2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十七講 解直角三角形

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1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第十七講解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下兩方面的應(yīng)用： 1．為線段、角的計算提供新的途徑． 解直角三角形的基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉(zhuǎn)化，突破純粹幾何關(guān)系的局限． 2．解實際問題． 測量、航行、工程技術(shù)等生活生產(chǎn)的實際問題，許多問題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形獲解解決問題的關(guān)鍵是在理解有關(guān)名詞的意義的基礎(chǔ)上，準確把實際問題抽象為幾何圖形，進而轉(zhuǎn)化為解直角三角形． 【例題求解】 【例1】如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的

2、坡面CD和地面BC 上，如果CD與地面成45°,ZA=60°,CD=4m,BC=()m,則電線桿AB的長為. 思路點撥延長AD交BC于E,作DF丄BC于F,為解直角三角形創(chuàng)造條件. 【例2】 () 如圖，在四邊形ABCD中，AB=,BC-1,CD=, A.60°B.67.5°C.75°D.無法確定 思路點撥通過對內(nèi)分割或向外補形,構(gòu)造直角三角形． 注：因直角三角形元素之間有很多關(guān)系,故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一,選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢？請記?。河行庇孟?無斜用切,寧乘勿除. 在沒有直角的條件下,常通過作垂線構(gòu)造直角三角形；在解由多個直角三角形組合而成的問題

3、時,往往先解已具備條件的直角三角形,使得求解的直角三角形最終可解. 【例3】如圖，在△ABC中，Z=90°,ZBAC=30°,BC=l,D為BC邊上一點，tanZADC 是方程的一個較大的根?求CD的長. 思路點撥解方程求出tanZADC的值，解RtAABC求出AC值，為解RtAADC創(chuàng)造條件. 【例4】如圖，自卸車車廂的一個側(cè)面是矩形ABCD,AB=3米，BC=O.5米，車廂底部距離地面1.2米，卸貨時，車廂傾斜的角度0=60°.問此時車廂的最高點A距離地面多少米？（精確到1米） 思路點撥作輔助線將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，怎樣作輔助線構(gòu)造基本圖形，展開空間想象，就能得到不同

4、的解題尋路d 【例5】如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時太陽光線與水平面的夾角為30°，此時，求： （1）如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?（2）如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少米? 思路點撥（1）設(shè)甲樓最高處A點的影子落在乙樓的C處，則圖中CD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高；（2）設(shè)點A的影子落在地面上某一點C,求BC即可. 注：在解決一個數(shù)學(xué)問題后，不能只滿足求出問題的答案，同時還應(yīng)對解題過程進行多方面分析和考察，思考一下有沒有多種解題途徑，每種途徑各有什么優(yōu)點與缺陷，哪一條途徑更合理、更

5、簡捷，從中又能給我們帶來怎樣的啟迪等.若能養(yǎng)成這種良好的思考問題的習(xí)慣，則可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力. 學(xué)歷訓(xùn)練 1. 如圖，在△ABC中，ZA=30°,tanB=，BC=，則AB的長為 2. 如圖，在矩形ABCD中.E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，若tanZAEH =四邊形EFGH的周長為40cm，則矩形ABCD的面積為. 3. 如圖，旗桿AB,在C處測得旗桿頂A的仰角為30°，向旗桿前北進10m，達到D,在D 處測得A的仰角為45°，則旗桿的高為. 4. 上午9時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到 達B

6、處，從A、B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為() A.20海里B.20海里C.海里D. 5. 已知a、b、c分別為△ABC中ZA、ZB、ZC的對邊，若關(guān)于的方程 有兩個相等的實根，且sinB?cosA—cosB?sinA=0,則厶ABC的形狀為() A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形 6. 如圖，在四邊形ABCD中，ZA=135°,ZB二ZD=90°,BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面 積是() A．B．C．4D．6 7. 如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,CD=1，已知AD、BD的

7、長是關(guān)于的方程的兩根，且tanA—tanB=2，求、的值. C 8?如圖，某電信部門計劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜，8測量人員在山腳A點測得B、C兩地的仰角分別為30°、45°,在B地測得C地的仰角為60°.已知C地比A地高200米,則電纜BC至少長多少米？(精確到0.1米) 9. 如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90°,ZCBD=30，則=. 10. 如圖，正方形ABCD中，N是DC的中點.M是AD上異于D的點，且ZNMB=ZMBC,貝VtanZABM=. 11. 在厶ABC中，AB=,BC=2,△ABC的面積為l,若ZB是銳角，則ZC的度數(shù)是. 12. 已知

8、等腰三角形的三邊長為a、b、c,且，若關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為，則等 腰三角形的一個底角是() A.15°B.30°C.45°D.60° 13. 如圖，AABC為等腰直角三角形，若AD=AC,CE=BC，則Z1和Z2的大小關(guān)系是() A.Z1>Z2B.Z1

9、16，這條邊上的中線和高線長度分別為10和9，求三角形中此邊所對的角的正切值. 16.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力.據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正在以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C處移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響. (1) 該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由. (2) 若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長? (3) 該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)

10、力為幾級? 17.如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒有開闊平整地帶.該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測得，從A、D、C三點可看到塔頂端H.可供使用的測量工具有皮尺、測角器. (1)請你根據(jù)現(xiàn)有條件,充分利用矩形建筑物，設(shè)計一個測量塔頂端到地面高度HG的方案.具體要求如下： ① 測量數(shù)據(jù)盡可能少； ② 在所給圖形上，畫出你設(shè)計的測量平面圖，并將應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上(如果測A、D間距離，用m表示；如果測D、C間距離，用n表示；如果測角，用a、B、Y等表示.測角器 高度不計）． （2）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算塔頂端到地面的高度HG（用字母表示）

11、. 參考答案 回解賣角三角形 【例題求解】 CF=DF=2^2,EF=DF?tan60°=2BE?tan30°,AB=6&5. 選B過A作AE丄CD于E,過B作BF丄AE于F. 解方程得卄7=尋心++=一1舍去），進而得z=4+/J,CD=cotZADC?AC=cotZADC?cot30°?BC=為如=墮嚴. 本例解法甚多，以下解法僅供參考，過點A作AE丄CE于E,交CD于F,則AF= —AD?tan60°= 于是A點離地面的高度為1+得3—尋+1.2~4（米）

12、. cT?q| （1）EC=20米，AE=ECtanZACE~11.6米，CD=EB=AB-AE=4.4（米） （2）BC=ABcotZACB~27.7（米） 【學(xué)力訓(xùn)練】 1.3+VT2.1923.(5+5拇)m4.B5.D6.C CDpnCD 7.AD?BD=CD!=l,igA-tgB=jg-^g=^y^^(BD-AD)=BD-AD=2t(JBD+AD)2=

13、設(shè)BC=h.則BE=yx,CE-^MH-=200,AP=200-yx.BP=200一嚕h,由200—亨工=(200-*工)普*得=*146.4(米). 9. V3-110.y延長MN,BC交于T.11.30°12.B6=辰13.C過E作EF丄AB于F,計算tgZl. 15. tgZ2. （1）先證RtAAFD^RtAAEB,得DF=BE,再證RtAEBG^RtAECF,AOF?FC=BG?EC. （2）當(dāng)tgZDAF=￡時，設(shè)DF=x.則AD=3jr,AF=/Kr，由SA4￡f=yAE?AF=2=10,得_r=d，AD=3Q，當(dāng) oi tgZDAf=^時,DF=2V2\AF=念,

14、Saaeph^~2~AFz=13. 如圖，在△ABC中，設(shè)AB=cAC=b,BC=16,中線AM和高線AD分別為10和9，ZBAC =a，ZAMC=0,從而ZAMB=180°-0,由題意得fbz+

15、不超過160千米時，將會受到臺風(fēng)的影響，則AE=AF=160,當(dāng)臺風(fēng)中心從E處移到F處時,該城市都會受到這次臺風(fēng)的影響. 由勾股定理得；DE=/AE5T7ADr=71602-1102=7270X50=30/15. Z.EF=60vT5（千米）???該臺風(fēng)中心以15千米/時的速度移動，:.這次臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間為駕絆=4v/B■（小時）. 故tan? (1) (3) 當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時,A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12—器 17. 以下方案僅供參考（測三個數(shù)據(jù)） wcota 設(shè)HG=jr,CG=HCOtp,DM=(工一Qcota.\xcot/3==(j~n)cotat^cotff* MD