2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓7 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 文 北師大版

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1、課后限時集訓7 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝x2－x，則f＝(　　) A．－　　　　 B．－ C． D． C　[因為f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，所以f＝－f＝－f.又當0≤x≤1時，f(x)＝x2－x，所以f＝－＝－，則f＝.] 2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1) C．y＝ D．y＝x－ D　[選項A、B顯然是偶函數(shù)，排除；選項C是奇函數(shù)，但在(0，＋∞)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題

2、意； 選項D中，y＝x－是奇函數(shù)，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故y＝x－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以選項D正確．] 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有f＋f(x)＝0，當－≤x≤0時，f(x)＝2x＋a，則f(16)的值為(　　) A. B．－ C. D．－ A　[由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以5為周期的周期函數(shù)， ∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)． ∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1. ∴當－≤x≤0時，f(x)＝2x－1， ∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝.]

3、 4．設(shè)f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，且在[－2b,0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≥f(3)的解集為(　　) A．[－3,3] B．[－2,4] C．[－1,5] D．[0,6] B　[因為f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3， 由函數(shù)f(x)在[－6,0]上為增函數(shù)，得f(x)在(0,6]上為減函數(shù)，故f(x－1)≥f(3)?f(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4.] 5．(2019·合肥調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是減函數(shù)，則有(　　) A．f＜

4、f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f C　[因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為4，作出f(x)的草圖，如圖，由圖可知f＜f＜f. ] 二、填空題 6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期為6， ∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)． 又f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.] 7

5、．定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．現(xiàn)有以下三個命題： ①8是函數(shù)f(x)的一個周期；②f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱；③f(x)是偶函數(shù)． 其中正確命題的序號是________． ①②③　[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為4，故①正確；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，故②正確；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正確．] 8．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(

6、x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且f＝0，則f(x)＞0的解集為________． 　[由奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且f＝0，可知函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，且f＝0.由f(x)＞0，可得x＞或－＜x＜0.] 三、解答題 9．設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x. (1)判斷f(x)的奇偶性； (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達式． [解](1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又

7、f(x)的定義域為R，∴f(x)是偶函數(shù)． (2)當x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]， 則f(x)＝f(－x)＝x； 從而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 10．設(shè)函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當－4≤x≤4時，求函數(shù)f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積． [解](1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以

8、f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱． 又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖像如圖所示． 當－4≤x≤4時，設(shè)f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4. 1．(2019·江西臨川第一中學期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x，f(x－2)＝f(x

9、＋2)，當x∈(0,2)時，f(x)＝－x2，則f＝(　　) A．－ B．－ C. D. D　[因為f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期為4的函數(shù)，所以f＝f＝f，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f＝－f＝－＝，所以f＝.故選D.] 2．(2019·惠州調(diào)研)已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)＝2，則不等式f(log2x)＞2的解集為(　　) A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞) C.∪(，＋∞) D．(，＋∞) B　[f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在[0，＋∞

10、)上是增函數(shù)，因為f(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(log2x)＞2?f(|log2x|)＞f(1)?|log2x|＞1?log2x＞1或log2x＜－1?x＞2或0＜x＜.故選B.] 3．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列幾個命題： ①f(x)是周期函數(shù)； ②f(x)的圖像關(guān)于x＝1對稱； ③f(x)在[1,2]上是減函數(shù)； ④f(2)＝f(0)， 其中正確命題的序號是________(請把正確命題的序號全部寫出來)． ①②③④　[因為f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對任意x

11、，y∈R恒成立． 令x＝y(tǒng)＝0， 所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x， 所以f(0)＝f(x)＋f(－x)． 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． 因為f(x)在x∈[－1,0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)， 所以f(x)在[0,1]上為增函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2) ?f(x＋4)＝f(x)， 所以周期T＝4， 即f(x)為周期函數(shù)． f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)． 又因為f(x)為奇函數(shù)． 所以f(2－x)＝f(x)， 所以函數(shù)關(guān)于x＝1對稱． 由f(x)在[0,1]上為增

12、函數(shù)， 又關(guān)于x＝1對稱， 所以f(x)在[1,2]上為減函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．] 4．已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1,1]上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)． (1)求證：對任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0； (2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實數(shù)a的取值范圍． [解](1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立． 若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1， 因為f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù)， 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋

13、f(x2)＞0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1， 同理可證f(x1)＋f(x2)＜0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 綜上得證，對任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立． (2)因為f(1－a)＋f(1－a2)＜0?f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定義域[－1,1]上是減函數(shù)，得即解得0≤a＜1. 故所求實數(shù)a的取值范圍是[0,1)． 1．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意x∈R有f(x＋4)＝f(x

14、)；②f(x)在[0,2]上是增函數(shù)；③f(x＋2)的圖像關(guān)于y軸對稱．則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5) C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) D　[由①知函數(shù)f(x)的周期為4，由③知f(x＋2)是偶函數(shù)，則有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函數(shù)f(x)圖像的一條對稱軸是x＝2，由②知函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，則在[2,4]上單調(diào)遞減，且在[0,4]上越靠近x＝2，對應(yīng)的函數(shù)值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(

15、0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故選D.] 2．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x＝1對稱，對任意x1，x2∈，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)． (1)設(shè)f(1)＝2，求f，f； (2)證明：f(x)是周期函數(shù)． [解](1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈，知f(x)＝f· f≥0，x∈[0,1]． ∵f(1)＝f＝f·f＝，f(1)＝2， ∴f＝2. ∵f＝f＝f·f＝，f＝2， ∴f＝2. (2)證明：依題設(shè)，y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱， ∴f(x)＝f(2－x)． 又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)， ∴f(x)＝f(2＋x)， ∴f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期． - 7 -