九年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 新人教版2 (11)

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2016-2017學年浙江省杭州市青春中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分） 1．若=，則的值是（　?。? A． B． C． D． 2．已知點（﹣2，y1），（﹣4，y，2）在函數(shù)y=x2﹣4x+7的圖象上，那么y1，y2的大小關(guān)系是（　　） A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能確定 3．下列函數(shù)圖象中，當x＞0時，y隨x的增大而減小的是（　?。? A．y=﹣ B．y=x C．y=x2 D．y=﹣（x+1）2 4．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和直線DF在l1，l2，l3上的交點分別為：A，B，C，D，E，F(xiàn)．已知AB=6，BC=4，DF=9，則DE=（　　） A．5.4 B．5 C．4 D．3.6 5．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，：： =2：3：5，∠BAD=120，則∠ABC的度數(shù)為（　?。? A．100 B．105 C．120 D．125 6．在同一坐標系中，函數(shù)y=ax2+bx與y=的圖象大致是圖中的（　?。? A． B． C． D． 7．把1到9的自然數(shù)依次寫在9張形狀相同的卡片上，打亂次序放入袋中．從中任意抽出一張卡片，則卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率是（　?。? A． B． C． D． 8．下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①與半徑長相等的弦所對的圓周角是30；②圓內(nèi)接正六邊形的邊長與該圓半徑相等；③垂直于弦的直徑平分這條弦；④平分弦的直徑垂直于弦．其中正確的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②④ 9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是的中點，連結(jié)AD，AG，CD，則下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．CE=DE B．∠ADG=∠GAB C．∠AGD=∠ADC D．∠GDC=∠BAD 10．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值為2n，則m+n的值為（　?。? A． B．2 C． D． 　 二、認真填一填（本題有6個小題，每小題4分，共24分） 11．如圖，D是AB上的一點．△ABC∽△ACD，且AD=2，BD=4，∠ADC=65，∠B=43，則∠A=　　，AC=　?。? 12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=70，則∠C為　　度． 13．如圖，將弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O，則弧AC=　　度． 14．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分，對稱軸是直線x=1，①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞3；④2a+b=0．其中判斷正確的是　?。ㄖ惶顚懻_結(jié)論的序號） 15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0）的圖象過正方形ABOC的三個頂點A、B、C，則ac的值是　?。? 16．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，其外角平分線AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，下列結(jié)論中正確的是　?。? ①DB=DC； ②AC+AB=2CM； ③AC﹣AB=2AM； ④S△ABD=S△ABC． 　 三、全面答一答（本題有7個小題，共66分） 17．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題： （1）求出函數(shù)解析式； （2）當x為何值時，y＜0． 18．已知Rt△AEC中，∠E=90，請按如下要求進行操作和判斷： （1）尺規(guī)作圖：作△AEC的外接圓⊙O，并標出圓心O（不寫畫法）； （2）延長CE，在CE的延長線上取點B，使EB=EC，連結(jié)AB，設(shè)AB與⊙O的交點為D（標出字母B、D），判斷：圖中與相等嗎？請說明理由． 19．已知某道判斷題的五個選項中有兩個正確答案，該題滿分為4分，得分規(guī)則是：選出兩個正確答案且沒有選錯誤答案得4分；只選出一個正確答案且沒有選錯誤答案得2分；不選或所選答案中有錯誤答案得0分． （1）任選一個答案，得到2分的概率是　??； （2）請利用樹狀圖或表格求任選兩個答案，得到4分的概率； （3）如果小明只能確認其中一個答案是正確的，此時的最佳答題策略是　　 A．只選確認的那一個正確答案 B．除了選擇確認的那一個正確答案，再任選一個 C．干脆空著都不選了． 20．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45．（1）求BD的長； （2）求圖中陰影部分的面積． 21．某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離AB=L，稱跨度，橋面最高點到AB的距離CD=h稱拱高，當L和h確定時，有兩種設(shè)計方案可供選擇：①拋物線型，②圓弧型．已知這座橋的跨度L=32米，拱高h=8米． （1）如果設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)解析式； （2）如果設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑； （3）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，在兩種方案中分別求橋墩的高度． 22．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質(zhì)：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)以上信息回答： （1）矩形　　“奇妙四邊形”（填“是”或“不是”）； （2）如圖2，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60．求“奇妙四邊形”ABCD的面積； （3）如圖3，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 23．在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上． （1）已知a=1，點B的縱坐標為2． ①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長． ②如圖2，若BD=AB，過點B，D的拋物線L2，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達式． （2）如圖3，若BD=AB，過O，B，D三點的拋物線L3，頂點為P，對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)為a3，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點，求的值，并直接寫出的值． 　  2016-2017學年浙江省杭州市青春中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分） 1．若=，則的值是（　?。? A． B． C． D． 【考點】比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)和比性質(zhì)，可得答案． 【解答】解：由和比性質(zhì)，得 ==， 故選：A． 【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用和比性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 2．已知點（﹣2，y1），（﹣4，y，2）在函數(shù)y=x2﹣4x+7的圖象上，那么y1，y2的大小關(guān)系是（　?。? A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能確定 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】求出y1，y2的值即可判斷． 【解答】解：∵x=﹣2時，y1=19，x=﹣4時，y2=39， ∴y2＞y1， 故選C． 【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型． 　 3．下列函數(shù)圖象中，當x＞0時，y隨x的增大而減小的是（　?。? A．y=﹣ B．y=x C．y=x2 D．y=﹣（x+1）2 【考點】二次函數(shù)的圖象；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷． 【解答】解：A、∵k＜0，∴y在第四象限內(nèi)y隨x的增大而增大； B、∵k＞0，∴y隨著x的增大而增大； C、∵y=x2，∴對稱軸x=0，當圖象在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；而在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減?。? D、∵y=﹣（x+1）2，對稱軸為x=﹣1，a＜0，∴當x＞﹣1，y隨著x的增大而減小，所以x＞0時，y隨x的增大而減?。? 故選D． 【點評】本題綜合考查二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性（單調(diào)性），是一道難度中等的題目． 　 4．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和直線DF在l1，l2，l3上的交點分別為：A，B，C，D，E，F(xiàn)．已知AB=6，BC=4，DF=9，則DE=（　?。? A．5.4 B．5 C．4 D．3.6 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式：，代入計算即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB=6，BC=4，DF=9， ∴， ∴DE=5.4， 故選A． 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理內(nèi)容是關(guān)鍵：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例． 　 5．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，：： =2：3：5，∠BAD=120，則∠ABC的度數(shù)為（　?。? A．100 B．105 C．120 D．125 【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理． 【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理求∠ABC的度數(shù)即可． 【解答】解：如圖所示：連接OA、OB、OC、OD， ∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，：： =2：3：5，∠BAD=120， ∴∠COD=150，∠BOC=90，∠AOB=60， ∴∠AOD=60， ∴∠ABC=（150+60）=105； 故選：B． 【點評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理．熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵． 　 6．在同一坐標系中，函數(shù)y=ax2+bx與y=的圖象大致是圖中的（　?。? A． B． C． D． 【考點】反比例函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象得出b的范圍，看看是否相同即可． 【解答】解：A、根據(jù)反比例函數(shù)得出b＞0，根據(jù)二次函數(shù)得出a＞0，b＜0， 所以b的范圍不同，故本選項錯誤； B、根據(jù)反比例函數(shù)得出b＞0，根據(jù)二次函數(shù)得出a＜0，b＜0， 所以b的范圍不同，故本選項錯誤； C、根據(jù)反比例函數(shù)得出b＜0，根據(jù)二次函數(shù)得出a＞0，b＞0， 所以b的范圍不同，故本選項錯誤； D、根據(jù)反比例函數(shù)得出b＞0，根據(jù)二次函數(shù)得出a＜0，b＞0， 所以b的范圍相同，故本選項正確； 故選D． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，能理解反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵． 　 7．把1到9的自然數(shù)依次寫在9張形狀相同的卡片上，打亂次序放入袋中．從中任意抽出一張卡片，則卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】概率公式． 【分析】先求出2的倍數(shù)和3的倍數(shù)總的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵1～9中是2的倍數(shù)有2，4，6，8四個數(shù)，是3的倍數(shù)有3，6，9三個數(shù)， ∴卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)共有6個數(shù)， ∴從中任意抽出一張卡片，則卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率是=； 故選C． 【點評】本題考查的是概率公式，熟記隨機事件的概率公式是解答此題的關(guān)鍵． 　 8．下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①與半徑長相等的弦所對的圓周角是30；②圓內(nèi)接正六邊形的邊長與該圓半徑相等；③垂直于弦的直徑平分這條弦；④平分弦的直徑垂直于弦．其中正確的是（　?。? A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②④ 【考點】正多邊形和圓；垂徑定理． 【分析】根據(jù)在同圓中一條弦對兩條弧可對①進行判斷；根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)對②進行判斷；根據(jù)垂徑定理對③進行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對④進行判斷． 【解答】解：與半徑長相等的弦所對的圓周角是30或150，所以①錯誤； 圓內(nèi)接正六邊形的邊長與該圓半徑相等，所以②正確； 垂直于弦的直徑平分這條弦，所以③正確； 平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，所以④錯誤． 故選C 【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理． 　 9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是的中點，連結(jié)AD，AG，CD，則下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．CE=DE B．∠ADG=∠GAB C．∠AGD=∠ADC D．∠GDC=∠BAD 【考點】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB， ∴CE=DE，A成立； ∵G是的中點， ∴=， ∴∠ADG=∠GAB，B成立； ∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB， ∴=， ∴∠AGD=∠ADC，C成立； ∠GDC=∠BAD不成立，D不成立， 故選：D． 【點評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 　 10．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值為2n，則m+n的值為（　?。? A． B．2 C． D． 【考點】二次函數(shù)的最值． 【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸以及增減性進行解答即可． 【解答】解：二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的大致圖象如下： ． ①當m≤0≤x≤n＜1時，當x=m時y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣2． 當x=n時y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合題意，舍去）； ②當m≤0≤x≤1≤n時，當x=m時y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣2． 當x=1時y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5， 解得：n=， 所以m+n=﹣2+=． 故選：D． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，根據(jù)函數(shù)解析式求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵． 　 二、認真填一填（本題有6個小題，每小題4分，共24分） 11．如圖，D是AB上的一點．△ABC∽△ACD，且AD=2，BD=4，∠ADC=65，∠B=43，則∠A=　72　，AC=　2?。? 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出算式，計算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△ACD， ∴∠ACD=∠B=43，=， ∴∠A=180﹣∠ADC﹣∠ACD=72，AC=2， 故答案為：72；2． 【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵． 　 12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=70，則∠C為　35　度． 【考點】圓周角定理． 【專題】計算題． 【分析】直接利用圓周角定理求解， 【解答】解：∠ACB=∠AOB=35． 故答案35． 【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑． 　 13．如圖，將弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O，則弧AC=　120　度． 【考點】翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【分析】過O點作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，連結(jié)OC，BC．根據(jù)垂徑定理可得OD=OE，AD=CD，根據(jù)三角形中位線定理可得OD=BC，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補角的定義即可求解． 【解答】解：過O點作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，連結(jié)OC，BC． ∴OD=OE，AD=CD， ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90，OD=BC， 又∵OC=OB， ∴△OBC是等邊三角形， ∴∠BOC=60， ∴∠AOC=180﹣60=120，即弧AC=120度． 故答案為：120． 【點評】考查了翻折變換（折疊問題），垂徑定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補角的定義，綜合性較強，難度中等． 　 14．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分，對稱軸是直線x=1，①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞3；④2a+b=0．其中判斷正確的是?、佗堋。ㄖ惶顚懻_結(jié)論的序號） 【考點】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)對①進行判斷；由于不能確定拋物線與x軸的交點坐標，于是可對②③進行判斷；由拋物線的對稱軸是直線x=1可對④作出判斷． 【解答】解：∵拋物線與x軸有2個交點， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正確； ∵拋物線的對稱軸是直線x=1，但不能確定拋物線與x軸的交點坐標， ∴4a﹣2b+c＜0不確定；不等式ax2+bx+c＞0的解集x＞3錯誤，所以②③錯誤； ∵拋物線的對稱軸是直線x=1， ∴﹣=1，即b=﹣2a， ∵2a+b=0，所以④正確． 故答案為：①④． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式，熟知二次函數(shù)的對稱軸直線方程是解答此題的關(guān)鍵． 　 15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0）的圖象過正方形ABOC的三個頂點A、B、C，則ac的值是　﹣2?。? 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【專題】方程思想． 【分析】設(shè)正方形的對角線OA長為2m，根據(jù)正方形的性質(zhì)則可得出B、C坐標，代入二次函數(shù)y=ax2+c中，即可求出a和c，從而求積． 【解答】解：設(shè)正方形的對角線OA長為2m， 則B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）； 把A，C的坐標代入解析式可得： c=2m①，am2+c=m②， ①代入②得：m2a+2m=m，解得：a=﹣， 則ac=﹣?2m=﹣2． 【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及運用，體現(xiàn)了方程思想． 　 16．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，其外角平分線AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，下列結(jié)論中正確的是　①②③?。? ①DB=DC； ②AC+AB=2CM； ③AC﹣AB=2AM； ④S△ABD=S△ABC． 【考點】三角形的外接圓與外心． 【分析】由A、B、C、D四點共圓，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所對的圓周角相等得到圓周角相等，結(jié)合外角平分線可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；過點D作DF⊥BE，可以通過證明三角形全等，通過邊的關(guān)系可以得到②AC﹣AB=2AM，③AC+AB=2CM都是正確的；S△ABD和S△ABC的大小無法判斷． 【解答】解：過點D作DF⊥BE于F， ∵A、B、C、D四點共圓， ∴∠FAD=∠BCD， ∵外角平分線AD交⊙O于D， ∴∠FAD=∠DAC， 又∵∠DBC=∠DAC， ∴∠BCD=∠CBD， ∴①DB=DC，故此選項正確； ∵AD外角平分線，DF⊥BE，DM⊥AC于M， ∴DF=DM， 在△BFD≌△CMD中， ， ∴Rt△BFD≌Rt△CMD， ∴BF=CM， 又∵AF=AM， ∴②AC﹣AB=CM+AM﹣AB=CM+AM﹣CM+AF=CM+AM﹣CM+AM=2AM，故此選項正確； ∴③AC+AB=AM+MC+BF﹣FA=AM+MC+MC﹣AM=2CM，故此選項正確； S△ABD和S△ABC的大小無法判斷，④錯誤， 故答案為：①②③． 【點評】本題考查了圓周角、三角形的外角的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；作出輔助線，利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 三、全面答一答（本題有7個小題，共66分） 17．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題： （1）求出函數(shù)解析式； （2）當x為何值時，y＜0． 【考點】拋物線與x軸的交點；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】（1）設(shè)y=a（x﹣1）2+3，再把b點坐標代入可得a的值，進而可得函數(shù)解析式； （2）根據(jù)拋物線的對稱性可得另一個與x軸的交點坐標為（﹣2，0），再根據(jù)圖象可得答案． 【解答】解：（1）設(shè)y=a（x﹣1）2+3， ∵過B（4，0）， ∴0=a（4﹣1）2+3， 解得：a=﹣， ∴函數(shù)解析式為y=﹣（x﹣1）2+3； （2）∵對稱軸為x=1，B點坐標為（4，0）， ∴另一個與x軸的交點坐標為（﹣2，0）， 當y＜0時，圖象在x軸下方， ∴x＜﹣2或x＞4． 【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，關(guān)鍵是掌握拋物線的對稱性． 　 18．已知Rt△AEC中，∠E=90，請按如下要求進行操作和判斷： （1）尺規(guī)作圖：作△AEC的外接圓⊙O，并標出圓心O（不寫畫法）； （2）延長CE，在CE的延長線上取點B，使EB=EC，連結(jié)AB，設(shè)AB與⊙O的交點為D（標出字母B、D），判斷：圖中與相等嗎？請說明理由． 【考點】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理． 【分析】（1）先作出AC的中垂線，交AC于O，再以O(shè)為圓心，AO的長為半徑畫圓即可； （2）延長CE，在CE的延長線上取點B，使EB=EC，連結(jié)AB，先判定△AEC≌△AEB（SAS），得出∠CAE=∠DAE即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖所示，⊙O即為所求； （2）延長CE，在CE的延長線上取點B，使EB=EC，連結(jié)AB，則△AEB即為所求， ∵BE=EC，AE=AE，AE⊥BC， ∴△AEC≌△AEB（SAS）， ∴∠CAE=∠DAE， ∴與相等． 【點評】本題主要考查了圓心角與弧的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖的運用，解題時注意：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等． 　 19．已知某道判斷題的五個選項中有兩個正確答案，該題滿分為4分，得分規(guī)則是：選出兩個正確答案且沒有選錯誤答案得4分；只選出一個正確答案且沒有選錯誤答案得2分；不選或所選答案中有錯誤答案得0分． （1）任選一個答案，得到2分的概率是　??； （2）請利用樹狀圖或表格求任選兩個答案，得到4分的概率； （3）如果小明只能確認其中一個答案是正確的，此時的最佳答題策略是　A　 A．只選確認的那一個正確答案 B．除了選擇確認的那一個正確答案，再任選一個 C．干脆空著都不選了． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算； （2）不妨設(shè)五個選項分別為A、B、C、D、E，其中A、B為正確選項，再列表展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，找出AB所占結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解； （3）易得只選確認的那一個正確答案可得2分，再計算除了選擇確認的那一個正確答案，再任意選擇剩下的四個選項中的一個所得的分數(shù)，然后比較兩個的得分后確定最佳答題策略． 【解答】解：（1）五個選項中有兩個正確答案，任選一個答案，選對正確答案的概率=； （2）不妨設(shè)五個選項分別為A、B、C、D、E，其中A、B為正確選項 列表如下： 共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中AB占2個結(jié)果數(shù)， 所以得4分的概率==； （3）只選確認的那一個正確答案，則可得2分； 若除了選擇確認的正確答案A，再從B、C、D、E中任意選擇剩下的四個選項中的一個， 則再選正確答案的概率為，選錯誤答案的概率為， 所以此時得分=4+0=1， 所以此時的最佳答題策略是只選確認的那一個正確答案． 故答案為A． 【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A與B的概率． 　 20．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45．（1）求BD的長； （2）求圖中陰影部分的面積． 【考點】圓周角定理；勾股定理；扇形面積的計算． 【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90，由勾股定理求得AB，OB=5cm．連OD，得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)S陰影=S扇形﹣S△OBD即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90， ∵BC=6cm，AC=8cm， ∴AB=10cm． ∴OB=5cm． 連OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD=45． ∴∠BOD=90． ∴BD==5cm． （2）S陰影=S扇形﹣S△OBD=π?52﹣55=cm2． 【點評】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，三角形的面積，連接OD構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 21．某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離AB=L，稱跨度，橋面最高點到AB的距離CD=h稱拱高，當L和h確定時，有兩種設(shè)計方案可供選擇：①拋物線型，②圓弧型．已知這座橋的跨度L=32米，拱高h=8米． （1）如果設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)解析式； （2）如果設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑； （3）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，在兩種方案中分別求橋墩的高度． 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）拋物線的解析式為y=ax2+c，把點C（0，8）和點B（16，0），代入即可求出拋物線解析式； （2）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可； （3）根據(jù)題意畫出圖形，利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可． 【解答】解：（1）拋物線的解析式為y=ax2+c， 又∵拋物線經(jīng)過點C（0，8）和點B（16，0）， ∴0=256a+8，a=﹣． ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+8（﹣16≤x≤16）； （2）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R， 在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2 ∴R2=（R﹣8）2+162，解得R=20； （3）①在拋物線型中設(shè)點F（x，y）在拋物線上，x=OE=16﹣4=12， EF=y=3.5米； ②在圓弧型中設(shè)點F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′， OH⊥F′E′于H，則OH=D E′=16﹣4=12，O F′=R=20， 在Rt△OH F′中，H F′=， ∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12，E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4（米） ∴在離橋的一端4米處，拋物線型橋墩高3.5米； 圓弧型橋墩高4米． 【點評】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合勾股定理得出是解題關(guān)鍵． 　 22．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質(zhì)：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)以上信息回答： （1）矩形　不是　“奇妙四邊形”（填“是”或“不是”）； （2）如圖2，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60．求“奇妙四邊形”ABCD的面積； （3）如圖3，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【考點】圓的綜合題． 【專題】綜合題． 【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和“奇妙四邊形”的定義進行判斷； （2）連結(jié)OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，根據(jù)垂徑定理得到BH=DH，根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠OBD=30，在Rt△OBH中可計算出BH=OH=3，BD=2BH=6，則AC=BD=6，然后根據(jù)奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解； （3）連結(jié)OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，根據(jù)垂徑定理得到AE=DE，再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有OM=AD． 【解答】解：（1）矩形的對角線相等但不垂直， 所以矩形不是“奇妙四邊形”； 故答案為不是； （2）連結(jié)OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，則BH=DH， ∵∠BOD=2∠BCD=260=120， ∴∠OBD=30， 在Rt△OBH中，∵∠OBH=30， ∴OH=OB=3， ∴BH=OH=3， ∵BD=2BH=6， ∴AC=BD=6， ∴“奇妙四邊形”ABCD的面積=66=54； （3）OM=AD．理由如下： 連結(jié)OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3， ∵OE⊥AD， ∴AE=DE， ∵∠BOC=2∠BAC， 而∠BOC=2∠BOM， ∴∠BOM=∠BAC， 同理可得∠AOE=∠ABD， ∵BD⊥AC， ∴∠BAC+∠ABD=90， ∴∠BOM+∠AOE=90， ∵∠BOM+∠OBM=90， ∴∠OBM=∠AOE， 在△BOM和△OAE中 ， ∴△BOM≌△OAE， ∴OM=AE， ∴OM=AD． 【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會利用三角形全等解決線段相等的問題． 　 23．在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上． （1）已知a=1，點B的縱坐標為2． ①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長． ②如圖2，若BD=AB，過點B，D的拋物線L2，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達式． （2）如圖3，若BD=AB，過O，B，D三點的拋物線L3，頂點為P，對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)為a3，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點，求的值，并直接寫出的值． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點A、B的坐標，求出AC的長； ②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，根據(jù)拋物線的軸對稱性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式； （2）過點B作BK⊥x軸于點K，設(shè)OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式，根據(jù)拋物線過點B（t，at2），求出的值，根據(jù)拋物線上點的坐標特征求出的值． 【解答】解：（1）①二次函數(shù)y=x2，當y=2時，2=x2， 解得x1=，x2=﹣， ∴AB=2． ∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過點B， ∴BC=AB=2， ∴AC=4． ②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，如圖2， 根據(jù)拋物線的軸對稱性，得BN=DB=， ∴OM=． 設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達式為y=a（x﹣）2， 由①得，B點的坐標為（，2）， ∴2=a（﹣）2， 解得a=4． 拋物線L2的函數(shù)表達式為y=4（x﹣）2； （2）如圖3，拋物線L3與x軸交于點G，其對稱軸與x軸交于點Q， 過點B作BK⊥x軸于點K， 設(shè)OK=t，則AB=BD=2t，點B的坐標為（t，at2）， 根據(jù)拋物線的軸對稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t． 設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達式為y=a3x（x﹣4t）， ∵該拋物線過點B（t，at2）， ∴at2=a3t（t﹣4t）， ∵t≠0， ∴=﹣， 由題意得，點P的坐標為（2t，﹣4a3t2）， 則﹣4a3t2=ax2， 解得，x1=﹣t，x2=t， EF=t， ∴=． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、掌握拋物線的對稱性、正確理解拋物線上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．