2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓14 導數(shù)的概念及運算 理 北師大版

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1、課后限時集訓14 導數(shù)的概念及運算 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．函數(shù)y＝ln(2x2＋1)的導數(shù)是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. B　[y′＝·4x＝，故選B.] 2．(2019·成都模擬)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f′(e)＝(　　) A．1 B．－1 C．－e D．－e－1 D　[由已知得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋，則f′(e)＝－. 故選D.] 3．一質點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝

2、t3－3t2＋8t，那么速度為零的時刻是(　　) A．1秒末 B．1秒末和2秒末 C．4秒末 D．2秒末和4秒末 D　[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由導數(shù)的定義可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度為零，故選D.] 4．(2019·貴陽模擬)曲線y＝xln x在點(e，e)處的切線方程為(　　) A．y＝2x－e B．y＝－2x－e C．y＝2x＋e D．y＝－x－1 A　[對y＝xln x求導可得y′＝ln x＋1，則曲線在點(e，e)處的切線斜率為ln e＋1＝2，因此切線方程為y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故選A

3、.] 5．已知直線y＝ax是曲線y＝ln x的切線，則實數(shù)a＝(　　) A.　　　 B. C.　　　 D. C　[設切點坐標為(x0，ln x0)，由y＝ln x的導函數(shù)為y′＝知切線方程為y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.由題意可知解得a＝.故選C.] 二、填空題 6.已知函數(shù)y＝f(x)及其導函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，則曲線y＝f(x)在點P處的切線方程是________． x－y－2＝0　[根據(jù)導數(shù)的幾何意義及圖像可知，曲線y＝f(x)在點P處的切線的斜率k＝f′(2)＝1，又過點P(2,0)，所以切線方程為x－y－2＝0.] 7．若曲線f

4、(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－∞，0)　[由題意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y軸的切線，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．] 8．設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2，若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標為______． (1，－1)或(－1,1)　[由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為f′(x0)＝3x＋2ax0，又切線方程為x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或 所以當時，點P的坐標為(1

5、，－1)； 當時，點P的坐標為(－1,1)．] 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． [解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2，∴曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)設曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點P(

6、x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0， 解得x0＝2或1， ∴經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0. 10．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖像為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍． [解]　(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3， 則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞

7、)． (2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由已知(2)中條件并結合(1)中結論可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)． 1．(2018·全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x D　[因為函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(

8、－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因為x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x.故選D.] 2．曲線y＝e在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　) A．e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 D　[易知曲線y＝e在點(4，e2)處的切線斜率存在，設其為k.∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面積為S＝×2×|－e2|＝e2.] 3．若直線

9、y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ex的切線，則b＝________. 0或1　[設直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點為(x1，y1)，與曲線y＝ex的切點為(x2，y2)，y＝ln x＋2的導數(shù)為y′＝，y＝ex的導數(shù)為y′＝ex，可得k＝ex2＝.又由k＝＝，消去x2，可得(1＋ln x1)(x1－1)＝0，則x1＝或x1＝1，則直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點為或(1,2)，與曲線y＝ex的切點為(1，e)或(0,1)，所以k＝＝e或k＝＝1，則切線方程為y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.] 4．設函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在

10、點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． [解]　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當x＝2時，y＝. 又因為f′(x)＝a＋， 所以解得所以f(x)＝x－. (2)證明：設P(x0，y0)為曲線y＝f(x)上任一點，由y′＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－，所以切線與直線x＝0的交點坐標為.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切線與直線y＝x的交點坐

11、標為(2x0,2x0)． 所以曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積S＝|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6. 1．定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導數(shù)，記作f″(x)＝[f′(x)]′. 定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正，即f″(x)＞0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù)．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是___

12、_____． 　[因為f(x)＝x3－x2＋1，所以f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3， 令f″(x)＞0得x＞，故x的取值范圍是.] 2．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3. (1)求f(x)的解析式； (2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 依題意? 又f′(0)＝－3， 所以c＝－3，所以a＝1， 所以f(x)＝x3－3x. (2)設切點為(x0，x－3x0)， 因為f′(x)＝3x2－3， 所以f′(x0)＝3x－3， 所以切線方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)． 又切線過點A(2，m)， 所以m－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)， 所以m＝－2x＋6x－6， 令g(x)＝－2x3＋6x2－6， 則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)， 由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2， 畫出草圖知，當－6＜m＜2時，g(x)＝－2x3＋6x2－6有三個解，所以m的取值范圍是(－6,2)． 6