2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十二講 園冪定理

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第二十二講園冪定理 相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理．圓冪定理實(shí)質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)是與比例線段有關(guān)． 相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在： 1．用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即移動(dòng)圓內(nèi)兩條相交弦使其交點(diǎn)在圓外的情況； 2．從定理的證明方法看，都是由一對(duì)相似三角形得到的等積式． 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論： 【例題求解】 【例1】如圖，PT切00于點(diǎn)T,PA交00于A、B兩點(diǎn)，且與直徑CT交于點(diǎn)D,CD=2,AD=3,BD=6，則PB

2、=. 思路點(diǎn)撥綜合運(yùn)用圓幕定理、勾股定理求PB長(zhǎng). 注：比例線段是幾何之中一個(gè)重要問題，比例線段的學(xué)習(xí)是一個(gè)由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經(jīng)歷了四個(gè)階段： (1) 平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例； (2) 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例； (3) 直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡(jiǎn)捷地表示出來； (4) 圓中的比例線段通過圓幕定理明快地反映出來． 【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E,且與CD相切，若AB=4,BE=5，則DE的長(zhǎng)為() A．3B．4C．D． 思路點(diǎn)撥連AC,CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件.

3、注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識(shí)，通過代數(shù)化獲解，加強(qiáng)對(duì)圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計(jì)算問題的關(guān)鍵． 【例3】如圖，AABC內(nèi)接于OO,AB是Z0的直徑，PA是過A點(diǎn)的直線，ZPAC=ZB. (1) 求證：PA是O0的切線； (2) 如果弦CD交AB于E，CD的延長(zhǎng)線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5,,AE：BE=2：3,求AB的長(zhǎng)和ZECB的正切值. 思路點(diǎn)撥直徑、切線對(duì)應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識(shí).(1)問的證明為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理⑵問中的比例式，把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x

4、或k的方程. 【例4】如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DP與AC、BC分別交于點(diǎn)E、E，EG是過B、F、P三點(diǎn)圓的切線，G為切點(diǎn)，求證：EG=DE 思路點(diǎn)撥由切割線定理得EG2=EF?EP,要證明EG=DE，只需證明DE2=EF?EP,這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明. 注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁. 需要注意的是，圓冪定理的運(yùn)用不僅局限于計(jì)算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中. 【例5】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直

5、徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O,DF切半圓于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BF=4. 求：(1)cosZF的值；(2)BE的長(zhǎng). 思路點(diǎn)撥解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE,AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法.對(duì)于(1),先求出EF,FO值；對(duì)于(2),從ABEF^AEAF,Rt^AEB入手.DC注：當(dāng)直線形與圓結(jié)合時(shí)就產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手： (1) 多視點(diǎn)觀察圖形.如本例從D點(diǎn)看可用切線長(zhǎng)定理，從F點(diǎn)看可用切割線定理. (2) 多元素分析圖形．圖中有沒有特殊點(diǎn)、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、

6、全等三角形、相似三角形． (3) 將以上分析組合，尋找聯(lián)系． 學(xué)力訓(xùn)練 1. 如圖，PT是00的切線，T為切點(diǎn)，PB是00的割線，交00于A、B兩點(diǎn)，交弦CD于點(diǎn) M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4，則PT的長(zhǎng)為. 2. 如圖，PAB、PCD為00的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=. 3. 如圖，AB是00的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD是00的切線，D為切點(diǎn)，過點(diǎn)B 作00的切線交CD于點(diǎn)F,若AB=CD=2，則CE=. 4. 如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點(diǎn)P,則BP的長(zhǎng)為(

7、) A．6．4B．3．2C．3．6D．8 (第4題)(第5題)(第6題) 5. 如圖，00的弦AB平分半徑0C,交0C于P點(diǎn)，已知PA、PB的長(zhǎng)分別為方程的兩根，則此圓的直徑為() A．B．C．D． 6. 如圖，00的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點(diǎn)P是ACT上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD,點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F,給出下列四個(gè)結(jié)論: T ①CH2=AH?BH；②AD=AC:③AD2=DF?DP；④ZEPC=ZAPD,其中正確的個(gè)數(shù)是() A．1B．2C．3D．4 7. 如圖，BC是半圓的直徑，0為圓心，P是BC延長(zhǎng)線上

8、一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A,AD丄BC于點(diǎn)D． (1) 若ZB=30。，問AB與AP是否相等?請(qǐng)說明理由； (2) 求證：PD?PO=PC?PB； ⑶若BD：DC=4：l,且BC=10，求PC的長(zhǎng). 8. 如圖，已知PA切00于點(diǎn)A,割線PBC交00于點(diǎn)B、C，PD丄AB于點(diǎn)D，PD、A0的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,連CE并延長(zhǎng)交00于點(diǎn)F,連AF. (1) 求證：△PBDs^peC； (2) 若AB=12,tanZEAF=，求00的半徑的長(zhǎng). 9. 如圖，已知AB是00的直徑，PB切00于點(diǎn)B,PA交00于點(diǎn)C,PF分別交AB、BC于E、D,交00于F、G,且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程

9、(其中為實(shí)數(shù))的兩根. (1)求證：BE=BD；(2)若GE?EF=，求ZA的度數(shù). (第7題)(第8題)(第9題) 10.如圖，△ABC中，點(diǎn)E,與AC相切于點(diǎn)D, ZC=90°,0為AB上一點(diǎn)，以0為圓心，0B為半徑的圓與AB相交于 11.如圖，已知A、B、C、D在同一個(gè)圓上，BC=CD,AC與BD交于E,段BE、ED為正整數(shù)，則BD=. 若AC=8,CD=4，且線 (第11題) 12.如圖，P是半圓0的直徑BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A,AH丄BC于H,若PA=1, PB+PC=(>2)，則PH=() A．B．C．D． 13.如圖，△ABC是00的內(nèi)接正三角形，

10、弦EF經(jīng)過BC的中點(diǎn)D,且EF〃AB，若AB=2，則DE的長(zhǎng)為() A.B.C.D.1 14.如圖，已知AB為00的直徑，C為00上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,CE丄AD于E, E交00于F,AF交CE于P,求證：PE=PC. '(第14題)(第15題) PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE=2,CD=1， 15.已知：如圖，ABCD為正方形，以D點(diǎn)為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的00相交于P、C兩點(diǎn)，連結(jié)AC、AP、CP，并延長(zhǎng)CP、AP分別交AB、BC、0O于E、H、F三點(diǎn)，連結(jié)0F. (1)求證：AAEPsACEA；(2)判斷

11、線段AB與0F的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論; (3) 求BH:HC16.如圖，PA、PB是00的兩條切線,求DE的長(zhǎng). 17?如圖，00的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是00外一點(diǎn),過點(diǎn)P作00的切線PA和割線PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B、C是直線PBC與00的交點(diǎn)，若 PA、PB、PC的長(zhǎng)都是正整數(shù)，且PB的長(zhǎng)不是合數(shù)，求PA+PB+PC的值. 圜U9幕定理 【例題求解】 例115由CD?DT=AB?DB,得DT=9,由PTl=PB?PA^PD^-DT1.即PB(PB+BA)=(.PB+BD)2^DT2，得PB =15. AC=BE=5,又ZBAC=ZACD

12、=ZABC,則AC=EC=AD=5,DC=AB=4,故DE DC2 AD 16 例3(1)十ZC4B=90°,故PA是OO的切線; (2) 設(shè)CE=6虹ED=5￡AE=2z,EB=3?rd>0,?r>0),由CE?DE=AE?EE,得30k2=6x2,/?工=^k,AE=2応b、BE=3礫，又FA2=DF?CF=EF?—AE2,即DF(DF+1嘆)=(DF+5妁？一(2島上嚴(yán)，解得DF=5H.?.DF=DE,即D為EF的中點(diǎn)，連結(jié)AD,則AD=DF=DE,^AF=AC,由FA?=DF?CF得&=50(5&+以+6?),解得代=???AB=AE十BE=5宓=10,tg^EC

13、B=tgZAEF=j￡=2. DE_AEAE EF~~EC3EC EP^DE^EP DE9^EF^DE ，即DE2=EF?EP? 例5⑴由厶OEFs^DAF,得霽=箸=焉=寺，即AF「2EF,又EF2=FB?FA-BF?2EF ???EF=2BF=8,AF=2EF=16,???A￡=AF—BF=12,FO=*AB+BF=10,cosZF=^=~|RFFFQ1 ⑵由△BEFs"AF,得撫=斧=希=赤設(shè)BE=H則AE=2虹由AE2BE2=AB2得(2k)2k2=122，解得&=￥代^,故BE=■—

14、A=CB(AB+CB),得CB=^-1,連OD,由RtAODCcz)RtAEBC,得零=焉 4.A5,A6.C 7.(1)AB=AP；(2)PA2=PC?PB=PD?PO$(3)PC=￥? o 8?(1)PA2=PB?PC^PD?戸￡,???器=鋁又ZP=ZP,???Z\PBDs/\PEC； (2)作OG丄AB于G,PE〃AF,AG=*AB=6.???OG〃ED〃FA,???ZAOG=ZEAF, AGo tanZAOG=^=彳，OG=9,AO=VAG2+OG2=3/T3. 9?("△=一4(加+2)2$0,??5=—2?原方程為工2—6工+9=0?解得BE=BD=3； (2)

15、AE?BE=GE?FE=6箱，二AE=2州易證△PBCs/\PAB，Z\PBDs/\PAE, ?BC ??麗 PB_BDBnBC_BD?.一yA_BC_BD顱一擊即麗_疋…呵"_麗_疋 3 2^3 李，故ZA=60°? 11. 7BD=CD=4,由厶BCEc^AACB得BC2=CE?AC,AE=6,CE=2?由BE?DE=AE?EC=12.BD=BE+ED

16、2^DE-1=Q9解得DE二氣二? 14. 連OC,則OC〃AD,可證明PC為?O切線，???PC2=PF?PA,又由△PEFs/\PAE,得PE2=PF?PA,故PC?=PE2,艮卩PC=PE? 15. (1)略(2)線段AB與OF是平行的，不妨設(shè)AB=BC=2a9連BP,BF,貝ijEA2=EP?EC,EB2=EP?EC,:.EB= EA=a,又EC=辰，???，由△AEPco^CEA，得篠=黑，代AP=，又AB?=AP?AF,.??AF= 5ECAC5 庾《,又厶ABPc^^AFB,：.帶=器，得BF=42a,^￡/\OBF中，OB=OF=sBF=罷a,；*ZFOB=90°,又

17、AB丄OB,AAB//OF, (3) VAB//OF,：，焉=鴿=盞=4又OH+BH=a,.，.BH=#a,CH=a+*a=罟,BH?CH=y. 16. 連PO交AB于H,設(shè)DE=才，則PA2=PE-PC=2Q+3),在Rt^APH中，AP?=AH*+PH, 即AH?+PH2=2(z+3)①，在RtAPHD中，PH?+DH?=Q+2尸②，又AD?DB=ED?DC, 而AD?DB=(.AH-DH)(AH+DH)=AH2-DH2,：.AH2-DH2=j:?1③，由①②③ 得(乂+2尸+乂=2(乂+3),解得DE=z=律_3. 17. 設(shè)方程兩根為T|,丄1￡心，則-fl+衛(wèi)=4—2怡①

18、，工口2=怡②. 由題設(shè)及①知,口、比都是整數(shù)，從①、②消去以得 (2t,+1)(2也+1)w9,*W4‘且當(dāng)怡V0時(shí)，乜=4*故最大的整數(shù)根為4,于是?O的宜徑為4,所以BCW4 VBC=PC-PB為正整數(shù)，/.BC=1,2,3或4 連結(jié)AB.AC,由厶PABsAPCA，得PA!PBCPB+BC)③ (1)當(dāng)EC=1時(shí)，由③得,pa2=PB2+PB,于是PB!