2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓13 實際問題的函數(shù)建模 文 北師大版

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1、課后限時集訓13 實際問題的函數(shù)建模 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·廣東廣州一模)如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖像大致是(　　) B　[函數(shù)h＝f(t)是關于t的減函數(shù)，故排除C，D，一開始，h隨著時間的變化，變化緩慢，水排出超過一半時，h隨著時間的變化，變化加快，故對應的圖像為B，故選B.] 2．某新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能

2、較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關系的是(　　) A．y＝100x　 B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 C　[根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應為指數(shù)函數(shù)模型．故選C.] 3．某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是(　　) A．減少7.84% B．增加7.84% C．減少9.5% D．不增不減 A　[設某商品原來價格為a，四年后價格為： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， (0.921 6－1)a＝－0.0

3、78 4a， 所以四年后的價格與原來價格比較，減少7.84%.] 4．某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為(　　) A. B. C. D.－1 D　[設年平均增長率為x，原生產總值為a，則a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故選D.] 5．某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)＝已知某家庭2019年前三個月的煤氣費如下表： 月份 用氣量 煤氣費 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若

4、四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為(　　) A．11.5元　　B．11元 C．10.5元　　D．10元 A　[根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故選A.] 二、填空題 6．一個工廠生產一種產品的總成本y(單位：萬元)與產量x(單位：臺)之間的函數(shù)關系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每臺產品的售價為25萬元，生產的產品全部賣出，則該工廠獲得最大利潤(利潤＝銷售收入－產品成本)時的產量是__

5、______臺． 75　[由題意可知，利潤f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N) ∴當x＝75時，f(x)取到最大值．] 7.有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場池，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場地的最大面積為________m2.(圍墻厚度不計) 2 500　[設圍成的矩形場地的長為x m， 則寬為 m，則S＝x·＝(－x2＋200x)． 當x＝100時，Smax＝2 500(m2)．] 8．已知投資x萬元經(jīng)銷甲商品所獲得的利潤為P＝；投資x萬元經(jīng)銷乙商品

6、所獲得的利潤為Q＝ (a＞0)． 若投資20萬元同時經(jīng)銷這兩種商品或只經(jīng)銷其中一種商品，使所獲得的利潤不少于5萬元，則a的最小值為________． 　[設投資乙商品x萬元(0≤x≤20)，則投資甲商品(20－x)萬元． 利潤分別為Q＝ (a＞0)，P＝， 因為P＋Q≥5,0≤x≤20時恒成立， 則化簡得a≥，0≤x≤20時恒成立． (1)x＝0時，a為一切實數(shù)； (2)0＜x≤20時，分離參數(shù)a≥，0＜x≤20時恒成立， 所以a≥，a的最小值為.] 三、解答題 9．某種出口產品的關稅稅率為t，市場價格x(單位：千元)與市場供應量p(單位：萬件)之間近似滿足關系式：p＝2(

7、1－kt)(x－b)2，其中k，b均為常數(shù)．當關稅稅率t＝75%時，若市場價格為5千元，則市場供應量約為1萬件；若市場價格為7千元，則市場供應量約為2萬件． (1)試確定k，b的值． (2)市場需求量q(單位：萬件)與市場價格x(單位：千元)近似滿足關系式：q＝2－x，當p＝q時，市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格不超過4千元時，試確定關稅稅率的最大值． [解](1)由已知得： ? 解得b＝5，k＝1. (2)當p＝q時，2＝2－x， 所以(1－t)(x－5)2＝－x?t＝1＋＝1＋. 而f(x)＝x＋在(0,4]上單調遞減， 所以當x＝4時，f(x)有最小值， 故當

8、x＝4時，關稅稅率的最大值為500%. 10．為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小李同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本5萬元，每年生產x萬件，需另投入流動成本C(x)萬元，且C(x)＝每件產品售價為10元，經(jīng)分析，生產的產品當年能全部售完． (1)寫出年利潤P(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)． (2)年產量為多少萬件時，小李在這一產品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？ [解](1)因為每件產品售價為10元，所以x萬件產品銷售收入為10x萬元． 依題意得，當0

9、＜x＜8時，P(x)＝10x－－5＝－x2＋6x－5； 當x≥8時，P(x)＝10x－－5＝30－. 所以P(x)＝ (2)當0＜x＜8時，P(x)＝－(x－6)2＋13，當x＝6時，P(x)取得最大值P(6)＝13； 當x≥8時，P′(x)＝－1＋＜0，所以P(x)為減函數(shù)，當x＝8時，P(x)取得最大值P(8)＝. 由13＜可知當年產量為8萬件時，小李在這一產品的生產中所獲利潤最大，最大利潤為萬元． 1．(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面

10、與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r). 設α＝.由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　) A. R B. R C. R D. R D　[由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因為α＝，所以＋＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即3≈，所以r≈·R，故選D.] 2．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，

11、在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是(　　) A．10.5萬元 B．11萬元 C．43萬元 D．43.025萬元 C　[設公司在A地銷售該品牌的汽車x(0≤x≤16且x∈N)輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－·＋×＋32. 因為x∈[0,16]且x∈N， 所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元．] 3．某工廠投資100萬元

12、開發(fā)新產品，第一年獲利10萬元，從第二年開始每年獲利比上一年增加20%.若從第n年開始，前n年獲利總和超過投入的100萬元，則n＝________.(參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 7　[由從第n年開始，前n年獲利總和超過投入的100萬元，得10＋10×(1＋20%)1＋10×(1＋20%)2＋…＋10(1＋20%)n－1＞100，即＞100，所以n＞＝≈≈6.即從第7年開始，前7年獲利總和超過投入的100萬元．] 4．十九大提出對農村要堅持精準扶貧，至2020年底全面脫貧．現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農戶100家，他們

13、均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元．扶貧工作組一方面請有關專家對水果進行品種改良，提高產量；另一方面，抽出部分農戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù)．從2018年初開始，若該村抽出5x戶(x∈Z,1≤x≤9)從事水果包裝、銷售工作，經(jīng)測算，剩下從事水果種植的農戶的年純收入每戶平均比上一年提高，而從事包裝、銷售的農戶的年純收入每戶平均為萬元(參考數(shù)據(jù)：1.13＝1.331,1.153≈1.521,1.23＝1.728)． (1)至2020年底，為使從事水果種植的農戶能實現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬6千元)，至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作？ (2)至

14、2018年底，該村每戶年均純收入能否達到1.35萬元？若能，請求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請說明理由． [解](1)至2020年底，種植戶平均收入＝≥1.6，即≥1.6，即x≥20(－1)． 由題中所給數(shù)據(jù)，知1.15＜＜1.2，所以3＜20(－1)＜4. 所以x的最小值為4，此時5x≥20，即至少要抽出20戶從事包裝、銷售工作． (2)至2018年底，假設該村每戶年均純收入能達到1.35萬元．每戶的平均收入為 ≥1.35，化簡得3x2－30x＋70≤0. 因為x∈Z且1≤x≤9 ，所以x∈{4,5,6}． 所以當從事包裝、銷售的戶數(shù)達到20至30戶時，能達到，否則，不能．

15、 1．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%. ①當x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； ②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________． 130　15　[①一次購買草莓和西瓜各一盒需付款140元，若x＝10，則超過120元可少付10元，故顧客實際需要支付130元．

16、 ②設顧客一次購買水果促銷前總價為y元． 當y＜120時，不享受優(yōu)惠，即x＝0，此時0.8y≥0.7y，滿足要求． 當y≥120時，享受優(yōu)惠x元，則0.8(y－x)≥0.7y，得x≤y恒成立．又∵y≥120，∴y≥15，∴x≤15，即x的最大值為15.] 2．據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于沿海M地的臺風一直向正南方向移動，其移動速度v(單位：km/h)與時間t(單位：h)的函數(shù)圖像如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積為時間t內臺風所經(jīng)過的路程s(單位：km)． (1)當t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示

17、出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場臺風是否會侵襲到N城，如果會，在臺風發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． [解](1)由圖像可知，直線OA的方程是v＝3t(0≤t≤10)，直線BC的方程是v＝－2t＋70(20＜t≤35)． 當t＝4時，v＝12，所以s＝×4×12＝24. (2)當0≤t≤10時，s＝×t×3t＝t2； 當10＜t≤20時，s＝×10×30＋(t－10)×30＝30t－150； 當20＜t≤35時，s＝150＋300＋×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550. 綜上可知，s隨t變化的規(guī)律是 s＝ (3)當t∈[0,10]時，smax＝×102＝150＜650， 當t∈(10,20]時，smax＝30×20－150＝450＜650， 當t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650， 解得t＝30或t＝40(舍去)， 即在臺風發(fā)生30小時后將侵襲到N城． - 7 -