九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 蘇科版 (4)

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2016-2017學(xué)年江蘇省無錫市江陰市南菁中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分） 1．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　?。? A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3 2．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 3．學(xué)校組織才藝表演比賽，前6名獲獎．有13位同學(xué)參加比賽且他們所得的分數(shù)互不相同．某同學(xué)知道自己的比賽分數(shù)后，要判斷自己能否獲獎，在這13名同學(xué)成績的統(tǒng)計量中只需知道一個量，它是（　?。? A．眾數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．平均數(shù) 4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=40，則∠A的度數(shù)等于（　?。? A．60 B．50 C．40 D．30 5．設(shè)α、β是方程x2+x﹣2015=0的兩個實數(shù)根，則α+β的值為（　?。? A．2015 B．﹣2015 C．1 D．﹣1 6．如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（　　） A． B． C． D． 7．一個邊長為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個正多邊形的半徑是（　?。? A．2 B． C．1 D． 8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30，BC=4cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（　　） A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交 9．一張長方形桌子的長是150cm，寬是100cm，現(xiàn)在要設(shè)計一塊長方形桌布，面積是桌面的2倍，且使四周垂下的邊寬是xcm．根據(jù)題意，得（　?。? A．（150+x）（100+x）=1501002 B．（150+2x）（100+2x）=1501002 C．（150+x）（100+x）=150100 D．2（150x+100x）=150100 10．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線上繞其右下角的頂點B向右旋轉(zhuǎn)90至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90至圖②位置，…，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2016次后，頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是（　　） A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π 　 二、填空題（本大題共8小題，每空2分，共16分，把答案填在相應(yīng)橫線上） 11．已知x=﹣1是關(guān)于x的方程2x2﹣ax+a=0的一個根，則a=　?。? 12．在Rt△ABC中，∠ACB=90，BC=1，AB=2，則sinA=　?。? 13．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑是　　cm． 14．如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，P、C、D為切點，如果AB=5，AC=3，則BD的長為　　． 15．一個扇形半徑30cm，圓心角120，用它作一個圓錐的側(cè)面，則圓錐底面半徑為　　． 16．小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，用折紙的方法可求出tan22.5，方法如下：將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以知道tan22.5=　?。? 17．在Rt△ABC中，斜邊AB=10，直角邊AC=8，以C為圓心，r為半徑，若要使⊙C與邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是　?。? 18．如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形P3，P4，…，Pn，…，記紙板Pn的面積為Sn，試通過計算S1，S2，猜想得到Sn﹣1﹣Sn=　?。╪≥2）． 　 三、解答題（本大題共10小題，共84分，寫出必要的解題步驟和過程） 19．解方程 （1）x2+3x﹣4=0 （2）（x﹣2）（x﹣5）=﹣1． 20．計算： （1）tan30?sin60+cos230﹣sin245?cos60 （2）﹣|﹣3|+（）﹣2﹣4cos30． 21．為切實減輕中小學(xué)生課業(yè)負擔(dān)、全面實施素質(zhì)教育，某中學(xué)對本校學(xué)生課業(yè)負擔(dān)情況進行調(diào)查．在本校隨機抽取若干名學(xué)生進行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)被抽查的學(xué)生中，每天完成課外作業(yè)時間，最長不足120分鐘，沒有低于40分鐘的，且完成課外作業(yè)時間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%．現(xiàn)將抽查結(jié)果繪制成了一個不完整的頻數(shù)分布直方圖，如圖所示． （1）這次被抽查的學(xué)生有　　人； （2）請補全頻數(shù)分布直方圖； （3）被調(diào)查這些學(xué)生每天完成課外作業(yè)時間的中位數(shù)在　　組（填時間范圍）； （4）若該校共有3600名學(xué)生，請估計該校大約有多少名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時間在80分鐘以上（包括80分鐘）． 22．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交于BC于D，DE⊥AC于E． 求證：DE是⊙O的切線． 23．如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30． （1）求∠A的度數(shù)； （2）若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF=，求圖中陰影部分的面積． 24．如圖，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁．一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行，行至A點處測得P在它的北偏東60的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45方向．問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險？ 25．2013年，無錫市蠡湖新城某樓盤以每平方米12000元的均價對外銷售．由于樓盤滯銷，房地產(chǎn)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，決定進行降價促銷，經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后，2015年該樓盤的均價為每平方米9720元． （1）求平均每年下調(diào)的百分率； （2）假設(shè)2016年該樓盤的均價仍然下調(diào)相同的百分率，李強準(zhǔn)備購買一套100平方米的住房，他持有現(xiàn)金30萬元，可在銀行貸款50萬元，李強的愿望能否實現(xiàn)？（房價按照均價計算，不考慮其它因素．） 26．如圖1，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點，點A在x正半軸上，OA=12cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以2cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s． （1）求∠OAB的度數(shù)． （2）以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O′相切？ （3）是否存在△RPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出t值；若不存在，請說明理由． 27．如圖，已知l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，⊙O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動，⊙O的移動速度為3cm/s，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設(shè)移動時間為t（s） （1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為　??； （2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達⊙O1的位置，矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置，此時點O1，A1，C1恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO1的長）； （3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm），當(dāng)d＜2時，求t的取值范圍（解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖）． 28．已知，如圖，直線y=x﹣4與x軸，y軸分別交于B、A，將該直線繞A點順時針旋轉(zhuǎn)α，且tanα=，旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點． （1）求A、B、C的坐標(biāo)； （2）在x軸上找一點P，使有一動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A﹣P﹣C的運動到達C點，并且在AP上以每秒2個單位的速度移動，在PC上以每秒個單位移動，試用尺規(guī)作圖找到P點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出所用的最短時間t． 　  2016-2017學(xué)年江蘇省無錫市江陰市南菁中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分） 1．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　　） A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】根據(jù)已知得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0， x﹣2=0，x+3=0， x1=2，x2=﹣3， 故選D． 【點評】本題考查了解一元關(guān)鍵是能把一元一次方程和解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程． 　 2．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴，即， 解得k＞﹣1且k≠0． 故選B． 【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 　 3．學(xué)校組織才藝表演比賽，前6名獲獎．有13位同學(xué)參加比賽且他們所得的分數(shù)互不相同．某同學(xué)知道自己的比賽分數(shù)后，要判斷自己能否獲獎，在這13名同學(xué)成績的統(tǒng)計量中只需知道一個量，它是（　　） A．眾數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．平均數(shù) 【考點】統(tǒng)計量的選擇． 【分析】由于比賽設(shè)置了6個獲獎名額，共有13名選手參加，故應(yīng)根據(jù)中位數(shù)的意義分析． 【解答】解：因為6位獲獎?wù)叩姆謹?shù)肯定是13名參賽選手中最高的， 而且13個不同的分數(shù)按從小到大排序后，中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有6個數(shù)， 故只要知道自己的分數(shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎了． 故選C． 【點評】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\用． 　 4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=40，則∠A的度數(shù)等于（　?。? A．60 B．50 C．40 D．30 【考點】圓周角定理． 【分析】由OB=OC，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，可求得∠OBC的度數(shù)，繼而求得∠BOC的度數(shù)，然后由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得答案． 【解答】解：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=40， ∴∠BOC=180﹣∠OBC﹣∠OCB=100， ∴∠A=∠BOC=50． 故選B． 【點評】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 　 5．設(shè)α、β是方程x2+x﹣2015=0的兩個實數(shù)根，則α+β的值為（　　） A．2015 B．﹣2015 C．1 D．﹣1 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出α+β的值，此題得解． 【解答】解：∵α、β是方程x2+x﹣2015=0的兩個實數(shù)根， ∴α+β=﹣=﹣1． 故選D． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩根之和為﹣是解題的關(guān)鍵． 　 6．如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答． 【解答】解：如圖：在B點正上方找一點D，使BD=BC，連接CD交AB于O， 根據(jù)網(wǎng)格的特點，CD⊥AB， 在Rt△AOC中， CO==； AC==； 則sinA===． 故選：B． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，作出輔助線CD并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 7．一個邊長為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個正多邊形的半徑是（　?。? A．2 B． C．1 D． 【考點】正多邊形和圓；多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】壓軸題． 【分析】先判斷出多邊形的邊數(shù)，再求多邊形的半徑． 【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n． 因為正多邊形內(nèi)角和為（n﹣2）?180， 正多邊形外角和為360，根據(jù)題意得： （n﹣2）?180=3602， n﹣2=22， n=6． 故正多邊形為6邊形． 邊長為2的正六邊形可以分成六個邊長為2的正三角形， 所以正多邊形的半徑等于2， 故選A． 【點評】本題考查學(xué)生對正多邊形的概念掌握和計算的能力，要注意利用特殊角的正多邊形，以簡化計算． 　 8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30，BC=4cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（　?。? A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【考點】直線與圓的位置關(guān)系． 【專題】壓軸題． 【分析】作CD⊥AB于點D．根據(jù)三角函數(shù)求CD的長，與圓的半徑比較，作出判斷． 【解答】解：作CD⊥AB于點D． ∵∠B=30，BC=4cm， ∴CD=BC=2cm， 即CD等于圓的半徑． ∵CD⊥AB， ∴AB與⊙C相切． 故選：B． 【點評】此題考查直線與圓的位置關(guān)系的判定方法．通常根據(jù)圓的半徑R與圓心到直線的距離d的大小判斷： 當(dāng)R＞d時，直線與圓相交；當(dāng)R=d時，直線與圓相切；當(dāng)R＜d時，直線與圓相離． 　 9．一張長方形桌子的長是150cm，寬是100cm，現(xiàn)在要設(shè)計一塊長方形桌布，面積是桌面的2倍，且使四周垂下的邊寬是xcm．根據(jù)題意，得（　　） A．（150+x）（100+x）=1501002 B．（150+2x）（100+2x）=1501002 C．（150+x）（100+x）=150100 D．2（150x+100x）=150100 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】設(shè)四周垂下的邊寬度為xcm，求得桌布的面積，根據(jù)桌布面積是桌面的2倍列方程解答時即可． 【解答】解：設(shè)四周垂下的邊寬度為xcm， 桌布的長為（150+2x），寬為（100+2x）， 根據(jù)桌布面積是桌面的2倍可得：（150+2x）（100+2x）=1501002， 故選B． 【點評】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程的知識點，解答此題的關(guān)鍵是求得桌布的長和寬，進一步運用長方形的面積解決問題． 　 10．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線上繞其右下角的頂點B向右旋轉(zhuǎn)90至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90至圖②位置，…，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2016次后，頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是（　　） A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π 【考點】軌跡；矩形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動的路線的長，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計算即可． 【解答】解：∵AB=4，BC=3， ∴AC=BD=5， 轉(zhuǎn)動一次A的路線長是： =2π， 轉(zhuǎn)動第二次的路線長是： =π， 轉(zhuǎn)動第三次的路線長是： =π， 轉(zhuǎn)動第四次的路線長是：0， 以此類推，每四次循環(huán)， 故頂點A轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：π+π+2π=6π， 20164=504， 頂點A轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：6π504=3024π． 故選D． 【點評】本題主要考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運用弧長的計算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（本大題共8小題，每空2分，共16分，把答案填在相應(yīng)橫線上） 11．已知x=﹣1是關(guān)于x的方程2x2﹣ax+a=0的一個根，則a=　﹣1?。? 【考點】一元二次方程的解． 【分析】把x=﹣1代入方程，即可求出答案． 【解答】解：把x=﹣1代入方程2x2﹣ax+a=0得：2+a+a=0， 解得：a=﹣1， 故答案為：﹣1． 【點評】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用，能理解一元二次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵． 　 12．在Rt△ABC中，∠ACB=90，BC=1，AB=2，則sinA=　?。? 【考點】銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)銳角的正弦為對邊比斜邊，可得答案． 【解答】解：sinA==， 故答案為：． 【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊． 　 13．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑是　5　cm． 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解． 【解答】解：在直角△AOE中，AE=4cm，OE=3cm，根據(jù)勾股定理得到OA=5，則⊙O的半徑是5cm． 【點評】此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解． 　 14．如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，P、C、D為切點，如果AB=5，AC=3，則BD的長為　2?。? 【考點】切線長定理． 【專題】計算題． 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切線，則AC=AP，BP=BD，求出BP的長即可求出BD的長． 【解答】解：∵AC、AP為⊙O的切線， ∴AC=AP， ∵BP、BD為⊙O的切線， ∴BP=BD， ∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了切線長定理，兩次運用切線長定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 15．一個扇形半徑30cm，圓心角120，用它作一個圓錐的側(cè)面，則圓錐底面半徑為　10cm　． 【考點】圓錐的計算． 【專題】計算題． 【分析】求出扇形的弧長，此弧長即為圓錐底面圓的周長，據(jù)此即可求出圓錐底面半徑． 【解答】解：扇形弧長為=20πcm； 設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則r==10cm． 故答案為：10cm． 【點評】本題考查了圓錐的計算，要明確，扇形的弧長即為其圍成圓錐的底面圓周長． 　 16．小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，用折紙的方法可求出tan22.5，方法如下：將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以知道tan22.5=　﹣1?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；解直角三角形． 【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出AB=BE，∠AEB=∠EAB=45，∠AFB=22.5，進而得出tan∠AFB=tan22.5=得出答案即可． 【解答】解：∵將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處， ∴AB=BE，∠AEB=∠EAB=45， ∵還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處， ∴AE=EF，∠EAF=∠EFA==22.5， 設(shè)AB=x， 則AE=EF=x， ∴tan∠AFB=tan22.5===﹣1． 故答案是：﹣1． 【點評】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠AFB=22.5以及AE=EF是解題關(guān)鍵． 　 17．在Rt△ABC中，斜邊AB=10，直角邊AC=8，以C為圓心，r為半徑，若要使⊙C與邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是　r=或6＜r≤8?。? 【考點】直線與圓的位置關(guān)系；勾股定理． 【分析】因為要使圓與斜邊只有一個公共點，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個交點在斜邊上．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離． 【解答】解：如圖，∵斜邊AB=10，直角邊AC=8， ∴BC==6． 當(dāng)圓和斜邊相切時，則半徑即是斜邊上的高，r=CD==； 當(dāng)圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則6＜r≤8． 故答案為：r=或6＜r≤8． 【點評】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，在解答此題時要注意分兩種情況進行討論，不要漏解． 　 18．如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形P3，P4，…，Pn，…，記紙板Pn的面積為Sn，試通過計算S1，S2，猜想得到Sn﹣1﹣Sn=?。ǎ?n﹣1π．?。╪≥2）． 【考點】扇形面積的計算． 【專題】規(guī)律型． 【分析】由P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，得到S1=π12=π，S2=π﹣π（）2．同理可得Sn﹣1=π﹣π（）2﹣π[（）2]2﹣…﹣π[（）n﹣2]2，Sn=π﹣π（）2﹣π[（）2]2﹣…﹣π[（）n﹣2]2﹣π[（）n﹣1]2，它們的差即可得到． 【解答】解：根據(jù)題意得，n≥2． S1=π12=π， S2=π﹣π（）2， … Sn﹣1=π﹣π（）2﹣π[（）2]2﹣…﹣π[（）n﹣2]2， Sn=π﹣π（）2﹣π[（）2]2﹣…﹣π[（）n﹣2]2﹣π[（）n﹣1]2， ∴Sn﹣1﹣Sn=π（）2n﹣2=（）2n﹣1π． 故答案為（）2n﹣1π． 【點評】本題考查了圓的面積公式：S=πR2．以及規(guī)律性題目的解題一般方法：從特殊到一般． 　 三、解答題（本大題共10小題，共84分，寫出必要的解題步驟和過程） 19．解方程 （1）x2+3x﹣4=0 （2）（x﹣2）（x﹣5）=﹣1． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）．因式分解法求解可得； （2）整理成一般式后利用公式法求解可得 【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x+4）=0， ∴x﹣1=0或x+4=0， 解得：x=1或x=﹣4； （2）整理得：x2﹣7x+11=0， ∵a=1，b=﹣7，c=11， ∴△=49﹣4111=5＞0， ∴x=． 【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法． 　 20．計算： （1）tan30?sin60+cos230﹣sin245?cos60 （2）﹣|﹣3|+（）﹣2﹣4cos30． 【考點】實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【專題】計算題；實數(shù)． 【分析】（1）原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果； （2）原式利用二次根式性質(zhì)，絕對值的代數(shù)意義，負整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）原式=+﹣=1； （2）原式=2﹣3+4﹣2=1． 【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 21．為切實減輕中小學(xué)生課業(yè)負擔(dān)、全面實施素質(zhì)教育，某中學(xué)對本校學(xué)生課業(yè)負擔(dān)情況進行調(diào)查．在本校隨機抽取若干名學(xué)生進行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)被抽查的學(xué)生中，每天完成課外作業(yè)時間，最長不足120分鐘，沒有低于40分鐘的，且完成課外作業(yè)時間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%．現(xiàn)將抽查結(jié)果繪制成了一個不完整的頻數(shù)分布直方圖，如圖所示． （1）這次被抽查的學(xué)生有　50　人； （2）請補全頻數(shù)分布直方圖； （3）被調(diào)查這些學(xué)生每天完成課外作業(yè)時間的中位數(shù)在　80﹣100　組（填時間范圍）； （4）若該校共有3600名學(xué)生，請估計該校大約有多少名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時間在80分鐘以上（包括80分鐘）． 【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；中位數(shù)． 【專題】圖表型． 【分析】（1）根據(jù)完成課外作業(yè)時間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%．可求出抽查的學(xué)生人數(shù)； （2）根據(jù)總?cè)藬?shù)，現(xiàn)有人數(shù)為補上那15人； （3）50個數(shù)據(jù)，第25和26的平均數(shù)就是中位數(shù)，從表中可看出第25、26人在80﹣100段里； （4）先求出50人里學(xué)生每天完成課外作業(yè)時間在80分鐘以上的人的比例，再按比例估算全校的人數(shù)． 【解答】解：（1）510%=50 這次被抽查的學(xué)生有50人； （2）如圖所示；50﹣35=15 （3）中位數(shù)在80至100分鐘這一小組內(nèi)； （4）由樣本知，每天完成課外作業(yè)時間在80分鐘以上（包括80分鐘）的人數(shù)有35人，占被調(diào)查人數(shù)的， 故全校學(xué)生中每天完成課外作業(yè)時間在80分鐘以上（包括80分鐘）的人數(shù)約有人． 【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．同時考查中位數(shù)、眾數(shù)的求法：給定n個數(shù)據(jù)，按從小到大排序，如果n為奇數(shù)，位于中間的那個數(shù)就是中位數(shù)；如果n為偶數(shù)，位于中間兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)．任何一組數(shù)據(jù)，都一定存在中位數(shù)的，但中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)量的數(shù)．給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． 　 22．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交于BC于D，DE⊥AC于E． 求證：DE是⊙O的切線． 【考點】切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】直接利用圓周角定理進而得出∠ADB=90，再利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理得出OD⊥DE，即可得出答案． 【解答】證明：連接OD， ∵以AB為直徑作⊙O交于BC于D， ∴∠ADB=90， ∵AB=AC， ∴BD=DC， ∵AO=BO， ∴DO是△ABC的中位線， ∴DO∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切線． 【點評】此題主要考查了切線的判定以及等腰三角形的性質(zhì)，正確得出DO是△ABC的中位線是解題關(guān)鍵． 　 23．如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30． （1）求∠A的度數(shù)； （2）若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF=，求圖中陰影部分的面積． 【考點】切線的性質(zhì)；扇形面積的計算． 【分析】（1）連接OC，則△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度數(shù)；由于∠A與∠COD是同弧所對的圓周角與圓心角．根據(jù)圓周角定理即可求得∠A的度數(shù)； （2）由圖可知：陰影部分的面積是扇形OCB和Rt△OEC的面積差；那么解決問題的關(guān)鍵是求出半徑和OE的長；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30，已知了CE的長，通過解直角三角形，即可求出OC、OE的長，由此得解． 【解答】解：（1）連接OC， ∵CD切⊙O于點C ∴∠OCD=90（1分） ∵∠D=30 ∴∠COD=60 ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO=30；（4分） （2）∵CF⊥直徑AB，CF= ∴CE=（5分） ∴在Rt△OCE中，tan∠COE=， OE===2， ∴OC=2OE=4（6分） ∴S扇形BOC=， ∴S陰影=S扇形BOC﹣S△EOC=． 【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及扇形面積的計算方法．不規(guī)則圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求． 　 24．如圖，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁．一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行，行至A點處測得P在它的北偏東60的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45方向．問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險？ 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】要得出有無觸礁的危險需求出輪船在航行過程中離點P的最近距離，然后與暗礁區(qū)的半徑進行比較，若大于則無觸礁的危險，若小于則有觸礁的危險． 【解答】解：過P作PC⊥AB于C點，據(jù)題意知： AB=9=3，∠PAB=90﹣60=30， ∠PBC=90﹣45=45，∠PCB=90， ∴PC=BC， 在Rt△APC中：tan30=， 即：， ∴PC=＞3， ∴客輪不改變方向繼續(xù)前進無觸礁危險． 【點評】此題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識．通過數(shù)學(xué)建模把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題． 　 25．2013年，無錫市蠡湖新城某樓盤以每平方米12000元的均價對外銷售．由于樓盤滯銷，房地產(chǎn)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，決定進行降價促銷，經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后，2015年該樓盤的均價為每平方米9720元． （1）求平均每年下調(diào)的百分率； （2）假設(shè)2016年該樓盤的均價仍然下調(diào)相同的百分率，李強準(zhǔn)備購買一套100平方米的住房，他持有現(xiàn)金30萬元，可在銀行貸款50萬元，李強的愿望能否實現(xiàn)？（房價按照均價計算，不考慮其它因素．） 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】增長率問題． 【分析】（1）設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為x，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果； （2）如果下調(diào)的百分率相同，求出2016年的房價，進而確定出100平方米的總房款，即可做出判斷． 【解答】解（1）設(shè)平均每年下調(diào)的百分率x，由題意得： 12000（1﹣x）2=9720， （1﹣x）2=0.81． ∴1﹣x=0.9或1﹣x=﹣0.9， ∴x1=0.1，x2=1.9（舍去）， 答：平均每年下調(diào)的百分率10%． （2）由（1）得：9720（1﹣10%）=8748（元）， 8748100=874800（元）， 500000+300000=800000（元）， ∵874800＞800000， ∴李強的愿望不能實現(xiàn)． 【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，基本數(shù)量關(guān)系：預(yù)訂每平方米銷售價格（1﹣每次下調(diào)的百分率）2=開盤每平方米銷售價格． 　 26．如圖1，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點，點A在x正半軸上，OA=12cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以2cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s． （1）求∠OAB的度數(shù)． （2）以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O′相切？ （3）是否存在△RPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出t值；若不存在，請說明理由． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)； （2）連接O′M，當(dāng)PM與⊙O′相切時，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長，已知了P點的運動速度，即可根據(jù)時間=路程速度求得t的值； （3）存在△RPQ為等腰三角形，由于△QPQ的腰和底不確定，需分類討論：①PR=RQ，②PR=PQ，③RQ=PQ時分別求出符合題意的t值即可， 【解答】解：（1）在Rt△AOB中： tan∠OAB===， ∴∠OAB=30． （2）如圖，連接O′P，O′M． 當(dāng)PM與⊙O′相切時，有： ∠PMO′=∠POO′=90， △PMO′≌△POO′． 由（1）知∠OBA=60， ∵O′M=O′B， ∴△O′BM是等邊三角形， ∴∠BO′M=60． 可得∠OO′P=∠MO′P=60． ∴OP=OO′?tan∠OO′P =6tan60=6， 又∵OP=2t， ∴2t=6，t=3． 即：t=3時，PM與⊙O‘相切． （3）存在△RPQ為等腰三角形， 理由如下：由題意可知：PR2=16t2﹣48t，PQ2=52t2﹣288t，RQ2=28t2﹣240t+576， 當(dāng)①PR=RQ時，可得t=8﹣2（t=8+舍去）； 當(dāng)②PR=PQ時，可得t=； 當(dāng)③RQ=PQ時，可得t=1+（t=1﹣舍去） 綜上可知：當(dāng)t=8﹣2，，1+時，△RPQ為等腰三角形． 【點評】此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，需注意的是（3）題在不確定等腰三角形腰和底的情況下，要充分考慮到各種可能的情況，以免漏解． 　 27．如圖，已知l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，⊙O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動，⊙O的移動速度為3cm/s，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設(shè)移動時間為t（s） （1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為　105??； （2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達⊙O1的位置，矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置，此時點O1，A1，C1恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO1的長）； （3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm），當(dāng)d＜2時，求t的取值范圍（解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖）． 【考點】圓的綜合題． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出∠OAD=45，∠DAC=60，進而得出答案； （2）首先得出，∠C1A1D1=60，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，進而得出OO1=3t得出答案即可； （3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時，設(shè)移動時間為t1，②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時，設(shè)移動時間為t2，分別求出即可． 【解答】解：（1）∵l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切， ∴∠OAD=45， ∵AB=4cm，AD=4cm， ∴CD=4cm， ∴tan∠DAC===， ∴∠DAC=60， ∴∠OAC的度數(shù)為：∠OAD+∠DAC=105， 故答案為：105； （2）如圖位置二，當(dāng)O1，A1，C1恰好在同一直線上時，設(shè)⊙O1與l1的切點為E， 連接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1， 在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4， ∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60， 在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60， ∴A1E==， ∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2， ∴t﹣2=， ∴t=+2， ∴OO1=3t=2+6； （3）①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時，設(shè)移動時間為t1， 如圖位置一，此時⊙O移動到⊙O2的位置，矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置， 設(shè)⊙O2與直線l1，A2C2分別相切于點F，G，連接O2F，O2G，O2A2， ∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2， 由（2）得，∠C2A2D2=60，∴∠GA2F=120， ∴∠O2A2F=60， 在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=， ∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+， ∴4t1+﹣3t1=2， ∴t1=2﹣， ②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時，設(shè)移動時間為t2， 記第一次相切時為位置一，點O1，A1，C1共線時位置二，第二次相切時為位置三， 由題意知，從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等， ∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2）， 解得：t2=2+2， 綜上所述，當(dāng)d＜2時，t的取值范圍是：2﹣＜t＜2+2． 【點評】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)鍵． 　 28．（2016秋?江陰市校級期中）已知，如圖，直線y=x﹣4與x軸，y軸分別交于B、A，將該直線繞A點順時針旋轉(zhuǎn)α，且tanα=，旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點． （1）求A、B、C的坐標(biāo)； （2）在x軸上找一點P，使有一動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A﹣P﹣C的運動到達C點，并且在AP上以每秒2個單位的速度移動，在PC上以每秒個單位移動，試用尺規(guī)作圖找到P點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出所用的最短時間t． 【考點】一次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED，得到==，求出點D坐標(biāo)，求出AC的解析式即可求出點C坐標(biāo)． （2）過點（0，4）作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點即為P點．設(shè)點F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP，首先證明t=，由此推出 點P就是所求的點，此時動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A﹣P﹣C的運動到達C點，求出FQ的長即可解決問題． 【解答】解：（1）∵直線y=x﹣4與x軸，y軸分別交于B、A， ∴A（0，﹣4），B（8，0）， 過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED ∴==， ∵OA=4，OB=8，∠BAD=α，tanα==， ∴BE=1，DE=2 ∴D（9，﹣2）∴直線AC解析式為y=x﹣4 ∴C（18，0）． （2）過點（0，4）作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點即為P點． 設(shè)點F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP， ∵S△ACF=AF?OC=AC?FQ，AF=8，OC=18，AC===2， ∴FQ=， ∵△CQP∽△COA， ∴=， ∴=， ∴=， ∴t=+=+=， ∵FQ是垂線段， ∴點P就是所求的點，此時動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A﹣P﹣C的運動到達C點， ∴t=． 【點評】本題考查一次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用相似三角形性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短，找到點P的位置，屬于中考壓軸題．