八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷（含解析） 新人教版26 (2)

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重慶市巴蜀中學(xué)2014-2015學(xué)年八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：每小題4分，共48分． 1．下列選項中是一元二次方程的為（　?。? A．x+2=0 B．x﹣2y=1 C．x2﹣2x﹣3=0 D． +3=1 2．有一個樣本有100個數(shù)據(jù)，落在某一組內(nèi)的頻率是0.3，那么落在這一組內(nèi)的頻數(shù)是（　　） A．50 B．30 C．15 D．3 3．如果△ABC∽△DEF，且對應(yīng)邊的AB與DE的長分別為2、3，則△ABC與△DEF的面積之比為（　?。? A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：4 4．若x=1是關(guān)于x的方程ax2﹣x+2=0的解，則a的值為（　?。? A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 5．若△ABC的周長為20cm，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，則△DEF的周長為（　?。? A．5cm B．10cm C．15cm D． cm 6．四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，能判別這個四邊形是正方形的條件是（　?。? A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD C．AD∥BC，∠A=∠C D．OA=OC，OB=OD，AB=BC 7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD延長線上一點，BE與AD交于點F，若CD=2DE，且△DEF的面積為3，則三角形ABF的面積為（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 8．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連結(jié)BE交AD于點F，則∠DFE的度數(shù)為（　?。? A．45 B．55 C．60 D．75 9．如圖，矩形ABCD的面積為20，對角線交于點O，以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B，對角線交于O1，以AB、AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B；…；依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（　?。? A． B． C． D． 10．如圖，P是正方形ABCD邊BC上一點，且BP=3PC，Q是DC的中點，則AQ：QP=（　?。? A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．5：2 11．有四個一模一樣的小球，其中三個小球上面分別標(biāo)有數(shù)字2、3、4，小明和小亮各摸一個，前一個人隨機(jī)摸一個球記下數(shù)字后放回，混合均勻，后一個人再隨機(jī)摸一個小球，如果兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的概率為，則第四個小球上的數(shù)字是（　?。? A．8 B．5 C．5或6 D．6 12．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點（且點P不與點B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．則EF的最小值為（　?。? A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 　 二、填空題：每小題4分，共32分． 13．已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，那么它的邊長是______． 14．如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC中，AB的長是10毫米，AC被分成6等份，如果小管口DE正好對著量具上3份處（DE∥AB），那么小管口徑DE的長是______毫米． 15．校生物小組有一塊長32m，寬20m的矩形實驗田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫個開辟一條等寬的小道，要使種植面積為540m2，小道的寬應(yīng)是______米． 16．矩形的兩條對角線的夾角是60，一條對角線與矩形短邊的和為15，那么矩形對角線的長為______，短邊長為______． 17．若m、n為一元二次方程x2+3x﹣4=0的兩個根，則m+n的值為______． 18．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE、DE，將△DEC沿線段DE翻折，點C恰好落在線段AE上的點F處．若AB=3，BE：EC=4：1，則線段DE的長為______． 19．有四個一模一樣的小球，上面分別標(biāo)有﹣2，0，2，3四個數(shù)字．從中任意模一個小球，將上面的數(shù)字記為a（不放回），再摸一個小球，將上面的數(shù)字記為b，這樣的數(shù)字a，b能使關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有實數(shù)根的概率為______． 20．已知如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于O，點E、F分別是AD、AB邊的中點，連接DF、CE交于點G，連接AG、OG．若AD=2，則OG=______． 　 三、解答題：共70分． 21．（20分）（2015春?重慶校級期末）解一元二次方程： （1）x2﹣x=0 （2）4x2﹣4x+1=0 （3）x2﹣3x﹣4=0 （4）2x2+4x﹣=0． 22．如圖，E，F(xiàn)是菱形ABCD對角線上的兩點，且AE=CF． （1）求證：四邊形BEDF是菱形； （2）若∠DAB=60，AD=6，AE=DE，求菱形BEDF的周長． 23．（10分）（2015?重慶校級模擬）如圖（1），點E是正方形ABCD的對角線CA延長線上一點，以AE為邊在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90，AF=FE，點O是線段CE的中點，連OB，OF， （1）若EF=1，AB=3，求線段EO的長度； （2）求證：OB⊥OF； （3）將圖（1）中的正方形變?yōu)榱庑?，其中∠ABC=60，將等腰△AEF的頂角變?yōu)?20，其余條件都不變，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 24．（12分）（2015春?重慶校級期末）如圖1，等腰Rt△ABC，AC=BC=4，D為BC中點，矩形BFEG，EF=4，BF=8，且F、B、C共線．△ABD沿BF運動，速度為每秒1個單位長，運動中記為△A1B1D1．當(dāng)A1與E重合時，運動停止運動過程中△A1B1D1與△BEF重疊部分面積記為S． （1）當(dāng)線段A1D1過線段EB中點時，求運動時間t； （2）求S與t的關(guān)系式； （3）取線段BF中點為H，連接EH，如圖2，當(dāng)B1與F重合時，將∠A1B1D1繞點F旋轉(zhuǎn)，射線B1A1與直線EH交于M，射線B1D1與直線EH交于N，若EM：MN=3：5，求線段EM的長． 　  2014-2015學(xué)年重慶市巴蜀中學(xué)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題4分，共48分． 1．下列選項中是一元二次方程的為（　　） A．x+2=0 B．x﹣2y=1 C．x2﹣2x﹣3=0 D． +3=1 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答． 一元二次方程必須滿足四個條件： （1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （2）二次項系數(shù)不為0； （3）是整式方程； （4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進(jìn)行驗證，滿足這四個條件者為正確答案． 【解答】解：A、方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2，故錯誤； B、含有兩個個未知數(shù)．故錯誤； C、符合一元二次方程的定義，故正確． D、不是整式方程，故錯誤； 故選C． 【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2． 　 2．有一個樣本有100個數(shù)據(jù)，落在某一組內(nèi)的頻率是0.3，那么落在這一組內(nèi)的頻數(shù)是（　　） A．50 B．30 C．15 D．3 【考點】頻數(shù)與頻率． 【分析】根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率=頻數(shù)數(shù)據(jù)總和，可得頻數(shù)=頻率數(shù)據(jù)總和． 【解答】解：頻數(shù)：1000.3=30， 故選：B． 【點評】本題考查頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系：頻數(shù)=頻率數(shù)據(jù)總和． 　 3．如果△ABC∽△DEF，且對應(yīng)邊的AB與DE的長分別為2、3，則△ABC與△DEF的面積之比為（　?。? A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：4 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方進(jìn)行計算． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC與△DEF的面積之比等于（）2=（）2=． 故選A． 【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方． 　 4．若x=1是關(guān)于x的方程ax2﹣x+2=0的解，則a的值為（　?。? A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】把x=1代入已知方程，列出關(guān)于a的新方程，通過解新方程來求a的值． 【解答】解：把x=1代入，得 a﹣1+2=0， 解得a=﹣1． 故選：A． 【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根． 　 5．若△ABC的周長為20cm，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，則△DEF的周長為（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D． cm 【考點】三角形中位線定理． 【分析】利用三角形的中位線性質(zhì)得到所求三角形的三邊與原三角形的周長之間的關(guān)系，進(jìn)而求解． 【解答】解：∵點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點， ∴DE、EF、DF分別等于△ABC三邊的一半， ∴DE+EF+DF=△ABC的周長=10 cm． 故選B． 【點評】本題考查了三角形的中位線定理，三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形，因而每個小三角形的周長為原三角形周長的一半． 　 6．四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，能判別這個四邊形是正方形的條件是（　?。? A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD C．AD∥BC，∠A=∠C D．OA=OC，OB=OD，AB=BC 【考點】正方形的判定． 【分析】先想一下平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定定理，再根據(jù)選項中的條件進(jìn)行推理，看看能否推出四邊形是正方形即可． 【解答】 解：A、∵OA=OB=OC=OD， ∴AC=BD， ∵AC⊥BD， ∴四邊形ABCD是正方形，故本選項正確； B、根據(jù)AB∥CD和AC=BD不能推出四邊形ABCD是正方形，故本選項錯誤； C、∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180，∠ADC+∠DCB=180， ∵∠DAB=∠DCB， ∴∠ABC=∠ADC， ∴只能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤； D、∵OA=OC，OB=OD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵AB=BC， ∴只能推出四邊形ABCD是菱形，故本選項錯誤； 故選A． 【點評】本題考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較好的題目，難度適中． 　 7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD延長線上一點，BE與AD交于點F，若CD=2DE，且△DEF的面積為3，則三角形ABF的面積為（　?。? A．6 B．8 C．9 D．12 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AB=CD，AB∥CD，根據(jù)相似三角形的判定得出△ABF∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=（）2，代入求出即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴△ABF∽△DEF， ∴=（）2， ∵CD=2DE，△DEF的面積為3， ∴三角形ABF的面積為12， 故選D． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出=（）2是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方． 　 8．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連結(jié)BE交AD于點F，則∠DFE的度數(shù)為（　　） A．45 B．55 C．60 D．75 【考點】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAS=90，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AED=∠EAD=60，AE=AD，求出∠BAE=150，AB=AE，∠ABE=∠AEB=15，求出∠AFB即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAS=90， ∵△AED是等邊三角形， ∴∠AED=∠EAD=60，AE=AD， ∴∠BAE=150，AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=（180﹣150=15， ∴∠DFE=∠AFB=90﹣15=75， 故選D． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠ABE的度數(shù)，難度適中． 　 9．如圖，矩形ABCD的面積為20，對角線交于點O，以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B，對角線交于O1，以AB、AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B；…；依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（　　） A． B． C． D． 【考點】矩形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出△AOB的面積等于矩形ABCD的面積的，求出△AOB的面積，再分別求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面積，即可得出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AO=CO，BO=DO，DC∥AB，DC=AB， ∴S△ADC=S△ABC=S矩形ABCD=20=10， ∴S△AOB=S△BCO=S△ABC=10=5， ∴S=S△AOB=5=， ∴S=S=， S=S=， S=S=， ∴S=2S=2=， 故選B． 【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，注意：等底等高的三角形的面積相等． 　 10．如圖，P是正方形ABCD邊BC上一點，且BP=3PC，Q是DC的中點，則AQ：QP=（　?。? A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．5：2 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)BP=3PC和Q是CD的中點，可以求得=，即可求證△ADQ∽△QCP，所以根據(jù)該相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到===2． 【解答】解：在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB． ∵BP=3PC，Q是CD的中點， ∴==． 又∵∠ADQ=∠QCP=90， ∴△ADQ∽△QCP， ∴===2，即AQ：QP=2：1． 故選A． 【點評】本題考查了相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定，本題中求證△ADQ∽△QCP是解題的關(guān)鍵． 　 11．有四個一模一樣的小球，其中三個小球上面分別標(biāo)有數(shù)字2、3、4，小明和小亮各摸一個，前一個人隨機(jī)摸一個球記下數(shù)字后放回，混合均勻，后一個人再隨機(jī)摸一個小球，如果兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的概率為，則第四個小球上的數(shù)字是（　?。? A．8 B．5 C．5或6 D．6 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】設(shè)第四個小球上的數(shù)字為x，先畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式可得兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的結(jié)果數(shù)為3，其中4+4=8占1種，而當(dāng)x=5時，3+x=8，x+3=8；當(dāng)x=6時，2+x=8，x+2=8， 于是可判斷第四個小球上的數(shù)字為5或6． 【解答】解：設(shè)第四個小球上的數(shù)字為x， 畫樹狀圖為： 共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，而兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的概率為，則兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的結(jié)果數(shù)為3，其中4+4=8， 當(dāng)x=5時，3+x=8，x+3=8；當(dāng)x=6時，2+x=8，x+2=8， 所以第四個小球上的數(shù)字為5或6． 故選C． 【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率． 　 12．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點（且點P不與點B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．則EF的最小值為（　?。? A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 【考點】矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理的逆定理． 【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PEAF是矩形；連接PA，則PA=EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得PA的值． 【解答】解：如圖，連接PA． ∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10， ∴BC2=AB2+AC2， ∴∠A=90． 又∵PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F． ∴∠AEP=∠AFP=90， ∴四邊形PEAF是矩形． ∴AP=EF． ∴當(dāng)PA最小時，EF也最小， 即當(dāng)AP⊥CB時，PA最小， ∵AB?AC=BC?AP，即AP===4.8， ∴線段EF長的最小值為4.8； 故選：B． 【點評】本題考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短．利用“兩點之間垂線段最短”找出PA⊥BC時，PA取最小值是解答此題的關(guān)鍵． 　 二、填空題：每小題4分，共32分． 13．已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，那么它的邊長是　5?。? 【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】作出圖形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB并得到AC⊥BD，然后根據(jù)勾股定理列式計算即可求出AB的長． 【解答】解：如圖，在菱形ABCD中，OA=8=4，OB=6=3，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，AB===5， 所以，菱形的邊長是5． 故答案為：5． 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀． 　 14．如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC中，AB的長是10毫米，AC被分成6等份，如果小管口DE正好對著量具上3份處（DE∥AB），那么小管口徑DE的長是　5　毫米． 【考點】相似三角形的應(yīng)用． 【分析】利用DE∥AB得到△CDE∽△CAB，然后利用相似比可計算出DE的長． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴=，即=， ∴DE=5（毫米）． 故答案為5． 【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度． 　 15．校生物小組有一塊長32m，寬20m的矩形實驗田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫個開辟一條等寬的小道，要使種植面積為540m2，小道的寬應(yīng)是　2　米． 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)道路的寬為xm，將4塊草地平移為一個長方形，長為（32﹣x）m，寬為（20﹣x）m．根據(jù)長方形面積公式即可求出道路的寬． 【解答】解：設(shè)道路的寬為xm，依題意有 （32﹣x）（20﹣x）=540， 整理，得x2﹣52x+100=0， ∴（x﹣50）（x﹣2）=0， ∴x1=2，x2=50（不合題意，舍去）， 答：小道的寬應(yīng)是2m． 故答案為：2． 【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，應(yīng)熟記長方形的面積公式．另外求出4塊試驗田平移為一個長方形的長和寬是解決本題的關(guān)鍵． 　 16．矩形的兩條對角線的夾角是60，一條對角線與矩形短邊的和為15，那么矩形對角線的長為　10　，短邊長為　5　． 【考點】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形ABCD，得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，推出OA=OB，根據(jù)等邊三角形的判定得出△OAB是等邊三角形，即可求出AB和對角線長． 【解答】解：∵矩形ABCD， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60， ∴△OAB是等邊三角形， ∴AB=OB=OA=15=5， AC=BD=25=10． 故答案為：10，5． 【點評】本題主要考查對矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)得到等邊三角形OAB是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中． 　 17．若m、n為一元二次方程x2+3x﹣4=0的兩個根，則m+n的值為　﹣3?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解． 【解答】解：m+n=﹣3． 故答案為﹣3． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=． 　 18．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE、DE，將△DEC沿線段DE翻折，點C恰好落在線段AE上的點F處．若AB=3，BE：EC=4：1，則線段DE的長為　?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】由翻折易得△DFE≌△DCE，則DF=DC，∠DFE=∠C=90，再由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，根據(jù)AAS證出△ABE≌△DFA；則AE=AD，設(shè)CE=x，從而表示出BE，AE，再由勾股定理，求得DE． 【解答】證明：由矩形ABCD，得∠B=∠C=90，CD=AB，AD=BC，AD∥BC． 由△DEC沿線段DE翻折，點C恰好落在線段AE上的點F處，得△DFE≌△DCE， ∴DF=DC，∠DFE=∠C=90， ∴DF=AB，∠AFD=90， ∴∠AFD=∠B， 由AD∥BC得∠DAF=∠AEB， ∴在△ABE與△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA（AAS）． ∵由EC：BE=1：4， ∴設(shè)CE=x，BE=4x，則AD=BC=5x， 由△ABE≌△DFA，得AF=BE=4x， 在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF=3x， 又∵DF=CD=AB=3 ∴x=1 在Rt△DCE中，DE===． 故答案是：． 【點評】本題考查了三角形的全等和勾股定理的應(yīng)用，一定要熟練掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的內(nèi)容． 　 19．有四個一模一樣的小球，上面分別標(biāo)有﹣2，0，2，3四個數(shù)字．從中任意模一個小球，將上面的數(shù)字記為a（不放回），再摸一個小球，將上面的數(shù)字記為b，這樣的數(shù)字a，b能使關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有實數(shù)根的概率為　　． 【考點】列表法與樹狀圖法；根的判別式． 【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到a﹣1≠0且△=b2﹣4（a﹣1）≥0，則4a﹣b2≤4，再畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，然后找出滿足4a﹣b2≤4的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有實數(shù)根， ∴a﹣1≠0且△=b2﹣4（a﹣1）≥0，則4a﹣b2≤4， 畫樹狀圖為： 共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中滿足4a﹣b2≤4的結(jié)果數(shù)為8， 所以能使關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有實數(shù)根的概率==． 故答案為． 【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．也考查了根的判別式． 　 20．已知如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于O，點E、F分別是AD、AB邊的中點，連接DF、CE交于點G，連接AG、OG．若AD=2，則OG=　?。? 【考點】正方形的性質(zhì)． 【分析】作AM⊥DF垂足為M，連接BM，作MH⊥AB于H．首先利用△ADF≌△DCE推出∠EGD=90，由AM∥EG，AE=ED推出MG=GD，因為OB=OD，所以O(shè)G=BM，只要求出HM，HB即可解決問題． 【解答】解：作AM⊥DF垂足為M，連接BM，作MH⊥AB于H． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90，OB=OD， ∵AF=FB，AE=ED， ∴AF=FB=AE=ED， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE， ∴∠ADF=∠ECD， ∵∠ECD+∠DEC=90， ∴∠DEC+∠EDF=90， ∴∠EGD=90， ∵∠AMD=∠EGD=90， ∴AM∥EG， ∵AE=ED， ∴MG=GD ∵BO=OD， ∴OG=BM． 在RT△ADF中，∵∠DAF=90，AD=2，AF=1， ∴DF=，AM==， 在RT△AMF中，∵∠AMF=90，AF=1，AM=， ∴FM==，MH==， ∴AH==，HF=，BH=， ∴BM===， ∴OG=BM=． 故答案為． 【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用三角形中位線解決問題，所以中考?？碱}型． 　 三、解答題：共70分． 21．（20分）（2015春?重慶校級期末）解一元二次方程： （1）x2﹣x=0 （2）4x2﹣4x+1=0 （3）x2﹣3x﹣4=0 （4）2x2+4x﹣=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）利用配方法得到（x+1）2=，然后利用直接開平方法解方程． 【解答】解：（1）x（x﹣1）=0， x=0或x﹣1=0， 所以x1=0，x2=1； （2）（2x﹣1）2=0， 2x﹣1=0， 所以x1=x2=； （3）（x﹣4）（x+1）=0， x﹣4=0或x+1=0， 所以x1=4，x2=﹣1； （4）x2+2x=， x2+2x+1=+1， （x+1）2=， x+1=， 所以x1=﹣1+，x2=﹣1﹣． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 　 22．如圖，E，F(xiàn)是菱形ABCD對角線上的兩點，且AE=CF． （1）求證：四邊形BEDF是菱形； （2）若∠DAB=60，AD=6，AE=DE，求菱形BEDF的周長． 【考點】菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）連接BD，由菱形ABCD的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，證出四邊形BEDF是平行四邊形，再由EF⊥BD，即可證出四邊形BEDF是菱形； （2）求出∠DAE=30，得出OD=AD=3，再證出∠ADE=∠EDO=30，在Rt△DEO中，由三角函數(shù)求出DE==2，即可得出菱形BEDF的周長． 【解答】（1）證明：連接BD，交AC于O，如圖所示： ∵四邊形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∴四邊形BEDF是平行四邊形， ∵EF⊥BD， ∴四邊形BEDF是菱形； （2）解：∵∠DAB=60， ∴∠DAE=30，∠ADB=60， ∵AD=6， ∴OD=AD=3， ∵AE=DE， ∴∠DAE=∠ADE，∠ADE=∠EDO=30， 在Rt△DEO中，DE==2， ∴菱形BEDF的周長=4DE=8． 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的運用；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵． 　 23．（10分）（2015?重慶校級模擬）如圖（1），點E是正方形ABCD的對角線CA延長線上一點，以AE為邊在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90，AF=FE，點O是線段CE的中點，連OB，OF， （1）若EF=1，AB=3，求線段EO的長度； （2）求證：OB⊥OF； （3）將圖（1）中的正方形變?yōu)榱庑危渲小螦BC=60，將等腰△AEF的頂角變?yōu)?20，其余條件都不變，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）利用勾股定理求得AE和AC的長，則EC即可求得，進(jìn)而求得EO的長； （2）作FM⊥EC于點M，BN⊥EC于點N，設(shè)直角△AEF的直角邊長是a，設(shè)正方形ABCD的邊長是b，利用三角函數(shù)求得OM、ON、FN和 BN的長，證明△OMF≌△△BNO，則∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可證得∠FOM+∠OFM=90，即可證明結(jié)論； （3）與（2）的證明方法相同． 【解答】解：（1）∵在直角△AEF中，AE==， 直角△ABC中，AC==3， ∴EC=AE+AC=+3=4， 又∵O是線段EC的中點， ∴EO=EC=2； （2）作FM⊥EC于點M，BN⊥EC于點N． ∵設(shè)直角△AEF的直角邊長是a，則FM=EM=AM=a， 設(shè)正方形ABCD的邊長是b，則AN=BN=NC=b，則OE=OC=（AE+AC）=（a+b）， OM=OE﹣EM=（a+b）﹣a=b， ON=AN﹣OA=AN﹣（OM﹣AM）=b﹣（b﹣a）=a． ∴在直角△OMF和直角△BNO中， ∴△OMF≌△△BNO， ∴∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON 又∵直角△OMF中，∠FOM+∠OFM=90， ∴∠BOF=90， ∴OB⊥OF； （3）OB⊥OF仍成立． 理由是：作FM⊥EC于點M，BN⊥EC于點N． ∵設(shè)BF=a，則FM=EF?sin∠E=a，EM=AM=EF?cosE=a， 設(shè)AB=b，則BN=AB?sin∠BAC=b，AN=CN=b． ∴EC=AE+AC=a+b． ∴EO=OC=（a+b）， ∴OM=EO﹣EM=（a+b）﹣a=b，ON=ON=AN﹣OA=AN﹣（OM﹣AM）=a． ∴=， 又∵∠FMA=∠BNO， ∴△OMF∽△△BNO， ∴∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON 又∵直角△OMF中，∠FOM+∠OFM=90， ∴∠BOF=90， ∴OB⊥OF． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明△OMF≌△△BNO是關(guān)鍵． 　 24．（12分）（2015春?重慶校級期末）如圖1，等腰Rt△ABC，AC=BC=4，D為BC中點，矩形BFEG，EF=4，BF=8，且F、B、C共線．△ABD沿BF運動，速度為每秒1個單位長，運動中記為△A1B1D1．當(dāng)A1與E重合時，運動停止運動過程中△A1B1D1與△BEF重疊部分面積記為S． （1）當(dāng)線段A1D1過線段EB中點時，求運動時間t； （2）求S與t的關(guān)系式； （3）取線段BF中點為H，連接EH，如圖2，當(dāng)B1與F重合時，將∠A1B1D1繞點F旋轉(zhuǎn)，射線B1A1與直線EH交于M，射線B1D1與直線EH交于N，若EM：MN=3：5，求線段EM的長． 【考點】幾何變換綜合題． 【分析】（1）過O作MN⊥EG于M，交BF于N，分別計算出BN、B1D1、D1N的長，則可求出BB1的長，即t的值； （2）分五種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0≤t≤2時，如圖2，重疊部分是△BCB1，作高CD，根據(jù)同角的三角函數(shù)列式表示出高CD的長，利用面積公式求出S與t的關(guān)系式； ②當(dāng)2＜t≤8時，如圖3，重疊部分是四邊形CB1D1M，重疊部分面積是兩三角形面積的差； ③當(dāng)8＜t≤10時，如圖4，重疊部分是五邊形CQFD1M，重疊部分面積S=﹣﹣，代入計算即可； ④當(dāng)10＜t＜12時，如圖5，重疊部分是四邊形CPQM，S=﹣﹣+，代入計算即可； ⑤當(dāng)t=12時，如圖6，S=0； （3）∠A1B1D1繞點F旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中，交點N與H重合，所以有兩種情況：①如圖7，當(dāng)交點M在線段EH上時，求出EH的長，再按已知的比得出結(jié)論：EM=EH==； ②如圖8，當(dāng)交點M在直線EH上時，同理得EM=6． 【解答】解：（1）如圖1，線段A1D1過線段EB中點O， 過O作MN⊥EG于M，交BF于N， ∵四邊形EFBG是矩形， ∴EG∥FB， ∴MN⊥BF， ∵△ABC是等腰直角三角形，D為BC中點， ∴BD=DC， ∵AC=BC=4， ∴BD=DC=2， 由勾股定理得：AD===2， ∵EG∥FB， ∴∠GEB=∠EBF， ∵EO=OB，∠EOA1=∠BOD1， ∴△EOA1≌△BOD1， ∴A1O=D1O=A1D1=AD=2=， 同理：OM=ON=MN=EF=2， 由勾股定理得：A1M===1， 同理D1N=1， ∵EO=OB，ON∥EF， ∴FN=BN=BF=4， ∴BB1=B1D1+D1N+BN=2+1+4=7， ∴t=7， 則當(dāng)線段A1D1過線段EB中點時，運動時間t為7秒； （2）分五種情況討論： ①當(dāng)0≤t≤2時，如圖2，重疊部分是△BCB1， 過C作CD⊥BF于D， ∵∠A1B1D1=45， ∴CD=B1D， tan∠EBF===， ∴CD=BD=（BB1﹣CD， CD=t， CD=t， ∴S==BB1?CD=?=； ②當(dāng)2＜t≤8時，如圖3，重疊部分是四邊形CB1D1M， 分別過C、M向BF作垂線CP和MN，垂足分別為P、N， 由平移得如圖1：∠A1D1B=∠ADC， tan∠A1D1B====2， ∴D1N=MN， ∵DD1=t，BD=2， ∴D1B=DD1﹣BD=t﹣2， tan∠EBF==， 2MN=t﹣2﹣MN， MN=（t﹣2）， 由①得：CP=t， ∴S=﹣， =BB1?CP﹣BD1?MN， =t?﹣（t﹣2）?（t﹣2）， =﹣+t﹣； ③當(dāng)8＜t≤10時，如圖4，重疊部分是五邊形CQFD1M，則B1F=t﹣8， ∵∠A1B1F=45， ∴△FB1Q是等腰直角三角形， ∴FQ=B1F=t﹣8， ∴S=﹣﹣， =﹣+t﹣﹣B1F?FQ， =﹣+t﹣﹣（t﹣8）（t﹣8）， =﹣t2+﹣； ④當(dāng)10＜t＜12時，如圖5，重疊部分是四邊形CPQM， ∵BB1=t，B1D1=2，BF=8， ∴FD1=t﹣2﹣8=t﹣10，B1F=t﹣8， ∴PF=B1F=t﹣8， =2， ∴FQ=2FD1=2（t﹣10）， ∴S=﹣﹣+， =﹣t2+﹣+（t﹣10）?2（t﹣10）， =﹣t+； ⑤當(dāng)t=12時，如圖6，S=0； 綜上所述：S= （3）有兩種情況：①如圖7，當(dāng)交點M在線段EH上時， ∵H是BF的中點， ∴FH=4， 由勾股定理得：EH==4， ∵EM：MN=3：5，EM+MN=EH， ∴EM=EH==， ②如圖8，當(dāng)交點M在直線EH上時， ∵EM：MN=3：5，EM+EH=MN， ∴EM=3=6， 綜上所述：線段EM的長為或6． 【點評】本題是幾何變換的綜合題，考查了矩形、等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是做好本題的關(guān)鍵；同時，知道旋轉(zhuǎn)前面的對應(yīng)角相等；本題還利用了同角的三角函數(shù)列比例式表示線段的長，利用面積公式代入計算，求出對應(yīng)的關(guān)系式；在計算重疊部分面積時，圖形比較復(fù)雜，分情況討論，此處容易丟解，因此要細(xì)心畫圖，準(zhǔn)確找出重疊圖形的各種類型．