2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十一講 從三角形的內(nèi)切圓談起

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第二十一講從三角形的內(nèi)切圓談起和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形．三 角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心，圓外切三角形、圓外切四邊形有下列重要性質(zhì)： 1．三角形的內(nèi)心是三角形的三內(nèi)角平分線交點(diǎn)，它到三角形的三邊距離相等； 2．圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等，其逆亦真，是判定四邊形是否有外切圓的主要方法． 注：設(shè)RtAABC的各邊長(zhǎng)分別為a、b、c(斜邊)，運(yùn)用切線長(zhǎng)定理、面積等知識(shí)可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式： (1) ； (2) ． 請(qǐng)讀者給出證 【例題求解】 【例1】如圖，在Rt

2、AABC中，ZC=90°°,BC=5,O0與RtAABC的三邊AB、BC、AC分相切于點(diǎn)D、E、F,若00的半徑r=2，則RtAABC的周長(zhǎng)為. 思路點(diǎn)撥AF=AD，BE=BD，連0E、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可. 【例2】如圖，以定線段AB為直徑作半圓0,P為半圓上任意一點(diǎn)(異于A、B),過(guò)點(diǎn)P作半圓0的切線分別交過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線于D、C,AC、BD相交于N點(diǎn)，連結(jié)ON,NP，下列結(jié)論：①四邊形ANPD是梯形；②0N=NP:③DP?PC為定值；④FA為ZNPD的平分線，其中一定成立的是() A.①②③B.②③④C.①③④D.①④思路點(diǎn)撥本例綜合了切線

3、的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、相似三角形，判定性質(zhì)等重要幾何知識(shí)注意基本輔助線的添出、基本圖形識(shí)別、等線段代換，推導(dǎo)出NP〃AD〃BC是解本例的關(guān)鍵. 【例3】如圖，已知ZACP=ZCDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD,過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F,求證：F為ACDE的內(nèi)心. 思路點(diǎn)撥連CF、DF,即需證FCDE角平分線的交點(diǎn)，充分利用與圓有關(guān)的角，將問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為角相等問(wèn)題的證明. 【例4】如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB丄BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓0 切CD于E,連結(jié)0E,并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F. (1) 問(wèn)ZBOZ能否為120°，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由

4、； (2) 證明△AOFs^EDF,且； (3) 求DF的長(zhǎng). 思路點(diǎn)撥分解出基本圖形，作出基本輔助線.(1)若ZB0Z=120°，看能否推出矛盾；⑵把計(jì)算與推理融合；(3)把相應(yīng)線段用DF的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立關(guān)于DF的一元 次方程. 注：如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應(yīng)用廣泛的兩個(gè)性質(zhì)： (1) 以邊AB為直徑的圓與邊CD相切； (2) 以邊CD為直徑的圓與邊AB相切.類似地，三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，三角形三邊高所在的直線的交點(diǎn)叫 三角形的垂心.外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質(zhì)

5、，在解題中有廣泛的應(yīng)用. 【例5】如圖，已知RtAABC中，CD是斜邊AB上的高，0、0、0分別是△ABC；AACD、 12 △BCD的角平分線的交點(diǎn)，求證：(1)0卩丄C02；(2)0C=0102. 思路點(diǎn)撥在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似，得對(duì)應(yīng)角相等，所以通過(guò)證交角為90°的方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相 等. 學(xué)力訓(xùn)練 1. 如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)等于=cm． 2. 如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4),則RtAABO內(nèi)心的坐標(biāo)是. 3.

6、 如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,DC丄BC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的00與DC相切于E，則DC=. 4. 如圖，00為AABC的內(nèi)切圓，ZC=90°,A0的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，AC=4,CD=1，則00的半徑等于() A． C． D． 5. 如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZBCD=90°，以CD為直徑的半圓0切AB于點(diǎn)E,這個(gè)梯形的面積為21cm2，周長(zhǎng)為20cm，那么半圓0的半徑為() A．3cmB．7cmC．3cm或7cmD．2cm 6. 如圖，△ABC中，內(nèi)切圓0和邊B、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、EF,則以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò) 誤的結(jié)論是()

7、 A.點(diǎn)0是ADEF的外心B.ZAFE=(ZB+ZC) C.ZB0C=90°+ZAD.ZDFE=90°一ZB 7. 如圖，BC是00的直徑，AB、AD是00的切線，切點(diǎn)分別為B、P,過(guò)C點(diǎn)的切線與AD交于點(diǎn)D,連結(jié)AO、D0. (1) 求證：△ABOs^OCD； (2) 若AB、CD是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且Sa+S △ABO =20，求m的值. AfPD 8. 如圖，已知AB是00(的施，BC是00的^線,0C與0 BC相交于點(diǎn)E.CEB (1) 若BC=,CD=1，求00的半徑; (2) 取BE的中點(diǎn)F,連結(jié)DF,求證：DF是00的切線； (3) 過(guò)D點(diǎn)作DG

8、丄BC于G,0G與DG相交于點(diǎn)M,求證： BQ—C 相交于點(diǎn)D,連結(jié)AD并延長(zhǎng), (第9題) DM=GM. 9. 如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB為00的直徑，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn) C開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)． (1) 求00的直徑； (2) 求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCP的面積； (3)

9、是否存在某時(shí)刻t,使直線PQ與00相切，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 10. 已知在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,CD為AB上的高，0、0分別為△ACD.^BCD l2 的內(nèi)心，則00=—. l2 11. 如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA和ZB的平分線相交于P點(diǎn)，又PE丄AB于點(diǎn)E,若 BC=2，AC=3，則AE?EB=. 12. 如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分，那么該直線必通過(guò)這個(gè)三角形的 () A.內(nèi)心B.外心C.圓心D.重心 13. 如圖，AD是AABC的角平分線，00過(guò)點(diǎn)AB和BC相切于點(diǎn)P,和AB、AC分別交于點(diǎn)E,

10、 F,若BD=AE，且BE=a,CF=b，則AF的長(zhǎng)為() A．B．C．D． （第11 (第13題) 〔第14題) 14. 如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，如果0ABC的內(nèi)心，過(guò)0作0E丄AD于E,作0F丄CD于F,則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為() A.B.C.D.不能確定 15. 如圖，AB是半圓的直徑，AC為半圓的切線，AC=AB.在半圓上任取一點(diǎn)D,作DE丄CD,交直線AB于點(diǎn)F,BF丄AB，交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1) 設(shè)心是x°的弧，并要使點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，則x的取值范圍是； (2) 不論D點(diǎn)取在半圓什么位置，圖中除AB=A

11、C外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明． 16. 如圖，AABC的三邊滿足關(guān)系BC=(AB+AC),0、I分別為△ABC的外心、內(nèi)心，ZBAC的外角平分線交00于E,AI的延長(zhǎng)線交00于D,DE交BC于H. 求證：（1）AI=BD；（2）0I=AE. 17. 如圖，已知AB是00的直徑，BC是00的切線，OC平行于弦AD,過(guò)點(diǎn)D作DE丄AB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)F,問(wèn)EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論. 18. 如圖，已知點(diǎn)P在半徑為6,圓心角為90°的扇形0AB的AB(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，PHI0A于H,^0PH的重心為G. (1)當(dāng)點(diǎn)P在AB上

12、運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GO、GP、GH中有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線段?如果有，請(qǐng)指出并求出其相應(yīng)的長(zhǎng)度； (2) 設(shè)PH=x,GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍； (3) 如果APGR為等腰三角形，試求出線段PH的長(zhǎng). 參考答案 El從三角形的內(nèi)切11談起 例 例 例3 例4 例 Pl A O C (3)在RtAAOF中，OF2=AQ+AF2,由AO=寺,AD=DE=*,DF=*OF得(2DFF=(寺尸+(*+df)z,解得 DF=^? 9.(l)AB=4cm；(2)PD=(13—t),CQ=2“y=#AB(PD+CQ).y=2t+26(0QM8

13、),當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，CQ- 【例題求解】 ZDCF=180o-ZCFD-ZCDF=180o-ZCFB-ZCBF=ZBCF. (2)RtAAOFc^RtAEDF,連OD,則RtAADO^RtAEDO，ZDCX?=90°,又OE丄DC, :.OE2=DE?EC.TCE=BC=1,OE=y,DE=*,：.茅=焉=舟 1.602.(1,1)3.27154.A5.D6.D7.(1)略；(2)m=5 (2〉連結(jié)OF,OF〃AE，ZBOD=2ZA，Z1=Z2,AOBF￡/\ODF,.；ZODF=ZOBF=90°,FD是?O的切線； (3)???DG〃AB,.?.錯(cuò)=器=需，AO=

14、BO,...DM=GM. 30設(shè)AD=h,貝【JAF=AD=j,CF=CE=2,BE=BD=3,(t+3)2=(t4-2)2+52,得z=10 選c器=俵=跟???np〃ad〃bc. 連結(jié)AD、CF、DF、EF,ZEDF=ZCDF=45°,ZCFD=180°-ZCAD=180°-ZCDA=180°-ZCFA=ZCFB, (1)ZBOE工120°,連OC,若ZBOE=120°,則OC=1,于是BCV1,這與已知BC=1矛盾; ???ZEAC+^ACE=ZOzCB+zACE=90°,即ZAEC=90°,:.O】O丄CO?; (2)由于點(diǎn)O、Q分別在ZACD和ZDCB的平分線上, :.

15、ZO|CQ=45°,由(1)有ZO|EC=90°，:.CE=O】E. 同理可證QF丄CF.Z0(2E=45°,O?E=EO，又ZCEO=ZO?EO,, ACEO^AOiEQ,CO=OiQ. 【學(xué)力訓(xùn)練】 (1)?.?//!=ZDCB,.*.ZEAC=ZO2CB 16 C D PD=2CE,.*.2t-(13-f)=6,r=y，這時(shí)$=乎(曲)； (3)存在.若PQ與圓相切，切點(diǎn)為G,作PH丄BC于H,則PG=AP=t,QG=QB=16-2t,又QH=QB-BH=(16—2" -￡=16—3/,PQ=BQ+AP=16—“由PQ2=PH2-hQH2得(16—Q?=16+(16—

16、3以，解得t=4±/J. 10.^2參見(jiàn)例500=0,0211.3r=*(5-/U+1),BE=*(VTJ-I〉. 14.A連OH,OH=CF，ZOGH=ZFGC,???RtAOHG^RtAGFC，同理RtAOHP^RtAPEA.則=SOKFDE+ S^OFC+S^PEA=SPAC'D=SqaBCD，故'a<1FDE——. JQ口ABCD乙 15.可利用特殊位置及對(duì)運(yùn)動(dòng)變化趨勢(shì)的觀察，從反面將不可能的情況排除，或從正面得到BE=BF的猜想. (1)0

17、 17. 由RtAAEPcoRtAABC,得話=￡f①，又AD//OC,^DAE=^COB，則Rt/\AEDsRtZ\OBC,得器=第 tab 縉②，由①、②得ED=2EP,故DP=PE. A借助面積證明.13.C連ED,^EF/7BC,^=^|=|g,XBD2=BE-AB (2)連結(jié)BD,可證△BDFs/\ADB,得翳=黑，：^DBE^^DAC,：.ZEDE=ZADC(=90°- ZADE),/.△BDEs/XADC,得器=器,；.=卷??：BE=BF. △ABC的內(nèi)心,BD=DC,且DE為GO的直徑，得DE丄BC,BH=yBC,AG=BH,易證 RtAAGJ^RtABHD,

18、故AI=BD, (1)作IG丄AB,連結(jié)BZ,有AG^^-f.AB+AC-BC'),VBC=^-CAB+AC),：.AG=-^-BC，由I為 18.(1)延長(zhǎng)HG交OP于E,延長(zhǎng)PG交AO于D,VG是AOPH的重心，且ZPHO=90°,.°.GH=#HE=#X*XOP=yX6=2,故在線段GO、GP、GH中?有長(zhǎng)度保持不變的線段，就是GH. (2) OH=yOP—PH，=736-r?.DH=*OH=寺』36—#,DP=y/DH2+PH2=>^^(36-F)+F=y736+3x2Ay=GP=yDP=y/36+3x2(0