m -常數(shù)）,求兩板內(nèi)壁上 y 0 a 的面電流密度。 z 解.7 =恥片 欲求7 ,應(yīng)先求片 S 由麥克斯韋第二方程: V x ￡ =— dB ~^T dH o ~^r dE dE 即： 一 、y x + 、 y z 二一卩 ~^z~ ~^X~ 0 dH ~^T m兀 -aE sin xsin 0 a inCet -az)X + mK

20、E cos a 0 "兀 xcos61-az)Z ~a~ dH 兩邊對 t 積分得： 齊 a E . m兀 H 二一 o sin ey a o x cosC^t - a z - m兀 m兀 .C y E cos x sin Vet -a z)z a 0 a 0 m兀 ey a 0 E sin(et-az)Z 0 八mTt 「?( \ y E smten—ocz 丿 (o|Li a 0 -y mn E Osin Cot-ocz mil c 0 本節(jié)回顧： 1, 法拉第電磁感應(yīng)定律 2, 位移電流 3, 麥克斯韋方程組 4, 邊界條件 作業(yè) 5.9 5.10 5.11