第17講 時(shí)變電磁場(chǎng)

第 17 講 時(shí)變電磁場(chǎng)（1） 本節(jié)內(nèi)容： 1, 法拉第電磁感應(yīng)定律 2, 位移電流 3, 麥克斯韋方程組 4, 邊界條件 1）電荷產(chǎn)生電場(chǎng) 2）運(yùn)動(dòng)電荷或者恒定電流產(chǎn)生磁場(chǎng) 3）靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)獨(dú)立存在，所以可以分開研究 本章將講述時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)，兩個(gè)場(chǎng)將不在獨(dú)立， 而是相互激發(fā)相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)成統(tǒng)一的時(shí)變電磁場(chǎng)。 當(dāng)做為場(chǎng)源的電荷和電流隨時(shí)間變化時(shí)，它們產(chǎn)生的電場(chǎng) 和磁場(chǎng)不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也隨時(shí)間變化。而且變化 的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)，時(shí)變的電場(chǎng)也要產(chǎn)生磁場(chǎng)。此時(shí)電場(chǎng)和磁 場(chǎng)互為因果，成為統(tǒng)一的電磁場(chǎng)的不可分割的部分。 一，法拉第電磁感應(yīng)定律 1831年，英國(guó)物理學(xué)家法拉第（Faraday）總結(jié)大量的實(shí) 驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與一個(gè)由導(dǎo)線組成的閉合回路相交鏈的磁通量 發(fā)生變化時(shí)，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而引起感應(yīng)電流。 而且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于磁通量變化率的負(fù)值。 接通線圈1的開關(guān)K時(shí)，在線圈2中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ㈡ 由第2章知道，在導(dǎo)體內(nèi)維持電流必須在導(dǎo)體內(nèi)存在非保 守場(chǎng)，我們可以用導(dǎo)體內(nèi)的感應(yīng)電場(chǎng)（非庫(kù)侖電場(chǎng)）來定義感 應(yīng)電動(dòng)勢(shì)： £ =『E - dl °C in 如果空間中同時(shí)存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場(chǎng) E ， 則 總電場(chǎng)E = E + E in C E - dl = J E - dl °c in 因此電場(chǎng)沿閉合路徑的積分為 .(E + E ) - dl = C in c E - dl = -d J B - dS dt S 上式為電磁場(chǎng)表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。 穿過線圈回路磁通的變化可能是由于： 隨時(shí)間變化的 磁場(chǎng)穿過（交鏈）靜止的線圈， 或線圈在均勻磁場(chǎng)中連續(xù)改 變它的形狀或位置， 或上述兩種情況的綜合， 因此，上式是 普遍適用的公式。如果線圈是靜止的， 則穿過線圈回路的磁 通變化只可能是由于磁場(chǎng)隨時(shí)間變化而引起， 此時(shí)上式可表 示為： E - dl = -J dB ?dS 在此之后，英國(guó)物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家麥克斯韋（ Maxwell） 對(duì)電磁感應(yīng)定律進(jìn)行了深入的分析，揭示了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本 質(zhì)，并得出了電場(chǎng)和交變的磁場(chǎng)之間的關(guān)系。 他認(rèn)為回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由于交變的磁場(chǎng)激發(fā)了一種 非保守的電場(chǎng)的結(jié)果。這個(gè)電場(chǎng)稱為感應(yīng)電場(chǎng)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與 感應(yīng)電場(chǎng)的關(guān)系為： 故電磁感應(yīng)定律可表示為： E - dl =_J 8 B -dS 以上討論是導(dǎo)體回路的情況。但感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng) 激發(fā)的，不論導(dǎo)體是否存在，只要磁場(chǎng)變化，就要激發(fā)感應(yīng)電 場(chǎng)，所以上式不只適合于導(dǎo)體回路，對(duì)任一閉合回路都是成立 的。 由斯托克斯公式，上式可改寫為： E-d = J VxE? dS = -J aB s ~ar -dS S 即： 由于 S 任意，所以： aB [ dS = 0 ~dr丿 V x E 二一 aB a 這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律的微分形式，它清楚地表明了 交變磁場(chǎng)和感應(yīng)電場(chǎng)間的關(guān)系。 電場(chǎng)的源有兩種：靜止電荷，時(shí)變磁場(chǎng) 二， 位移電流 變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)， 那么變化的電場(chǎng)能否產(chǎn)生磁場(chǎng) 呢？回答是肯定的。 麥克斯韋把恒定磁場(chǎng)中的安培定律用于時(shí)變場(chǎng)時(shí)出現(xiàn)了 矛盾， 為此提出位移電流的假說， 對(duì)安培定律做了修正。 位移電流的假說就是變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的結(jié)果。 考察安培環(huán)路定律在時(shí)變場(chǎng)情況下是否成立。 S 2 電容器的位移電流 先看一個(gè)例子。一個(gè)中間填理想介質(zhì)的電容器接在交流電 源的兩端，1為一個(gè)與導(dǎo)線交鏈的閉合回路，若取一個(gè)以1為邊 界的曲面S與導(dǎo)線;閭交，則由安培環(huán)路定律: .H ? dl = J J ? dS = i 0 l S 1 i —導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流 若取一個(gè)曲面 S 不與導(dǎo)線相交而通過兩極板之間，則 / H ? dl = 0 0 l 這樣磁場(chǎng)強(qiáng)度沿同一閉合路徑的線積分出現(xiàn)了兩種結(jié)果， 這說明安培環(huán)路定律用于時(shí)變場(chǎng)要產(chǎn)生矛盾。 麥克斯韋首先注意到并從理論上解決了這一矛盾。他首先 分析了這一矛盾的實(shí)質(zhì)，這實(shí)際上反應(yīng)了恒定電流條件下的安 培環(huán)路定律與時(shí)變條件下的電流連續(xù)性方程之間的矛盾。 安培環(huán)路定律： Vx H = J 要求 而在時(shí)變場(chǎng)中， 電流連續(xù)性方程是： a ~dr 二者是矛盾的。我們知道，電荷守恒定律是普通正確的 而安培環(huán)路定律在時(shí)變場(chǎng)情況下必須加以修正。 Maxwell 認(rèn)為，在時(shí)變情況下，高斯定理和磁通連續(xù)性原 理仍然適用。即： V - D G t)=p 6, t) J。D 6, t). dS = Q (t) S V - B(r,t)= 0 B (r,t)? dS 二 0 S 這樣電流連續(xù)性方程可寫為： V. J + ° =V? J +%? D )= 0 ~dt ~dt 即： V- J + dD、 ~dt丿 V? J 主 o J+aD ■? 此式表明，在時(shí)變場(chǎng)中， ,但矢量 方的 散度等于o,若用此矢量代替安培環(huán)路定律中的J,即得: Vx H = J + dD ~dt 這樣， 它與電流連續(xù)性方程就是相容的了 式中~dl稱為位移 電流密度， 其單位為（A/m ）。 引入位移電流之后，一開始的例中的矛盾也就不復(fù)存在， 因?yàn)椋? ■ ? H - dl 二. ■ 〉嚴(yán)］ l S 〔 擊丿 -dS 二 J S2 在兩極板之間，電流以位移電流的形式存在，從而保持了 電流的連續(xù)性。 上式還表明，變化的電場(chǎng)也將激發(fā)磁場(chǎng)。麥克斯韋根據(jù)電 場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激發(fā)，預(yù)言了電磁波的存在，這一預(yù)言在后來得 到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。 磁場(chǎng)可以由電流來產(chǎn)生，也可以由變化的電場(chǎng)產(chǎn)生。 例 計(jì)算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。 設(shè)銅中的電場(chǎng)為 E sin o t 銅的電導(dǎo)率 c = 5.8 x 107 s / m, 8^8. 00 解： 銅中的傳導(dǎo)電流大小為 J = cE = cE sin ot c0 T 8D 8E 廠 J = ^ = 8 ^ = 8E COS Ot d ~dr ~dr 0 1 7 2 時(shí) x 10 - 9 Jd =O8= 換 =9.6 x 10-19 f J c 5.8 x 107 例：證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為 零。 解： 根據(jù)麥克斯韋方程 Vx H = J + dD ~dt 可知，通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為 dD、 ~dt丿 -dS = J (VxH)-dS S ((Vx H) -dS =J V ? (Vx H)dV 0 S V 三，麥克斯韋方程組 麥克斯韋推廣了法拉第電磁感應(yīng)定律，得出交變的磁場(chǎng)產(chǎn) 生電場(chǎng)的結(jié)論；又于 1862 年提出了位移電流的假說，說明交 變的電場(chǎng)也能產(chǎn)生磁場(chǎng)。這表明了電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的緊密聯(lián) 系，二者相互依存，又相互制約，成為統(tǒng)一的電磁場(chǎng)的兩個(gè)方 面。 上述兩個(gè)方程構(gòu)成了 Maxwell 方程組的核心，同時(shí)麥克斯 韋認(rèn)為除了高斯定理在時(shí)變情況下成立外，磁通連續(xù)性原理也 是成立的，它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組： Vx H = J + dD ~dt <V x E =— dB ~dr V?D 對(duì)應(yīng)的積分形式為： ? dS q dD) j+ s k 擊丿 久 E ? dl =- d J B ? dS : d s ■ j B ? dS = 0 T) J S D ? dS = J P dV = Q V 在各向同性的線性媒質(zhì)中，各場(chǎng)量之間的關(guān)系是 D = 8 E < B =卩 H J =Q E ——媒質(zhì)的本構(gòu)方程或稱電磁場(chǎng)的輔助方程 從以上方程不難看出，前面討論過的靜電場(chǎng)，恒定電場(chǎng)和 d 0 恒定磁場(chǎng)的基本方程都不過是Maxwell方程組在dt 時(shí)的 特例。 Maxwell 方程組的正確性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，它適用于描述 所有的宏觀電磁現(xiàn)象，包括運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中的電磁現(xiàn)象。它構(gòu)成了 宏觀電磁理論的框架，電磁問題的求解最終都可歸結(jié)為求 Maxwell 方程組的解。 麥克斯韋方程的物理意義： 1， 第一方程是修正后的安培環(huán)路定律，表明電流和時(shí)變電場(chǎng) 可以激發(fā)磁場(chǎng)。第二方程是法拉第電磁感應(yīng)定律，表明時(shí) 變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)之一重要事實(shí)。 這兩個(gè)方程是麥克斯韋方程的核心，表明時(shí)變磁場(chǎng)和時(shí)變 磁場(chǎng)互相激發(fā)，時(shí)變電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源而獨(dú)立存在，在 空間形成電磁波。 2， 第三方程表示磁通的連續(xù)性，即空間的磁力線既沒有起點(diǎn) 也沒有終點(diǎn)，從物理意義上講是空間不存在自由磁核的結(jié) 果。第四方程是電場(chǎng)的高斯定理，它對(duì)時(shí)變電荷和靜止電 荷都成立。表明電場(chǎng)是有通量源的場(chǎng)。 3， 時(shí)變場(chǎng)中的電場(chǎng)的散度和旋度都不為零，所以電力線起始 于正電荷終止于負(fù)電荷。而磁場(chǎng)的散度恒為零，旋度不為 零，所以磁力線是于電流交鏈的閉合曲線，并且磁力線與 電力線相互交鏈。 在遠(yuǎn)離場(chǎng)源的無源區(qū)域，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的散度都為零，這時(shí)， 電力線和磁力線自行閉合，相互交鏈，在空間形成電磁波。 4， 一般情況下，時(shí)變電磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量和場(chǎng)源既是空間坐標(biāo)的 函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，若場(chǎng)矢量不隨時(shí)間變化，上述方 程退化為靜態(tài)場(chǎng)方程。 5， 在線性介質(zhì)中，麥克斯韋方程組是線性方程組，可以應(yīng)用 疊加原理。 交變電磁場(chǎng)的邊界條件 1,磁場(chǎng)強(qiáng)度H的邊界條件 H 2 由麥克斯韋第一方程： J H ?dl =\ J ?dS + J ?dS l S S岔 H Al — H Al = J -bhAl + 2t 1t ? b h Al VD' 蘆丿 -- dD - =J ?bAl + ?bhAl s H - H 2t 1t =J ? b + aD ? b h s ~8r 號(hào)有限，所以第二項(xiàng)為0 o t H - H = J ? b 2t 1t s 或?qū)懗墒噶啃问剑? H - b x n 一 H - b x n = J 2 1 s 即: xH -fixH丿?方 i 而石任蘆 ? nx w -H )=7 * ? 2 1 s 若無傳導(dǎo)電流，則Hit = =J ?方 s H it 或恥 1 2,電場(chǎng)強(qiáng)度E的邊界條件 E 2 由麥克斯韋第二方程: E M-E A/ =- it it dB ?bh\l dB 有限，而 20 ? E -E … it it it 即: 或:  it nx 電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù) E 1 3，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件 2 n h i 1,冒1 由麥克斯韋第三方程（磁通連續(xù)性原理）： j B - dS = 0 0 S 與恒定磁場(chǎng)類似的討論可得： B - B In （2n 應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù) n ? 5 — B 丿-0 或： 2 1 3， 電感應(yīng)強(qiáng)度D的邊界條件 D 2 由麥克斯韋第四方程（高斯定理） j D - dS = Q 0 X S 與靜電場(chǎng)類似討論可得： D — D — P 或： 2n In、 S n ?^D — D 丿—。 2 1 S )=J )=0 S )= —D)= 21 n x(H - H n x G — e n-B n Sb 綜上所述，交變電磁場(chǎng)中的邊界條件可歸納為: H - H = J 2t 1t E 二 E 1t 2t B 二 B 1n 2 n D -D 2 n 1n 下面討論一特例——理想導(dǎo)體表面上交變場(chǎng)的邊界條件。 所謂理想導(dǎo)體是指° =g的導(dǎo)體。對(duì)于于很大的良導(dǎo)體， 當(dāng)頻率很高時(shí)，電磁場(chǎng)只能存在于導(dǎo)體表面很小的薄層內(nèi)，這 種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)（以后在均勻平面波部分詳細(xì)講）， ° 越 大，集膚效應(yīng)越顯著，透入深度越小（如在10GHz,透入銅的 深度為6.6 x 10 -5 cm）, ° =3時(shí)，透入深度為0,即在理想導(dǎo)體 內(nèi)部電磁場(chǎng)處處為 0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知，電荷 和電流只能存在于理想導(dǎo)體的表面上。 根據(jù)上述邊界條件，在理想導(dǎo)體表面上： Sb 或矢量形式 可見，在理想導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)只有法向分量，磁場(chǎng)只有 切向分量。 ［例］已知兩無限大理想導(dǎo)體板相距為a，如圖，其間電場(chǎng) 強(qiáng)度為E = a E0 sin 竺xcos61-az （ m -常數(shù)）,求兩板內(nèi)壁上 y 0 a 的面電流密度。 z 解.7 =恥片 欲求7 ,應(yīng)先求片 S 由麥克斯韋第二方程: V x £ =— dB ~^T dH o ~^r dE dE 即： 一 、y x + 、 y z 二一卩 ~^z~ ~^X~ 0 dH ~^T m兀 -aE sin xsin 0 a inCet -az)X + mK E cos a 0 "兀 xcos61-az)Z ~a~ dH 兩邊對(duì) t 積分得： 齊 a E . m兀 H 二一 o sin ey a o x cosC^t - a z - m兀 m兀 .C y E cos x sin Vet -a z)z a 0 a 0 m兀 ey a 0 E sin(et-az)Z 0 八mTt 「?( \ y E smten—ocz 丿 (o|Li a 0 -y mn E Osin Cot-ocz mil c 0 本節(jié)回顧： 1, 法拉第電磁感應(yīng)定律 2, 位移電流 3, 麥克斯韋方程組 4, 邊界條件 作業(yè) 5.9 5.10 5.11