2020版高考數學一輪復習 課后限時集訓13 變化率與導數、導數的計算 文（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(十三)　 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．已知函數f(x)＝x－，f′(x)是f(x)的導函數，則f′(1)－f(1)＝(　　) A．2　　 B．e　　　　C．1　　　　D．－e B　[f′(x)＝1－，則f′(1)＝1，又f(1)＝1－e， 所以f′(1)－f(1)＝1－(1－e)＝e，故選B.] 2．曲線y＝ex－ln x在點(1，e)處的切線方程為(　　) A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0 C　[由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，

2、故曲線y＝ex－ln x在點(1，e)處的切線方程為y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0，故選C．] 3．曲線y＝xex在點(1，e)處的切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，則的值為(　　) A．－ B．－ C． D． D　[y′＝ex＋xex，則y′|x＝1＝2e.∵曲線在點(1，e)處的切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，∴－＝－，∴＝.] 4．(2019·廣州模擬)已知曲線y＝ln x的切線過原點，則此切線的斜率為(　　) A．e B．－e C． D．－ C　[設切點坐標為(x0，y0)，由y′＝得y′|x＝x0＝， 由題意知＝，即y0＝1，∴l(xiāng)

3、n x0＝1， 解得x0＝e，因此切線的斜率為，故選C．] 5．已知奇函數y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0]上的解析式為f(x)＝x2＋x，則曲線y＝f(x)在橫坐標為1的點處的切線方程是(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0 B　[當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x， 又f(－x)＝－f(x)，則－f(x)＝x2－x，即f(x)＝－x2＋x， ∴f′(x)＝－2x＋1，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝0. 因此所求切線方程為y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，故選B.] 二、填空題 6．(2016

4、·天津高考)已知函數f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導函數，則f′(0)的值為________． 3　[因為f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3.] 7．若曲線y＝ax2－ln x在點(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________. 　[因為y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因為曲線在點(1，a)處的切線平行于x軸，故其斜率為0，故2a－1＝0，a＝.] 8．如圖所示，y＝f(x)是可導函數，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x

5、)，其中g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝________. 0　[由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，即f′(3)＝－. 又因為g(x)＝xf(x)， 所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.] 三、解答題 9．已知函數f(x)＝x3＋. (1)求函數f(x)在點P(2,4)處的切線方程； (2)求過點P(2,4)的函數f(x)的切線方程． [解]　(1)根據已知得點P(2,4)是切點且y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切線的斜率為y′＝4， ∴

6、曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A， 則切線的斜率為y′＝x， ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋. ∵點P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0， ∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 10．已知點M是曲線y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一點，曲線在M處的切線為l，求：

7、(1)斜率最小的切線方程； (2)切線l的傾斜角α的取值范圍． [解]　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 所以當x＝2時，y′＝－1，y＝， 所以斜率最小的切線過點， 斜率k＝－1， 所以切線方程為x＋y－＝0. (2)由(1)得k≥－1， 所以tan α≥－1，所以α∈∪. B組　能力提升 1．(2019·青島模擬)若函數y＝f(x)的圖像上存在兩點，使得函數的圖像在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質，下列函數中具有T性質的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 A　[若y＝f(x)的圖像上存

8、在兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函數圖像在這兩點處的切線互相垂直，則f′(x1)·f′(x2)＝－1. 對于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，則當x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)時，結論成立； 對于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1； 對于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.顯然不存在這樣的x1，x2； 對于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，顯然不存在這樣的x1，x2. 綜上所述，選A．] 2．如圖，修建一條公路需要一段

9、環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數圖像的一部分，則該函數的解析式為(　　) A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x A　[設三次函數的解析式為y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函數y＝ax3＋bx2＋cx＋d在點(0,0)處的切線，則y′|x＝0＝－1?c＝－1，排除選項B、D.又∵y＝3x－6是該函數在點(2,0)處的切線，則y′|x＝2＝3?12a＋4b＋c＝3?12a＋4b－1＝3?3a＋b＝1.只有A選項的函數符合，故選A．] 3．(

10、2019·武漢模擬)已知函數f(x＋1)＝，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處切線的斜率為________． 1　[f(x＋1)＝，故f(x)＝，即f(x)＝2－，對f(x)求導得f′(x)＝，則f′(1)＝1，故所求切線的斜率為1.] 4．已知函數f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在x＝1處的切線斜率相同，求a的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線． [解]　根據題意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－. 曲線y＝f(x)在x＝1處的切線斜率為f′(1)＝3， 曲線y＝g(x)在x＝1處的切線斜率為g′(1)＝－a， 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3. 曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為 y－f(1)＝3(x－1)， 所以y＋1＝3(x－1)，即切線方程為3x－y－4＝0. 曲線y＝g(x)在x＝1處的切線方程為 y－g(1)＝3(x－1)， 所以y＋6＝3(x－1)，即切線方程為3x－y－9＝0， 所以，兩條切線不是同一條直線． - 6 -