《（天津專用）2020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（天津專用）2020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用
一、基礎鞏固
1.對任意平面向量a,b,下列關系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
2.已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,(a+b)·b=0,則向量a,b的夾角為( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,則
2、|p+q|的值為( )
A.5 B.13 C.5 D.13
5.在四邊形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為( )
A.5 B.25 C.5 D.10
6.在△ABC中,AB邊上的高為CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則AD=( )
A.13a-13b B.23a-23b
C.35a-35b D.45a-45b
7.設向量a與b的夾角為θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),則cos θ=( )
A.-35 B.35 C.55 D.-255
8.設m,n為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“
3、m·n<0”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
9.已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為 .?
10.設向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x= .?
11.設e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,若a=e1+λe2與b=2e1-3e2垂直,則λ= .?
12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.
(1)求向量a與b的夾角θ;
(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.
4、
二、能力提升
13.已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,設m,n所成的角為θ,cos θ=13.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為( )
A.4 B.-4 C.94 D.-94
14.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P為矩形內(nèi)一點,且AP=32,若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R),則λ+3μ的最大值為( )
A.32 B.62 C.3+34 D.6+324
15.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則PA·(PB+PC)的最小值是( )
A.-2 B.-32 C.-43 D.-1
16.如圖,在同一個平面內(nèi),向量
5、OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=.
17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是 .?
三、高考預測
18.已知非零向量a,b滿足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,則向量b-a在向量a方向上的投影是 .?
考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用
1.B 解析A項,設向量a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|·cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;
B
6、項,當a與b同向時,|a-b|=||a|-|b||;當a與b非零且反向時,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.
故不等式不恒成立;
C項,(a+b)2=|a+b|2恒成立;
D項,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.
綜上,選B.
2.B 解析由已知得|a|=|b|=1,a與b的夾角θ=60°,
∴(2a-b)·b=2a·b-b2
=2|a||b|cosθ-|b|2
=2×1×1×cos60°-12=0,故選B.
3.D 解析設向量a,b的夾角為θ,
則(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cosθ+|b|2=0,
7、
即2×1×cosθ=-1,故cosθ=-12.
又θ∈[0°,180°],故θ=120°,故選D.
4.B 解析由題意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.
5.C 解析依題意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0,
∴AC⊥BD.∴四邊形ABCD的面積為12|AC||BD|=12×5×20=5.
6.D 解析∵a·b=0,∴CA⊥CB.
∵|a|=1,|b|=2,∴AB=5.
又CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.
∴AD=45=455.∴ADAB=4555=45.
∴AD=45AB=45(CB-CA)
=4
8、5(a-b),故選D.
7.A 解析∵向量a與b的夾角為θ,
且a=(-2,1),a+2b=(2,3),
∴b=a+2b-a2=(2,1),
∴cosθ=a·b|a||b|=-4+15×5=-35.
8.A 解析m,n為非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即兩向量反向,夾角是180°,則m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反過來,若m·n<0,則兩向量的夾角為(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在負數(shù)λ,使得m=λn,所以是充分不必要條件.故選A.
9.π6 解析設a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=232×2=32,且兩個向量夾角范圍是
9、[0,π],故所求的夾角為π6.
10.-23 解析∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,
解得x=-23.
11.14 解析∵e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,
∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=12.
∵(e1+λe2)⊥(2e1-3e2),
∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2e12+(2λ-3)e1·e2-3λe22=2+12(2λ-3)-3λ=0.
∴λ=14.
12.解(1)因為|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,
所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9.
解得cosθ=12.
因為θ∈[0,π]
10、,所以θ=π3.
(2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ3=1,
所以|a+b|=a2+b2+2a·b=7,a·(a+b)=a2+a·b=5.
所以向量a在a+b方向上的投影為
a·(a+b)|a+b|=57=577.
13.B 解析由4|m|=3|n|,可設|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.
所以t=-4,故選B.
14.B 解析因為AP=λAB+μAD,
所以|AP|2=|λAB+μAD|2.
所以322
11、=λ2|AB|2+μ2|AD|2+2λμAB·AD.
因為AB=1,AD=3,AB⊥AD,
所以34=λ2+3μ2.
又34=λ2+3μ2≥23λμ,
所以(λ+3μ)2=34+23λμ≤34+34=32.
所以λ+3μ的最大值為62,當且僅當λ=64,μ=24時等號成立.
15. B 解析以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖.
可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).
設P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).
所以PB+PC=(-2x,-2y).
所以PA·
12、(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32≥-32.
當點P的坐標為0,32時,PA·(PB+PC)取得最小值為-32,故選B.
16.3 解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cosα+π4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,
解得m=54,n=74,所以m+n=3.
17.7 解析設a與b的夾角為φ,
13、由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,3).
設e=(cosα,sinα),
則|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+3sinα|≤|cosα|+|cosα|+3|sinα|=2|cosα|+3|sinα|,
當cosα與sinα同號時等號成立.
所以2|cosα|+3|sinα|=|2cosα+3sinα|=727cosα+37sinα
=7|sin(α+θ)|其中sinθ=27,cosθ=37,取θ為銳角.
顯然7|sin(α+θ)|≤7.
易知當α+θ=π2時,|sin(α+θ)|取最大值1,此時α為銳角,sinα,cosα同為正,因此上述不等式中等號能同時取到.故所求最大值為7.
18.-2 解析∵|a+b|=|a-b|,
∴a⊥b,即a·b=0.
∴(b-a)·a=a·b-a2=-4.
∴向量b-a在向量a方向上的投影為(b-a)·a|a|=-42=-2.
7
（天津專用）2020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用（含解析）新人教A版
