高考數學大二輪總復習與增分策略 專題三 三角函數、解三角形與平面向量 第1講 三角函數的圖象與性質練習 文

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第1講　三角函數的圖象與性質 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2016四川改編)為了得到函數y＝sin的圖象，只需把函數y＝sin 2x的圖象上所有的點向______平行移動________個單位長度． 答案　右　 解析　由題意可知，y＝sin＝sin，則只需把y＝sin 2x的圖象向右平移個單位． 2．(2016課標全國甲改編)若將函數y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為______________． 答案　x＝＋(k∈Z) 解析　由題意將函數y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數的解析式為y＝2sin，由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得函數的對稱軸為x＝＋(k∈Z)． 3．(2016課標全國乙改編)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調，則ω的最大值為________． 答案　9 解析　因為x＝－為f(x)的零點，x＝為f(x)的圖象的對稱軸，所以－＝＋kT，即＝T＝，所以ω＝4k＋1(k∈N)，又因為f(x)在上單調，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值為9. 4．(2016江蘇)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點個數是________． 答案　7 解析　在區(qū)間[0,3π]上分別作出y＝sin 2x和y＝cos x的簡圖如下： 由圖象可得兩圖象有7個交點． 1.以圖象為載體，考查三角函數的最值、單調性、對稱性、周期性.2.考查三角函數式的化簡、三角函數的圖象和性質、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點. 熱點一　三角函數的概念、誘導公式及同角關系式 1．三角函數：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函數值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角關系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 3．誘導公式：在＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”． 例1　(1)角α終邊經過點(－sin 20，cos 20)，則角α的最小正角是______． (2)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，則sin θ＋cos θ＝________. 答案　(1)110　(2)－ 解析　(1)由題意知，角α是第二象限角，x＝－sin 20＝－cos 70＝cos 110，y＝cos 20＝sin 70＝sin 110， 所以α＝110. (2)由sin θ－2cos θ＝－及sin2θ＋cos2θ＝1得，(2cos θ－)2＋cos2θ＝1?5cos2θ－cos θ－＝0?cos θ＝或cos θ＝－，因為θ是第三象限角，所以cos θ＝－，從而sin θ＝－，sin θ＋cos θ＝－. 思維升華　(1)涉及與圓及角有關的函數建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數的定義求解．應用定義時，注意三角函數值僅與終邊位置有關，與終邊上點的位置無關． (2)應用誘導公式時要弄清三角函數在各個象限內的符號；利用同角三角函數的關系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等． 跟蹤演練1　(1)已知銳角α的終邊上一點P(1＋sin 50，cos 50)，則α＝________. (2)如圖，以Ox為始邊作角α (0<α<π)，終邊與單位圓相交于點P，已知點P的坐標為，則＝________. 答案　(1)20　(2) 解析　(1)由任意角的三角函數的定義可得x＝1＋sin 50，y＝cos 50，tan α＝＝＝ ＝＝tan 20.由α為銳角，得α＝20. (2)由三角函數定義，得cos α＝－，sin α＝， ∴原式＝＝ ＝2cos2α＝22＝. 熱點二　三角函數的圖象及應用 函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 (1)“五點法”作圖： 設z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應的y的值，描點、連線可得． (2)圖象變換： y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． 例2　(1)函數f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象對應的函數是奇函數，則函數f(x)在[0，]上的最小值為________． (2)函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，0<φ<π)的圖象如圖所示，則f()的值為__________． 答案　(1)－　(2)1 解析　(1)把函數y＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位長度得到函數y＝sin(2x＋＋φ)的圖象． 因為函數y＝sin(2x＋＋φ)為奇函數， 所以＋φ＝kπ，k∈Z. 因為|φ|<，所以φ的最小值是－. 所以函數f(x)＝sin(2x－)． 當x∈[0，]時，2x－∈[－，]， 所以當x＝0時，函數f(x)取得最小值－. (2)根據圖象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，由ω＝＝2，又函數過點(，2)， 所以有sin(2＋φ)＝1，而0<φ<π， 所以φ＝，則f(x)＝2sin(2x＋)， 因此f()＝2sin(＋)＝1. 思維升華　(1)已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數的周期確定ω；確定φ常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數不是1，就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向． 跟蹤演練2　(1)已知函數f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函數g(x)＝tan x的圖象交于A，B，C三點，則△ABC的面積為________． (2)(2015陜西)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y＝3sin＋k，據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為________． 答案　(1)π　(2)8 解析　(1)由題意得 sin x＝tan x?sin x＝0或cos x＝， 因為x∈[0，π]，所以x＝0，x＝π，x＝，三點為(0,0)，(π，0)，(，)，因此△ABC的面積為π＝π. (2)由題干圖易得ymin＝k－3＝2，則k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 熱點三　三角函數的性質 1．三角函數的單調區(qū)間： y＝sin x的單調遞增區(qū)間是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，單調遞減區(qū)間是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)； y＝cos x的單調遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tan x的遞增區(qū)間是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)． 2．y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數； 當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數； 當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數． 例3　已知函數f(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)＋sin 2x＋a的最大值為1. (1)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)將f(x)的圖象向左平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，若方程g(x)＝m在x∈[0，]上有解，求實數m的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝sin(2x＋)＋sin 2x＋a ＝cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin(2x＋)＋a， ∴2＋a＝1，∴a＝－1. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. ∴函數f(x)的單調遞增區(qū)間是 [－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (2)∵將f(x)的圖象向左平移個單位長度， 得到函數g(x)的圖象， 即g(x)＝f(x＋)＝2sin[2(x＋)＋]－1 ＝2sin(2x＋)－1. ∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]， ∴當2x＋＝時，sin(2x＋)＝， g(x)取得最大值－1； 當2x＋＝時，sin(2x＋)＝－1， g(x)取得最小值－3. ∴實數m的取值范圍為－3≤m≤－1. 思維升華　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質及應用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數公式把待求函數化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數性質求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調性及奇偶性、最值、對稱性等問題． 跟蹤演練3　設函數f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)． (1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間； (2)當x∈[0，]時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的對稱軸方程． 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a， 則f(x)的最小正周期T＝＝π， 且當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時，f(x)單調遞增． 所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)為f(x)的單調遞增區(qū)間． (2)當x∈[0，]時?≤2x＋≤， 當2x＋＝，即x＝時，sin(2x＋)＝1. 所以f(x)max＝＋1＋a＝2?a＝1－. 由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 故y＝f(x)的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知函數f(x)＝sin(x∈R，ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.為了得到函數g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象向________平移________個單位長度． 押題依據　本題結合函數圖象的性質確定函數解析式，然后考查圖象的平移，很有代表性，考生應熟練掌握圖象平移規(guī)則，防止出錯． 答案　左　(答案不唯一) 解析　先求出周期確定ω，求出兩個函數解析式，然后結合平移法則求解． 由于函數f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則其最小正周期T＝π， 所以ω＝＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x. 把g(x)＝cos 2x變形得g(x)＝sin＝sin[2(x＋)＋]，所以要得到函數g(x)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度． 2．如圖，函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P(2,0)，∠PQR＝，M為QR的中點，PM＝2，則A的值為________． 押題依據　由三角函數的圖象求解析式是高考的熱點，本題結合平面幾何知識求A，考查了數形結合思想． 答案　 解析　由題意設Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． 則M(，－)，由兩點間距離公式得， PM＝ ＝2，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝， 由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得， f(x)＝Asin(x－)， 從而f(0)＝Asin(－)＝－8，得A＝. 3．已知函數f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－ (a>0，ω>0)的最大值為2，x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意兩個元素，且|x1－x2|的最小值為6. (1)求函數f(x)的解析式及其圖象的對稱軸方程； (2)將函數y＝f(x)的圖象向右平移2個單位后得到函數y＝g(x)的圖象，當x∈(－1,2]時，求函數h(x)＝f(x)g(x)的值域． 押題依據　三角函數解答題的第(1)問的常見形式是求周期、求單調區(qū)間及求對稱軸方程(或對稱中心)等，這些都可以由三角函數解析式直接得到，因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數的解析式．第(2)問的常見形式是求解函數的值域(或最值)，特別是指定區(qū)間上的值域(或最值)，是高考考查三角函數圖象與性質命題的基本模式． 解　(1)f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－ ＝asin 2ωx＋cos 2ωx. 由題意知f(x)的最小正周期為12， 則＝12，得ω＝. 由f(x)的最大值為2，得＝2， 又a>0，所以a＝1. 于是所求函數的解析式為 f(x)＝sin x＋cos x＝2sin， 令x＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝1＋6k(k∈Z)， 即函數f(x)圖象的對稱軸方程為x＝1＋6k(k∈Z)． (2)由題意可得g(x)＝2sin[(x－2)＋]＝2sin x， 所以h(x)＝f(x)g(x) ＝4sinsin x ＝2sin2x＋2sin xcos x ＝1－cos x＋sin x ＝1＋2sin. 當x∈(－1,2]時，x－∈(－，]， 所以sin∈(－1,1]， 即1＋2sin∈(－1,3]， 于是函數h(x)的值域為(－1,3]． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組　專題通關 1．若0≤sin α≤，且α∈[－2π，0]，則α的取值范圍是______________． 答案　∪ 解析　根據題意并結合正弦線可知， α滿足∪ (k∈Z)， ∵α∈[－2π，0]， ∴α的取值范圍是∪. 2．函數f(x)＝cos的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數為________________． 答案　y＝cos 解析　函數f(x)＝cos的圖象向左平移個單位長度后所得圖象的解析式為y＝cos[3(x＋)－]＝cos(3x＋)． 3．函數y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為________． 答案　2＋ 解析　因為0≤x≤9，所以－≤－≤， 因此當－＝時， 函數y＝2sin(－)取得最大值， 即ymax＝21＝2. 當－＝－時，函數y＝2sin(－)取得最小值， 即ymin＝2sin(－)＝－， 因此y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為2＋. 4．已知角α的終邊經過點A(－，a)，若點A在拋物線y＝－x2的準線上，則sin α＝________. 答案　 解析　由條件，得拋物線的準線方程為y＝1，因為點A(－，a)在拋物線y＝－x2的準線上，所以a＝1，所以點A(－，1)，所以sin α＝＝. 5.函數f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)的值為________． 答案　0 解析　由圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sin x， ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－， f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，而2 015＝8251＋7， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0. 6．已知sin α＋cos α＝－，α∈(－，0)，則tan α＝________. 答案?。? 解析　由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝， 所以sin αcos α＝－， 因為α∈(－，0)，所以sin α<0，cos α>0， 由 得 所以tan α＝＝－. 7．已知函數f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，若x∈[0，]，則f(x)的取值范圍是________． 答案　[－，3] 解析　由兩個三角函數圖象的對稱中心完全相同，可知兩函數的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么當x∈[0，]時，－≤2x－≤， 所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]． 8．如圖，已知A，B分別是函數f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y軸右側圖象上的第一個最高點和第一個最低點，且∠AOB＝，則該函數的周期是______． 答案　4 解析　由題意可設A(，)，B(，－)，又∠AOB＝，所以＋(－)＝0?ω＝?T＝＝4. 9．已知函數f(x)＝cos. (1)若f(α)＝，其中<α<，求sin的值； (2)設g(x)＝f(x)f，求函數g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解　(1)因為f(α)＝cos＝， 且0<α－<，所以sin＝. (2)g(x)＝f(x)f ＝coscos ＝sincos＝cos 2x. x∈時，2x∈. 則當x＝0時，g(x)的最大值為； 當x＝時，g(x)的最小值為－. 10．已知a>0，函數f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數a，b的值； (2)設g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調區(qū)間． 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈. ∴sin∈， ∴－2asin∈[－2a，a]． ∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1， g(x)＝f＝－4sin－1 ＝4sin－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin－1>1，∴sin>， ∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時， g(x)單調遞增，即kπ0)的部分圖象如圖所示，點A，B是最高點，點C是最低點，若△ABC是直角三角形，則f()＝________. 答案　 解析　由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90，所以AB＝f(x)max－f(x)min＝1－(－1)＝2， 即AB＝4，而T＝AB＝＝4，解得ω＝. 所以f(x)＝sin， 所以f()＝sin＝. 14．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝tan x，它們的最小正周期之積為2π2，f(x)的最大值為2g()． (1)求f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)設h(x)＝f2(x)＋2cos2x，當x∈[a，)時，h(x)有最小值為3，求a的值． 解　(1)由題意，得π＝2π2， 所以ω＝1. 又A＝2g()＝2tan π＝2tan ＝2， 所以f(x)＝2sin(x＋)． 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 故f(x)的單調遞增區(qū)間為[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)． (2)因為h(x)＝f2(x)＋2cos2x ＝4sin2(x＋)＋2cos2x ＝3(sin x＋cos x)2＋2cos2x ＝3＋3sin 2x＋(cos 2x＋1) ＝3＋＋2sin(2x＋)， 又h(x)有最小值為3， 所以有3＋＋2sin(2x＋)＝3， 即sin(2x＋)＝－. 因為x∈[a，)， 所以2x＋∈[2a＋，)， 所以2a＋＝－，即a＝－.