八年級數(shù)學下學期期中試卷（含解析） 新人教版3 (6)

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2015-2016學年江蘇省宿遷市泗陽縣實驗初中八年級（下）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號寫在答題紙的相應位置上） 1．下列圖形中，是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．今年我市有近4萬名考生參加中考，為了解這些考生的數(shù)學成績，從中抽取1000名考生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，以下說法正確的是（　?。? A．這1000名考生是總體的一個樣本 B．近4萬名考生是總體 C．每位考生的數(shù)學成績是個體 D．1000名學生是樣本容量 3．在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球實驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有（　?。? A．16個 B．15個 C．13個 D．12個 4．如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值（　?。? A．擴大2倍 B．不變 C．縮小2倍 D．擴大4倍 5．關于x的分式方程的解是負數(shù)，則m的取值范圍是（　?。? A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0 6．平行四邊形、矩形、菱形、正方形的包含關系可用圖表示，則圖中陰影部分表示的圖形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形 7．如圖，在?ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則CE的長等于（　　） A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 8．如圖，已知四邊形ABCD中，R，P分別是BC，CD上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（　?。? A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減少 C．線段EF的長不變 D．線段EF的長與點P的位置有關 　 二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.不需要寫出解答過程請把答案直接填寫在答題紙相應位置上） 9．當x=______時，分式的值為0． 10．已知：x+y=5，xy=3，則的值是______． 11．下列四種調查：①調查一批新型節(jié)能燈泡的使用壽命；②調查長江流域的水污染情況③調查宿遷市初中學生的視力情況；④為保證“神舟7號”的成功發(fā)射，對其零部件進行檢查．其中適合用普查方式的是______（填寫序號） 12．在一個不透明的袋子中裝有1個白球，2個黃球和3個紅球，每個除顏色外完全相同，將球搖勻從中任取一球：（1）恰好取出白球； （2）恰好取出紅球； （3）恰好取出黃球， 根據(jù)你的判斷，將這些事件按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列______（只需填寫序號）． 13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點．若CD=5，則EF的長為______． 14．如圖，已知BC為等腰三角形紙片ABC的底邊，AD⊥BC，∠BAC≠90度．將此三角形紙片沿AD剪開，得到兩個三角形，若把這兩個三角形拼成一個平行四邊形，則能拼出平行四邊形______個． 15．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，且四邊CDEF是正方形．若AE=4，BE=3，SRt△AFE=S1，SRt△BDE=S2，則S1+S2=______． 16．如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是______cm． 　 三、解答題（本大題共10小題，共72分請在答題紙的指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17．解方程：﹣=． 18．化簡分式（﹣），并從﹣1≤x≤2中選一個你喜歡的整數(shù)x代入求值． 19．△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示． （1）作△ABC關于點C成中心對稱的△A1B1C1，并直接寫出A1、B1、C1各點的坐標； （2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2． 20．某批足球產(chǎn)品質量檢驗獲得的數(shù)據(jù)． 抽取的足球數(shù)n 50 100 200 500 1000 1500 2000 優(yōu)等品頻數(shù)m 45 91 177 445 905 1350 1790 優(yōu)等品頻數(shù) 0.900 0.910 a b 0.905 0.900 0.895 （1）計算并填寫表中“抽到優(yōu)等品”的頻率a=______；b=______ （2）畫出“抽到優(yōu)等品”的頻率的折線統(tǒng)計圖； （3）當抽到的足球數(shù)很大時，你認為“抽到優(yōu)等品”的頻率在哪個常數(shù)附近擺動？ 21．某校舉行全體學生“漢字聽寫”比賽，每位學生聽寫漢字39個．隨機抽取了部分學生的聽寫結果，繪制成如下的圖表． 根據(jù)以上信息完成下列問題： （1）統(tǒng)計表中的m=______，n=______，并補全條形統(tǒng)計圖； （2）扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是______； （3）已知該校共有900名學生，如果聽寫正確的字的個數(shù)少于24個定為不合格，請你估計該校本次聽寫比賽不合格的學生人數(shù)． 22．某中學組織學生到離學校15km的風景區(qū)春游，先遣隊與大部隊同時出發(fā)，先遣隊的行進速度是大部隊的1.2倍，以便提前0.5h到達目的地作準備工作．求先遣隊與大部隊的行進速度各是多少？ 23．如圖所示，在平行四邊形ABCD的對角線上AC上取兩點E和F，若AE=CF． 求證：∠AFD=∠CEB． 24．如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q． （1）求證：OP=OQ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運動（不與D重合）．設點P運動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求t為何值時，四邊形PBQD是菱形． 25．探究 如圖①，在?ABCD的形外分別作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90，連接AC、EF．在圖中找一個與△FAE全等的三角形，并加以證明． 應用 以?ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖②，連接EF、GH、IJ、KL．若?ABCD的面積為5，則圖中陰影部分四個三角形的面積和為______． 26．如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10． （1）求矩形ABCD的周長； （2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處． ①求DE的長； ②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長． （3）M是AD上的動點，在DC 上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和． 　  2015-2016學年江蘇省宿遷市泗陽縣實驗初中八年級（下）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號寫在答題紙的相應位置上） 1．下列圖形中，是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷即可． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形； D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形． 故選：C． 　 2．今年我市有近4萬名考生參加中考，為了解這些考生的數(shù)學成績，從中抽取1000名考生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，以下說法正確的是（　?。? A．這1000名考生是總體的一個樣本 B．近4萬名考生是總體 C．每位考生的數(shù)學成績是個體 D．1000名學生是樣本容量 【考點】總體、個體、樣本、樣本容量． 【分析】根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的定義對各選項判斷即可． 【解答】解：A、1000名考生的數(shù)學成績是樣本，故A選項錯誤； B、4萬名考生的數(shù)學成績是總體，故B選項錯誤； C、每位考生的數(shù)學成績是個體，故C選項正確； D、1000是樣本容量，故D選項錯誤； 故選：C． 　 3．在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球實驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有（　　） A．16個 B．15個 C．13個 D．12個 【考點】利用頻率估計概率． 【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近得出口袋中得到紅色球的概率，進而求出白球個數(shù)即可． 【解答】解：設白球個數(shù)為：x個， ∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右， ∴口袋中得到紅色球的概率為25%， ∴=， 解得：x=12， 故白球的個數(shù)為12個． 故選：D． 　 4．如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值（　?。? A．擴大2倍 B．不變 C．縮小2倍 D．擴大4倍 【考點】分式的基本性質． 【分析】可將式中的x，y都用2x，2y來表示，再將后來的式子與原式對比，即可得出答案． 【解答】解： ==，因此分式的值不變． 故選：B． 　 5．關于x的分式方程的解是負數(shù)，則m的取值范圍是（　　） A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0 【考點】分式方程的解． 【分析】由題意分式方程的解為負數(shù)，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，解出m的范圍．注意最簡公分母不為0． 【解答】解：方程兩邊同乘（x+1），得m=﹣x﹣1 解得x=﹣1﹣m， ∵x＜0， ∴﹣1﹣m＜0， 解得m＞﹣1， 又x+1≠0， ∴﹣1﹣m+1≠0， ∴m≠0， 即m＞﹣1且m≠0． 故選：B． 　 6．平行四邊形、矩形、菱形、正方形的包含關系可用圖表示，則圖中陰影部分表示的圖形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形 【考點】正方形的性質；平行四邊形的性質；菱形的性質；矩形的性質． 【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、菱形和矩形的定義或性質逐個進行分析，即可得出答案． 【解答】解：正方形是特殊的矩形，即是鄰邊相等的矩形， 也是特殊的菱形，即有是一個角為直角的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四邊形， 故圖中陰影部分表示的圖形是正方形． 故選：A． 　 7．如圖，在?ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則CE的長等于（　?。? A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 【考點】平行四邊形的性質． 【分析】由平行四邊形的性質得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，證出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的長． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC=AD=12cm，AD∥BC， ∴∠DAE=∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴BE=AB=8cm， ∴CE=BC﹣BE=4cm； 故答案為：C． 　 8．如圖，已知四邊形ABCD中，R，P分別是BC，CD上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（　?。? A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減少 C．線段EF的長不變 D．線段EF的長與點P的位置有關 【考點】三角形中位線定理． 【分析】因為AR的長度不變，根據(jù)中位線定理可知，線段EF的長不變． 【解答】解：因為AR的長度不變，根據(jù)中位線定理可知，EF平行與AR，且等于AR的一半． 所以當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，線段EF的長不變． 故選C． 　 二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.不需要寫出解答過程請把答案直接填寫在答題紙相應位置上） 9．當x=　﹣1　時，分式的值為0． 【考點】分式的值為零的條件． 【分析】根據(jù)分式值為零的條件得x+1=0且x﹣2≠0，再解方程即可． 【解答】解：由分式的值為零的條件得x+1=0，且x﹣2≠0， 解得：x=﹣1， 故答案為：﹣1． 　 10．已知：x+y=5，xy=3，則的值是　?。? 【考點】分式的化簡求值． 【分析】先化簡，再把x+y=5，xy=3，整體代入即可． 【解答】解：原式==， ∵x+y=5，xy=3， ∴原式==， 故答案為． 　 11．下列四種調查：①調查一批新型節(jié)能燈泡的使用壽命；②調查長江流域的水污染情況③調查宿遷市初中學生的視力情況；④為保證“神舟7號”的成功發(fā)射，對其零部件進行檢查．其中適合用普查方式的是　④?。ㄌ顚懶蛱枺? 【考點】全面調查與抽樣調查． 【分析】根據(jù)普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似解答． 【解答】解：調查一批新型節(jié)能燈泡的使用壽命適合用抽樣調查； ②調查長江流域的水污染情況適合用抽樣調查； ③調查宿遷市初中學生的視力情況適合用抽樣調查； ④為保證“神舟7號”的成功發(fā)射，對其零部件進行檢查適合用普查． 故答案為：④． 　 12．在一個不透明的袋子中裝有1個白球，2個黃球和3個紅球，每個除顏色外完全相同，將球搖勻從中任取一球：（1）恰好取出白球； （2）恰好取出紅球； （3）恰好取出黃球， 根據(jù)你的判斷，將這些事件按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列?。?）（3）（2）?。ㄖ恍杼顚懶蛱枺? 【考點】可能性的大?。? 【分析】根據(jù)可能性大小的求法，求出各個事件發(fā)生的可能性的大小，再按照大小順序從小到大排列起來即可． 【解答】解：根據(jù)題意，袋子中共6個球，其中有1個白球，2個黃球和3個紅球，故將球搖勻，從中任取1球， ①恰好取出白球的可能性為， ②恰好取出紅球的可能性為=， ③恰好取出黃球的可能性為=， 故這些事件按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列是（1）（3）（2）． 故答案為：（1）（3）（2）． 　 13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點．若CD=5，則EF的長為　5?。? 【考點】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線． 【分析】已知CD是Rt△ABC斜邊AB的中線，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位線，則EF應等于AB的一半． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜邊的中線， ∴CD=AB， 又∵EF是△ABC的中位線， ∴AB=2CD=25=10cm， ∴EF=10=5cm． 故答案為：5． 　 14．如圖，已知BC為等腰三角形紙片ABC的底邊，AD⊥BC，∠BAC≠90度．將此三角形紙片沿AD剪開，得到兩個三角形，若把這兩個三角形拼成一個平行四邊形，則能拼出平行四邊形　3　個． 【考點】平行四邊形的判定；等腰三角形的性質． 【分析】分別以小直角三角形的三邊為對角線，并令對應邊重合，即可拼出圖形，然后根據(jù)平行四邊形的判定條件作答． 【解答】解：若要拼成平行四邊形，即是分別讓它們的一組對應邊重合，另外兩組對應邊分別平行． 故能拼出3個． 故答案為：3． 　 15．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，且四邊CDEF是正方形．若AE=4，BE=3，SRt△AFE=S1，SRt△BDE=S2，則S1+S2=　6?。? 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】設正方形CDEF的邊長為x，則EF=ED=x，則利用勾股定理表示出BD=，再證明Rt△BED∽Rt△EAF，利用相似比求出x的值，則開始計算出S△BDE，然后利用相似三角形的性質計算出S△AFE，從而得到△AFE與△BDE的面積和． 【解答】解：設正方形CDEF的邊長為x，則EF=ED=x， 所以BD=， ∵ED∥AC， ∴∠BED=∠A， ∴Rt△BED∽Rt△EAF， ∴BD：FE=BE：AE，即：x=3：4， 解得x=， ∴BD=， ∴S△BDE=BD?ED=??=， ∵=（）2， ∴S△AFE=， ∴S1+S2=+=6． 故答案是：6． 　 16．如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是　17　cm． 【考點】菱形的性質；勾股定理． 【分析】畫出圖形，設菱形的邊長為x，根據(jù)勾股定理求出周長即可． 【解答】解：當兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大，設這時菱形的邊長為xcm， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22， 解得：x=， ∴4x=17， 即菱形的最大周長為17cm． 故答案為：17． 　 三、解答題（本大題共10小題，共72分請在答題紙的指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17．解方程：﹣=． 【考點】解分式方程． 【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 【解答】解：方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）2﹣（x+2）2=16， 解得：x=﹣2， 檢驗：當x=﹣2時，（x+2）（x﹣2）=0， 則x=﹣2是增根，原方程無解． 　 18．化簡分式（﹣），并從﹣1≤x≤2中選一個你喜歡的整數(shù)x代入求值． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】先算括號里面的，再算除法，選出合適的x的值代入進行計算即可． 【解答】解：原式=? =? =， 由于當x=﹣1，x=0或x=1時，分式的分母為0， 故取x的值時，不可取x=﹣1，x=0或x=1，當x=2時，原式=． 　 19．△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示． （1）作△ABC關于點C成中心對稱的△A1B1C1，并直接寫出A1、B1、C1各點的坐標； （2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2． 【考點】作圖-旋轉變換；作圖-平移變換． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B關于點C成中心對稱的點A1、B1的位置，然后與點C1（點即C）順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標系寫出各點的坐標； （2）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A1、B1、C1向右平移4個單位的對應點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示， A1（2，1），B1（1，3），C1（0，2）； （2）△A2B2C2如圖所示． 　 20．某批足球產(chǎn)品質量檢驗獲得的數(shù)據(jù)． 抽取的足球數(shù)n 50 100 200 500 1000 1500 2000 優(yōu)等品頻數(shù)m 45 91 177 445 905 1350 1790 優(yōu)等品頻數(shù) 0.900 0.910 a b 0.905 0.900 0.895 （1）計算并填寫表中“抽到優(yōu)等品”的頻率a=　0.885??；b=　0.890　 （2）畫出“抽到優(yōu)等品”的頻率的折線統(tǒng)計圖； （3）當抽到的足球數(shù)很大時，你認為“抽到優(yōu)等品”的頻率在哪個常數(shù)附近擺動？ 【考點】利用頻率估計概率；頻數(shù)（率）分布直方圖；頻數(shù)（率）分布折線圖． 【分析】（1）利用頻率的定義計算； （2）先描出各點，然后折線連結； （3）根據(jù)頻率估計概率，頻率都在0.900左右波動，所以可以估計“抽到優(yōu)等品”的頻率是0.900． 【解答】解：（1）a==0.885，b==0.890． 如表： 抽取的足球數(shù)n 50 100 200 500 1000 1500 2000 優(yōu)等品頻數(shù)m 45 91 177 445 905 1350 1790 優(yōu)等品頻數(shù) 0.900 0.910 0.885 0.890 0.905 0.900 0.895 故答案為0.885，0.890； （2）如圖： （3）當抽到的足球數(shù)很大時，我認為“抽到優(yōu)等品”的頻率在0.900附近擺動． 　 21．某校舉行全體學生“漢字聽寫”比賽，每位學生聽寫漢字39個．隨機抽取了部分學生的聽寫結果，繪制成如下的圖表． 根據(jù)以上信息完成下列問題： （1）統(tǒng)計表中的m=　30　，n=　20　，并補全條形統(tǒng)計圖； （2）扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是　90?。? （3）已知該校共有900名學生，如果聽寫正確的字的個數(shù)少于24個定為不合格，請你估計該校本次聽寫比賽不合格的學生人數(shù)． 【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計圖． 【分析】（1）根據(jù)條形圖和扇形圖確定B組的人數(shù)環(huán)繞所占的百分比求出樣本容量，求出m、n的值； （2）求出C組”所占的百分比，得到所對應的圓心角的度數(shù)； （3）求出不合格人數(shù)所占的百分比，求出該校本次聽寫比賽不合格的學生人數(shù)． 【解答】解：（1）從條形圖可知，B組有15人， 從扇形圖可知，B組所占的百分比是15%，D組所占的百分比是30%，E組所占的百分比是20%， 1515%=100， 10030%=30， 10020%=20， ∴m=30，n=20； （2）“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是25100360=90； （3）估計這所學校本次聽寫比賽不合格的 學生人數(shù)為：900（10%+15%+25%） =450人． 　 22．某中學組織學生到離學校15km的風景區(qū)春游，先遣隊與大部隊同時出發(fā)，先遣隊的行進速度是大部隊的1.2倍，以便提前0.5h到達目的地作準備工作．求先遣隊與大部隊的行進速度各是多少？ 【考點】分式方程的應用． 【分析】首先設大隊的速度為xkm/h，則先遣隊的速度是1.2xkm/h，根據(jù)先遣隊用的時間+0.5小時=大隊用的時間，列出方程，求解即可． 【解答】解：設大隊的速度是xkm/h，則先遣隊的速度是1.2xkm/h， 由題意得：﹣=， 解得：x=5， 經(jīng)檢驗：x=5是原方程的根且符合題意， 則原方程的根是x=5， 1.2x=1.25=6（千米/時） 答：先遣隊的速度是6km/h，大隊的速度是5km/h． 　 23．如圖所示，在平行四邊形ABCD的對角線上AC上取兩點E和F，若AE=CF． 求證：∠AFD=∠CEB． 【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質． 【分析】可證△AFD≌△CEB，根據(jù)平行四邊形性質有AD=BC，∠DAF=∠BCE；由AE=CF可得AF=CE，根據(jù)SAS得證． 【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形， ∵AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAF=∠BCE， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， ∴△ADF≌△CBE， ∴∠AFD=∠CEB． 　 24．如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q． （1）求證：OP=OQ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運動（不與D重合）．設點P運動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求t為何值時，四邊形PBQD是菱形． 【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質；矩形的性質． 【分析】（1）本題需先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據(jù)O為BD的中點得出△POD≌△QOB，即可證出OP=OQ． （2）本題需先根據(jù)已知條件得出∠A的度數(shù)，再根據(jù)AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的長，再根據(jù)四邊形PBQD是菱形時，即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO， 又∵O為BD的中點， ∴OB=OD， 在△POD與△QOB中， ∵ ∴△POD≌△QOB（ASA）， ∴OP=OQ； （2）解：PD=8﹣t， ∵四邊形PBQD是菱形， ∴PD=BP=8﹣t， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A=90， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2， 即62+t2=（8﹣t）2， 解得：t=， 即運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形． 　 25．探究 如圖①，在?ABCD的形外分別作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90，連接AC、EF．在圖中找一個與△FAE全等的三角形，并加以證明． 應用 以?ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖②，連接EF、GH、IJ、KL．若?ABCD的面積為5，則圖中陰影部分四個三角形的面積和為　10?。? 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的性質． 【分析】首先證明：△FAE≌△CDA，則陰影部分四個三角形的面積和是?ABCD的面積的2倍，據(jù)此即可求解． 【解答】解：△FAE≌△CDA． 證明：在平行四邊形ABCD中，AB=CD，∠BAD+∠ADC=180， 等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中，AF=AB，AE=AD， ∠FAB=∠EAD=90， ∴∠FAE+∠BAD=180， ∴∠EAF=360﹣∠EAD﹣∠FAB﹣∠DAB=180﹣∠DAB， ∠ADC=180﹣∠DAB ∴∠FAE=∠ADC， ∴△FAE≌△CDA， 同理，在圖形②中，△AEF≌△DAC≌△CIJ，△BGH≌△DKL≌△CDB ∴四個三角形的面積和為54=10． 故答案是：10． 　 26．如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10． （1）求矩形ABCD的周長； （2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處． ①求DE的長； ②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長． （3）M是AD上的動點，在DC 上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和． 【考點】矩形的性質；等腰三角形的性質；勾股定理；翻折變換（折疊問題）． 【分析】（1）因為矩形的兩組對邊相等，所以周長等于鄰邊之和的2倍； （2）①四邊形ABCD是矩形，由折疊對稱的特點和勾股定理即可求出ED的長； ②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三種情形分別討論求出滿足題意的PB的值即可； （3）由題意可知當點N與C重合時，CT取最大值是8，當點M與A重合時，CT取最小值為4，進而求出線段CT長度的最大值與最小值之和． 【解答】解：（1）周長=2（10+8）=36； （2）①∵四邊形ABCD是矩形， 由折疊對稱性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE． 在Rt△ABF中，BF=6， ∴FC=4， 在Rt△ECF中，42+（8﹣DE）2=EF2， 解得DE=5， ②分三種情形討論： 若AP=AF， ∵AB⊥PF， ∴PB=BF=6， 若PF=AF，則PB+6=10， 解得PB=4， 若AP=PF，在Rt△APB中，AP2=PB2+AB2，解得PB=， 綜合得PB=6或4或． （3）當點N與C重合時，CT取最大值是8， 當點M與A重合時，CT取最小值為4， 所以線段CT長度的最大值與最小值之和為：12．