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1、課后限時集訓35
數列求和
建議用時：45分鐘
一、選擇題
1．數列{an}的通項公式為an＝，若該數列的前k項之和等于9，則k＝( )
A．80 B．81 C．79 D．82
B [an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝.
由題意知Sk＝＝9，解得k＝81，故選B.]
2．若數列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則它的前100項之和S100＝( )
A．150 B．120
C．－120 D．－150
A [S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a99＋a100
＝－1＋4－7＋…＋(
2、－295)＋298
＝50×3＝150.故選A.]
3．已知數列{an}的通項公式是an＝，其前n項和Sn＝，則項數n＝( )
A．13 B．10
C．9 D．6
D [由an＝＝1－得
Sn＝＋＋＋…＋
＝n－
＝n－
＝n－1＋.
令n－1＋＝，即n＋＝.
解得n＝6，故選D.]
4.＋＋＋…＋的值為( )
A. B.－
C.－ D.－＋
C [因為＝＝＝，
所以＋＋＋…＋
＝＝
＝－.]
5．Sn＝＋＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
B [由Sn＝＋＋＋…＋， ①
得Sn＝＋＋…＋＋， ②
①－②得，
Sn＝＋＋＋
3、…＋－
＝－，
所以Sn＝.]
二、填空題
6．已知數列：1，2，3，…，，…，則其前n項和關于n的表達式為________．
－＋1 [設所求的前n項和為Sn，則Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝－＋1.]
7．有窮數列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有項的和為________．
2n＋1－n－2 [an＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1，
則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
8．化簡Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的結果是________．
2n＋1－n－
4、2 [因為Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①
2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②
所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.]
三、解答題
9．(2019·泰安模擬)已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求數列{bn}的通項公式；
(2)令cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.
[解](1)由題意知，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
當n＝1時，a1＝S1＝11，所
5、以an＝6n＋5(n∈N*)．
設數列{bn}的公差為d.
由即
可解得b1＝4，d＝3.
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2.
所以Tn＝3n·2n＋2.
10．(2017·全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an
6、}的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
[解](1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故當n≥2時，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
兩式相減得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由題設可得a1＝2，滿足上式，
所以{an}的通項公式為an＝.
(2)記的前n項和為Sn.
由(1)知＝＝－，
則Sn＝－＋－＋…＋－＝.
1．在數列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，則S60的值為( )
A．990 B．1 000
C．1 100 D．99
A [n為奇數
7、時，an＋2－an＝0，an＝2；n為偶數時，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.]
2．設數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝4，an＋1＝2Sn－4，則S10＝( )
A．2×(310－1) B．2×(310＋1)
C．2×(39＋1) D．4×(39－1)
C [∵a1＝4，an＋1＝2Sn－4， ①
∴a2＝2a1－4＝4，
當n≥2時，an＝2Sn－1－4， ②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n≥2)，
∴{an}從第2項起是公比為3的等比數列，
∴S10＝a1＋(a2＋a3＋…＋a10)＝4
8、＋＝2×(39＋1)，故選C.]
3．已知Sn為數列{an}的前n項和，對n∈N*都有Sn＝1－an，若bn＝log2an，則＋＋…＋＝________.
[對n∈N*都有Sn＝1－an，當n＝1時，a1＝1－a1，解得a1＝.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝1－an－(1－an－1)，化為an＝an－1.∴數列{an}是等比數列，公比為，首項為.
∴an＝.
∴bn＝log2an＝－n.
∴＝＝－.
則＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.]
4．等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}是等比數列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求數
9、列{an}和{bn}的通項公式；
(2)令cn＝設數列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.
[解](1)設數列{an}的公差為d，數列{bn}的公比為q，
由
得解得
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝＝n(n＋2)，
則cn＝
即cn＝
∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋
＝＋(4n－1)．
1．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 020＝( )
A．22 020－1 B．3×2
10、1 010－3
C．3×21 010－1 D．3×21 009－2
B [a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.∴＝2.
∴a1，a3，a5，…成等比數列；a2，a4，a6，…成等比數列，
∴S2 020＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 019＋a2 020
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 019)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 020)
＝＋＝3×21 010－3.
故選B.]
2．已知各項均不相等的等差數列{an}的前四項和S4＝14，且a1，a3，a7成等比數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設Tn為數列的前n項和，若λTn≤an＋1對一切n∈N*恒成立，求實數λ的最大值．
[解](1)設數列{an}的公差為d(d≠0)，由已知得，
解得或(舍去)，所以an＝n＋1.
(2)由(1)知＝－，
所以Tn＝＋＋…＋
＝－＝.
又λTn≤an＋1恒成立，
所以λ≤＝2＋8，
而2＋8≥16，當且僅當n＝2時等號成立．
所以λ≤16，即實數λ的最大值為16.
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